Integrationsmetoder och tricks Flashcards
Vilka integrationsmetoder/tricks finns det?
- Partiell integration (metod)
- Variabelbyte (metod)
- Partialbråksuppdelning (metod)
- Magiska ettan (trick)
- Använda partiell integration upprepande gånger för att senare i de beräkningar man gör “hitta” den integralen som man ämnar beräkna och lösa ut den.
- Partiell integration med f som 1. (trick)
- Omskrivningar (nödvändigt vid många integreringar)
Beskriv hur man gör partiell integration.
∫ fg dx = Fg - ∫ F*g’ dx
Tips! har du en standardprimitiv så kan du tex skriva 1*arctanx och sedan låta f vara 1 och g vara arctanx
När är det lämpligt att göra ett variabelbyte?
Om du innanför integralen kan se en inre derivata av något annat. Önskvärt att kunna stryka “saker”.
Kom ihåg 1! Om integralen är obestämd finns inga variabelgränser, men om det är bestämd så måste nedre och övre integreringsgräns justeras.
Kom ihåg 2! Om integralen är obestämd och du har gjort ett variabelbyte måste du komma ihåg att byta tillbaka innan du svarar!
Ex var. byte:
∫ e^(x^2) * 2x dx = ∫ e^t dt
Låt säga att du beräknar en bestämd integral och du har gjort ett variabelbyte. Då måste du också byta gränser. Hur skall man tänka när man gör detta?
Om du har ett variabelbyte som är t=x^2 och nedre samt övre gränsen är uttryckt i x är 1 och 3.
Då stoppar man bara in värdena.
x=1 –> 1^2 = 1 (nedre)
x=3 –> 3^2 = 9 (övre)
Vad är syftet med partialbråksuppdelning?
Att ta ett bråk som har flera faktorer i nämnaren och dela upp det som flera bråk, med varje faktor som ensam nämnare i minst ett bråk(det blir flera om faktorn är upphöjd till något större än 1).
Nämn exempel på några ansatser som ska göras då man har partialbråksuppdelning av olika typer.
- 3 / ((x-a)(x-b)) = A/(x-a) + B/(x-b)
- (5+x) / (x-a)^2 = A/(x-a) + B/(x-a)^2
- (3x+1)/((x^2+1)(x-1) = (Ax + B)/(x^2+1) + C/(x-1)
Vad måste man kontrollera innan man gör P.B.U?
Kontrollera att täljaren har LÄGRE gradtal än nämnaren. Annars gör du polynomdivision.
Vad är handpåläggning?
En metod som används vid P.B.U för att snabbt kunna avgöra vad de okända konstanterna man ställer upp i ansatsen ska vara lika med. Se sida 257 i boken.
Vad är “magiska ettan” och när är denna lämplig att använda?
∫ -x^2/√(1-x^2) dx =
∫ 1-x^2/√(1-x^2) - 1/√(1-x^2) dx =
∫ √(1-x^2) dx - arcsinx
Om du ska integrera (sinx)^5, vilken omskrivning är bra att göra då? Varför?
sin^(5)x = ( (e^(ix) - e^-(ix)) / 2i )^5
Syftet med att använda Eulers formler är att man tar jobbiga multiplikationer av trigonometriska funktioner och reducerar dem till summor av dem samma. Summar av trigonometriska funktioner kan vi lätt integrera, produkter är mycket svårare!
Hur ser Eulers formel för sin kx och cos kx ut?
sin kx = (e^(ikx) - e^(-ikx)) / 2i
cos kx = (e^(ikx) + e^(-ikx)) / 2
Hur kan man skriva om (sinx)^2 och (cosx)^2 på två sätt?
- sin^(2)x = (1 - cos2x)/2
- cos^(2)x = (1 + cos2x)/2
Dels genom att använda trigettan och dels som på bilden. Den senare omskrivningen är ofta mycket användbar vid integrationsproblem.
Om du har ett trigonometrisk bråk när man skall ta fram en primitiv funktion och har kört fast, vad kan man bland annat göra då?
Förläng både täljare och nämnare med cosx och se om det uppenbarar sig något bra variabelbyte.
