Desigualdades Flashcards
Primer tema unidad 1
Definicion I desigualdad
∀ a, b ∈ R, a>b ⇔ a-b=p ; p ∈ R+
Definición II desigualdad
∀ a, b ∈ R, a≥b ⇔ a>b ó a=b
Definicion III desigualdad
∀ a, b ∈ R, a<b></b>
Definición IV desigualdad
∀ a, b ∈ R, a≤b ⇔ a<b></b>
¿Qué es una desigualdad estricta?
Una desigualdad estricta es cuando los símbolos aparecen tal que así:
a>b ó a<b></b>
¿Qué es una desigualdad no estricta?
Una desigualdad no estricta es cuando los símbolos aparecen tal que así:
a≥b ó b≤b
¿Qué es la ley de tricotomía?
es cuando vale una y solo una de las siguientes relaciones: a<b>b</b>
Demuestre la propiedad transitiva
por hipotesis: a>b ⇔ a-b=p1 ; p1 ∈ R+ (1)
y b>c ⇔ b-c=p2 ; p2 ∈ R+ (2)
sumando miembro a miembro las igualdades (1) y (2) se obtiene:
(a-b) + (b-c) = p1 + p2 , p1 + p2 = p , p ∈ R+
asociando y conmutando convenientemente se obtiene:
(a-c) + (-b+b) = (a-c) + 0 = (a-c) = p
p ∈ R+ ⇔ a>c
Luego: ∀ a, b, c ∈ R, a>b y b>c ⇒ a>c
y esto es lo que se quería probar.
Demuestre la propiedad aditiva
por hipotesis: a>b ⇔ a-b=p+
usando propiedades de numeros reales:
a-b= (a-b) + [c+(-c)] = (a+c) + (-b-c) =
(a+c) + (-1)(b+c) =(a+c) - (b+c) = p+
es decir (a+c) - (b+c) = p+ ⇔ (a+c) > (b+c)
y esto es lo que se queria probar.
propiedad 4) si se suman miembro a miembro dos o mas desigualdades de igual sentido se obtiene otra desigualdad del mismo sentido que las dadas. Demuestre.
Por hipotesis: a>b (1) y c>d (2)
Si en (1) se suma “c” en ambos miembros se obtiene:
a+c > b+c (α)
Si en (2) se suma “b” en ambos miembros se obtiene:
b+c > b+d (β)
de (α) y (β) , aplicando la propiedad transitiva se deduce que:
a+c > b+d
y esto es lo que se queria probar
Demuestre la propiedad multiplicativa
i) por hipotesis: a>b ⇔ a-b=p1+
multiplicando ambos miembros de esta igualdad por “c” (c>0):
c(a-b) = c p1+ ; c p1 = p ∈ R+ ( por ser producto de R+)
entonces: c a-c b=p+⇔ c a>c b
luego ∀ a, b, c ∈ R a>b ⇒ a c>b csi c>0
ii) por hipotesis: a>b ⇔ a-b=p1+
multiplicando ambos miembros de esta igualdad por “c” (c<0)
c(a-b) = c p1+ ; c p1 =q ; q ∈ R-
entonces: c a-c b= q- ⇔ c ab ⇒ a c<b>b ⇒ i) a c>b c si c>0
ii) a c<b></b></b>
propiedad 7) el cuadrado de todo numero real es siempre no negativo. Demuestre.
I) a≠0 y II) a=0
I) a≠0. “a” puede ser i)positivo ó ii)negativo
i) a>0. multiplicando ambos miembros de esta desigualdad por “a”, que es positivo (no cambia el sentido de la igualdad), se obtiene:
a a>0 a ⇒ a²>0 a ⇒ a²>0 (α)
ii) a<0. multiplicando ambos miembros por “a”, que es negativo (cambia el sentido de la desigualdad), se obtiene:
a a>0 a ⇒ a²>0 (β)
de (α) y (β) se concluye que ∀ a ∈ R, a≠0
entonces a²>0
II) a=0 ⇒a²=0
por lo tanto de I) y II) se concluye que ∀ a ∈ R, enotnces a²≥0
y esto es lo que se queria probar
