Hoofdstuk 3

Question 1

Wat is de uitkomstenruimte?

Answer 1

De verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een bepaald proces. We nemen voor dit vak aan dat deze verzameling eindig is.

Question 2

Wat is een gebeurtenis?

Answer 2

Een deelverzameling van de uitkomstenruimte. Soms worden de elementen ook gebeurtenissen genoemd. Twee gebeurtenissen zijn disjunct als A ∩ B = ∅. M.a.w. de gebeurtenissen kunnen niet tegelijk optreden.

Question 3

Wat zijn elementen?

Answer 3

De items in de uitkomstenruimte.

Question 4

Wat is de Probabiliteitsgewicht P(x)

Answer 4

De kans dat element x gebeurt.

Question 5

2 Eigenschappen van probabiliteitsgewicht.

Answer 5

1. Elk gewicht is een reëel getal in het interval [0,1]

2. De som van alle gewichten in de uitkomstenruimte is 1.

Question 6

Wat is P in P(x)?

Answer 6

We noemen P hier de kansfunctie of probabiliteitsfunctie op de kansruimte S met volgende eigenschappen:

P(A) ≥ 0 voor alle A ∈ S
P(S) = 1
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) voor A en B disjuncte gebeurtenissen

Elke functie die hieraan voldoet noemt men een probabiliteitsdistributie of probabiliteitsmaat

Question 7

Wat zijn complementaire gebeurtenissen?

Answer 7

Twee gebeurtenissen E en F uit de uitkomstenverzameling S worden complementair genoemd als E ∩ F = ∅ en E ∪ F = S. Het complement van verzameling E wordt genoteerd als E^c.

Question 8

Bewijs dat als E en F twee complementaire gebeurtenissen zijn, dan is P(F) = 1 - P(E).

Answer 8

P(E ∪ F) = 1 (definitie complementaire gebeurtenissen: S = E ∪ F)

P(E) + P(F) = 1 (definitie complementaire gebeurtenissen: E en F zijn disjunct, definitie disjuncte gebeurtenissen)

P(F) = 1 - P(E) (omvormen formule)

Question 9

Wat zijn uniforme probabiliteitsmaten?

Answer 9

P is een uniforme probabiliteitsmaat als elk element dezelfde probabiliteit heeft.

Question 10

Bewijs dit: Veronderstel p een uniforme probabiliteitsmaat op de uitkomstenruimte S. Dan geldt voor elke gebeurtenis E in S: P(E) = |E|/|S|

Answer 10

Stel S = {x1, x2, …, xn} met n = |S|, dan is voor elke i in ℕ[1,n]: 1 = P(S) = P(x1) + P(x2) + … + P(xn) = n*P(xi) waaruit volgt dat P(xᵢ) = 1/n.

Nu is P(E) = De som voor alle x in E van P(x) = De som voor alle x in E van 1/n = |E|/n

Opmerking: Dit geldt enkel voor uniforme probabiliteitsmaten!

Question 11

Hoe kan je de unie berekenen voor 2 gebeurtenissen?

Answer 11

Voor twee gebeurtenissen A en B geldt: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Question 12

Hoe kan je dit lezen? P(A | B)

Answer 12

De voorwaardelijke kans P(A | B) (lees als: A gegeven B) is de kans dat A zich voordoet, gegeven dat B gebeurd is. P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

Question 13

Wat is de vermenigvuldigingsregel?

Answer 13

P (A \B) = P (A)P (B |A)

Algemeend:
P(De doorsnede voor i gaande van 1 tot n van Aᵢ) = P(A₁)P(A₂ | A₁)P(A₃ | A₁ ∩ A₂)…P(Aₙ | A₁ ∩ A₂ ∩ … ∩ Aₙ₋₁)

Question 14

Wat is de totalekansformule?

Answer 14

Als A1, …, An gebeurtenissen zijn die een partitie vormen van de uitkomstenruimte S, met geen enkele P(Ai) = 0, dan geldt voor elke gebeurtenis B in S dat: P(B) = P(A₁)P(B | A₁) + … + P(Aₙ)P(B | Aₙ)

Question 15

Wat is de regel van Bayes?

