Intervalos

Question 1

Defina inecuaciones en una variable

Answer 1

una inecuación en una variable es una desigualdad de la forma P(x) y Q(x) (o bien < o > o ≤) donde P(x) y Q(x) son dos expresiones algebraicas cualesquiera en una variable.

Question 2

Cual es la definición de inecuaciones lineales en una variable?

Answer 2

una inecuacion lineal en la variable “x” es una desigualdad entre dos polinomios de grado uno que puede ser escrita de la siguiente forma: ax+b≥0 ( o bien < o > o ≤) con a, b ∈ R y a≠0

Question 3

Cual es la definición de inecuaciones cuadráticas en una variable?

Answer 3

una inecuación cuadrática en la variable “x” es una desigualdad entre dos polinomios de segundo grado que puede ser escrita en la forma:
ax²+bx+c≥0 (o bien < o > o ≤) con a, b, c ∈ R y a≠0

Question 4

Defina el valor absoluto de un numero real

Answer 4

sea x ∈ R; el valor absoluto de “x” se denota por IxI y se define de la siguiente manera:
IxI= x si x≥0 o bien IxI= x si x>0
-x si x<0 0 si x=0
-x si x<0

Question 5

Propiedad 1: ∀ x ∈ R: IxI²=x²

Answer 5

demostración:
i) si x≥0, IxI=X ⇒ IxI²= IxI IxI = x x = x²
ii) si x<0, IxI= -x ⇒ IxI²= IxI IxI = (-x) (-x) = x²
luego ∀ x ∈ R: IxI²= x²
y esto es lo que se quería demostrar.

Question 6

Propiedad 2: ∀ x ∈ R: IxI=√x²

Answer 6

Demostración: el signo √ se utiliza para indicar la raíz no negativa de un numero no negativo. O sea, para cada numero real x≥0, √x designa la raíz no negativa de x, o sea del numero no negativo cuyo cuadrado es x.
como IxI²= x², es evidente que IxI es la raíz no negativa de x²; por lo tanto es posible escribir:
IxI=√x² ∀ x ∈ R

Question 7

Propiedad 3: ∀ x ∈ R y a>0, IxI<a></a>

Answer 7

Demostración: se debe probar una doble implicancia:
a) se probara primero que: IxI<a>0 ⇒-a<0 y como x≥0, o sea 0≤x ⇒ -a-a ⇒ -a0 y x<0 ⇒ x</a><a>0: IxI</a><a>0: -a0: IxI</a><a></a>

Question 8

propiedad 4: ∀ x ∈ R y a>0, IxI>a ⇔ x>a
^
x

Answer 8

demostración: se debe probar una doble implicancia:
a) se probara primero que: IxI>a⇒ x>a
^
xa⇒x>a
ii) sea x<0; entonces IxI= -x; como por hipotesis IxI>a⇒x<a>0 entonces IxI>a ⇒x>a
^
xa ⇒ IxI>a, se procede de f similar
^
xa⇒IxI>a
ii) si x<0, entonces IxI=-x; como x hipot. xa⇒IxI>a
de i) y ii) concluimos que ∀ x ∈ R y a>0: x>a⇒IxI>a
^
x0 entonces IxI>a ⇔x>a
^
x</a>

Question 9

propiedad 5:

∀ x, y ∈ R, Ix.yI= IxI.IyI

Answer 9

demostración: se emplea la propiedad 2
Ix.yI= √(x.y)²= √x².y² = √x²√y² = IxI IyI⇒ Ix.yI = IxI IyI
y esto es lo que se queria probar.

Question 10

propiedad 6:

∀ x, y ∈ R, y≠0, Ix/yI = IxI/IyI

Answer 10

demostración: empleando la propiedad 2
Ix/yI = √(x/y)² = √x²/y² = √x²/√y² = IxI/IyI⇒ Ix/yI = IxI/IyI
y esto es lo que se queria probar.