Answer 15

Als A1, …, An gebeurtenissen zijn die een partitie vormen van de uitkomstenruimte S en P(Ai) is voor geen enkele i gelijk aan 0. Dan geldt voor een willekeurige B ⊆ S met P(B) ≠ 0 dat P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)/P(B) = P(Aᵢ)P(B|A)/(P(A₁)P(B|A₁) + … + P(Aₙ)P(Aₙ|B))

Question 16

Wanneer zijn 2 gebeurtenissen onafhankelijk?

Answer 16

Twee gebeurtenissen A en B zijn (stochastisch) onafhankelijk wanneer P(A ∩ B) = P(A)P(B) of (als P(B) ≠ 0) P(A | B) = P(A) of (als P(A) ≠ 0) P(B | A) = P(B)

Als A en B onafhankelijk zijn, dan zijn A en Bc ook onafhankelijk evenals Ac en Bc

Bewijs: Omdat A en B onafhankelijk zijn, is P(A ∩ B) = P(A)P(B). Als we nu de totalekansformule voor A met partities B en Bc gebruiken, dan krijgen we dat P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ Bᶜ) = P(A)P(B) + P(A ∩ Bᶜ) en dus is P(A ∩ Bᶜ) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)(1 - P(B)) = P(A)P(Bᶜ)

gelijkaardige redenering voor Ac en Bc

Veralgemening:
P(De doorsnede voor elke i in I van Aᵢ) = Het product voor elke i in I van P(Aᵢ) voor elke I een niet-lege deelverzameling van ℕ[1,n]

Question 17

Wat moeten we doen bij parallelschakelingen?

Answer 17

Voor parallelschakelingen nemen we het product van alle kansen van de verbindingen. Het subnetwerk werkt namelijk enkel als alle verbindingen werken.

Question 18

Wat moeten we doen bij serieschakelingen?

Answer 18

Voor serieschakelingen nemen we het complement van product van de complementen van alle kansen van de verbindingen. Dit subnetwerk werkt namelijk altijd, tenzij alle verbindingen falen.

Question 19

Wat is een toevalsveranderlijke?

Answer 19

Een toevalsveranderlijke X over een uitkomstenverzameling S is een functie die S afbeeldt op ℝ

Question 20

Wanneer is een toevalsveranderlijke discreet?

Answer 20

Een toevalsveranderlijke is discreet als de waardenverzameling X(S) eindig of aftelbaar is

Elke discrete toevalsveranderlijke X bezit een kansmassafunctie pX die de voor elke x in S de kans op x geeft, pX: X(S) → [0,1]: x ↦ P(X = x) = P({s ∈ S | X(s) = x})

Question 21

Bewijs dit:
Als X een discrete toevalsveranderlijke is op een uitkomstenverzameling S, dan geldt: De som voor x in X(S) van Pₓ(x) = 1, of algemener: als T ⊆ X(S), dan geldt: P(X ∈ T) = De som voor x in T van Pₓ(x)

Answer 21

Noem Ax de gebeurtenis dat X de waarde x aanneemt voor elke x ∈ X(S). Deze gebeurtenissen zijn dan onderling disjunct en hun unie is de hele uitkomstenverzameling, daaruit volgt dat 1 = P(S) = P(Unie voor elke x in X(S) van Aₓ) = Som voor elke x in X(S) van P(X = x) = Som voor elke x in X(S) van pₓ(x)

Als T ⊆ X(S), dan volgt daar analoog uit: P(X ∈ T) = P(Unie voor elke x in T van Aₓ) = Som voor elke x in T van P(X = x) = Som voor elke x in T van Pₓ(x)

Question 21

Bewijs dit:
Als X een discrete toevalsveranderlijke is op een uitkomstenverzameling S, dan geldt: De som voor x in X(S) van Pₓ(x) = 1, of algemener: als T ⊆ X(S), dan geldt: P(X ∈ T) = De som voor x in T van Pₓ(x)

Answer 21

Noem Ax de gebeurtenis dat X de waarde x aanneemt voor elke x ∈ X(S). Deze gebeurtenissen zijn dan onderling disjunct en hun unie is de hele uitkomstenverzameling, daaruit volgt dat 1 = P(S) = P(Unie voor elke x in X(S) van Aₓ) = Som voor elke x in X(S) van P(X = x) = Som voor elke x in X(S) van pₓ(x)

Als T ⊆ X(S), dan volgt daar analoog uit: P(X ∈ T) = P(Unie voor elke x in T van Aₓ) = Som voor elke x in T van P(X = x) = Som voor elke x in T van Pₓ(x)

Question 22

Wat is een Bernoulli-verdeelde toevalsveranderlijke?

Answer 22

Een discrete toevalsveranderlijke X die Bernoulli-verdeeld is met parameter p heeft X(S) = {0,1} en de kansmassafunctie Px(x) = { p als x = 1 | 1 - p als x = 0}.

Question 23

Wat is een binomiaal verdeelde toevalsveranderlijke?

Answer 23

Een discrete toevalsveranderlijke X die binomiaal verdeeld is met parameters p en n heeft X(S) = {0, 1, …, n} en de kansmassafunctie px(k) = (nk)pk(1-p)n-k voor k in ℕ[0,n] en px(k) = 0 voor elke andere k

Question 24

Wat is een geometrisch verdeelde toevalsveranderlijke

Answer 24

Een discrete toevalsveranderlijke X die geometrisch verdeeld is met parameter ]0,1[, heeft X(S) = {1,2,…} en kansmassafunctie px(k) = p(1-p)k-1 voor k = 1,2,… en px(k) = 0 voor elke andere k

Question 25

Wat is de verwachtingswaarde?

Answer 25

De verwachtingswaarde is een getal dat de gemiddelde uitkomst zal zijn wanneer het aantal uitvoeringen toeneemt. E[X] = Som voor elke x in X(S) van pₓ(x)x

Question 26

Wat is de verwachtingswaarde?

Answer 26

De verwachtingswaarde is een getal dat de gemiddelde uitkomst zal zijn wanneer het aantal uitvoeringen toeneemt. E[X] = Som voor elke x in X(S) van pₓ(x)x

Question 27

Bewijs dit:
Als X een discrete toevalsveranderlijke is met waardenverzameling W en kansmassafunctie px en als g(X) een functie is van X. Dan geldt: E[g(X)] = Som voor elke x in W van pₓ(x)g(x)

Answer 27

Stel Y = g(X) dan is E[g(X)] = E[Y] = Som voor elke y in g(W) van Py(y)y = Som voor elke y in g(W) van de som voor elke x in W met g(x) = y van pₓ(x)y = Som voor elke y in g(W) van de som voor elke x in W met g(x) = y van pₓ(x)g(x) = Som voor elke x in W van Pₓ(x)g(x)

Question 28

Bewijs dit:

Als X1 en X2 twee toevalsveranderlijken zijn op dezelfde kansruimte S, dan geldt dat E[α₁X₁ + α₂X₂] = α₁E[X₁] + α₂E[X₂]

Answer 28

We hebben E[α1X1 + α2X2] = Som voor elke x in S van (α1X1 + α2X2)(s) = Som voor elke x in S van (α1X1(s) + α2X2(s)) = α1(Som voor elke s in S van X1(s)P(s)) + α2(Som voor elke s in S van X2(s)P(s)) = α1E[X1] + α2E[X2]

Question 29

Wat is het moment van de k-orde?

Answer 29

Het moment van de k-de orde of het k-de moment µk(x) is de verwachtingswaarde van de toevalsveranderlijke Xk, namelijk µₖ(X) = E[Xᵏ]

Question 30

Wat is de variantie?

Answer 30

De variantie van een toevalsveranderlijke X Var(X) is gedefinieerd als Var(X) = E[(X - E[X])²]

Question 31

Wat is de standaardafwijking?

Answer 31

De standaardafwijking van een toevalsveranderlijke X is het getal σX is gedefinieerd als σₓ = √(Var(X)). Deze waarde is gemakkelijker leesbaar dan de variantie.

Question 32

Bewijs dit:

Var(X) = E[X²] - E[X]²

Answer 32

var(X) = E[(X - E[X])²] = E[X² - 2E[X]X + E[X]²] = E[X²] - 2E[X]E[X] + E[X]² = E[X²] - E[X]²