Hoofdstuk 3 Flashcards
Wat is de uitkomstenruimte?
De verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een bepaald proces. We nemen voor dit vak aan dat deze verzameling eindig is.
Wat is een gebeurtenis?
Een deelverzameling van de uitkomstenruimte. Soms worden de elementen ook gebeurtenissen genoemd. Twee gebeurtenissen zijn disjunct als A ∩ B = ∅. M.a.w. de gebeurtenissen kunnen niet tegelijk optreden.
Wat zijn elementen?
De items in de uitkomstenruimte.
Wat is de Probabiliteitsgewicht P(x)
De kans dat element x gebeurt.
2 Eigenschappen van probabiliteitsgewicht.
- Elk gewicht is een reëel getal in het interval [0,1]
2. De som van alle gewichten in de uitkomstenruimte is 1.
Wat is P in P(x)?
We noemen P hier de kansfunctie of probabiliteitsfunctie op de kansruimte S met volgende eigenschappen:
P(A) ≥ 0 voor alle A ∈ S
P(S) = 1
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) voor A en B disjuncte gebeurtenissen
Elke functie die hieraan voldoet noemt men een probabiliteitsdistributie of probabiliteitsmaat
Wat zijn complementaire gebeurtenissen?
Twee gebeurtenissen E en F uit de uitkomstenverzameling S worden complementair genoemd als E ∩ F = ∅ en E ∪ F = S. Het complement van verzameling E wordt genoteerd als E^c.
Bewijs dat als E en F twee complementaire gebeurtenissen zijn, dan is P(F) = 1 - P(E).
P(E ∪ F) = 1 (definitie complementaire gebeurtenissen: S = E ∪ F)
P(E) + P(F) = 1 (definitie complementaire gebeurtenissen: E en F zijn disjunct, definitie disjuncte gebeurtenissen)
P(F) = 1 - P(E) (omvormen formule)
Wat zijn uniforme probabiliteitsmaten?
P is een uniforme probabiliteitsmaat als elk element dezelfde probabiliteit heeft.
Bewijs dit: Veronderstel p een uniforme probabiliteitsmaat op de uitkomstenruimte S. Dan geldt voor elke gebeurtenis E in S: P(E) = |E|/|S|
Stel S = {x1, x2, …, xn} met n = |S|, dan is voor elke i in ℕ[1,n]: 1 = P(S) = P(x1) + P(x2) + … + P(xn) = n*P(xi) waaruit volgt dat P(xᵢ) = 1/n.
Nu is P(E) = De som voor alle x in E van P(x) = De som voor alle x in E van 1/n = |E|/n
Opmerking: Dit geldt enkel voor uniforme probabiliteitsmaten!
Hoe kan je de unie berekenen voor 2 gebeurtenissen?
Voor twee gebeurtenissen A en B geldt: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Hoe kan je dit lezen? P(A | B)
De voorwaardelijke kans P(A | B) (lees als: A gegeven B) is de kans dat A zich voordoet, gegeven dat B gebeurd is. P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
Wat is de vermenigvuldigingsregel?
P (A \B) = P (A)P (B |A)
Algemeend:
P(De doorsnede voor i gaande van 1 tot n van Aᵢ) = P(A₁)P(A₂ | A₁)P(A₃ | A₁ ∩ A₂)…P(Aₙ | A₁ ∩ A₂ ∩ … ∩ Aₙ₋₁)
Wat is de totalekansformule?
Als A1, …, An gebeurtenissen zijn die een partitie vormen van de uitkomstenruimte S, met geen enkele P(Ai) = 0, dan geldt voor elke gebeurtenis B in S dat: P(B) = P(A₁)P(B | A₁) + … + P(Aₙ)P(B | Aₙ)
Wat is de regel van Bayes?
Als A1, …, An gebeurtenissen zijn die een partitie vormen van de uitkomstenruimte S en P(Ai) is voor geen enkele i gelijk aan 0. Dan geldt voor een willekeurige B ⊆ S met P(B) ≠ 0 dat P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)/P(B) = P(Aᵢ)P(B|A)/(P(A₁)P(B|A₁) + … + P(Aₙ)P(Aₙ|B))
Wanneer zijn 2 gebeurtenissen onafhankelijk?
Twee gebeurtenissen A en B zijn (stochastisch) onafhankelijk wanneer P(A ∩ B) = P(A)P(B) of (als P(B) ≠ 0) P(A | B) = P(A) of (als P(A) ≠ 0) P(B | A) = P(B)
Als A en B onafhankelijk zijn, dan zijn A en Bc ook onafhankelijk evenals Ac en Bc
Bewijs: Omdat A en B onafhankelijk zijn, is P(A ∩ B) = P(A)P(B). Als we nu de totalekansformule voor A met partities B en Bc gebruiken, dan krijgen we dat P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ Bᶜ) = P(A)P(B) + P(A ∩ Bᶜ) en dus is P(A ∩ Bᶜ) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)(1 - P(B)) = P(A)P(Bᶜ)
gelijkaardige redenering voor Ac en Bc
Veralgemening:
P(De doorsnede voor elke i in I van Aᵢ) = Het product voor elke i in I van P(Aᵢ) voor elke I een niet-lege deelverzameling van ℕ[1,n]
Wat moeten we doen bij parallelschakelingen?
Voor parallelschakelingen nemen we het product van alle kansen van de verbindingen. Het subnetwerk werkt namelijk enkel als alle verbindingen werken.
Wat moeten we doen bij serieschakelingen?
Voor serieschakelingen nemen we het complement van product van de complementen van alle kansen van de verbindingen. Dit subnetwerk werkt namelijk altijd, tenzij alle verbindingen falen.
Wat is een toevalsveranderlijke?
Een toevalsveranderlijke X over een uitkomstenverzameling S is een functie die S afbeeldt op ℝ
Wanneer is een toevalsveranderlijke discreet?
Een toevalsveranderlijke is discreet als de waardenverzameling X(S) eindig of aftelbaar is
Elke discrete toevalsveranderlijke X bezit een kansmassafunctie pX die de voor elke x in S de kans op x geeft, pX: X(S) → [0,1]: x ↦ P(X = x) = P({s ∈ S | X(s) = x})
Bewijs dit:
Als X een discrete toevalsveranderlijke is op een uitkomstenverzameling S, dan geldt: De som voor x in X(S) van Pₓ(x) = 1, of algemener: als T ⊆ X(S), dan geldt: P(X ∈ T) = De som voor x in T van Pₓ(x)
Noem Ax de gebeurtenis dat X de waarde x aanneemt voor elke x ∈ X(S). Deze gebeurtenissen zijn dan onderling disjunct en hun unie is de hele uitkomstenverzameling, daaruit volgt dat 1 = P(S) = P(Unie voor elke x in X(S) van Aₓ) = Som voor elke x in X(S) van P(X = x) = Som voor elke x in X(S) van pₓ(x)
Als T ⊆ X(S), dan volgt daar analoog uit: P(X ∈ T) = P(Unie voor elke x in T van Aₓ) = Som voor elke x in T van P(X = x) = Som voor elke x in T van Pₓ(x)
Bewijs dit:
Als X een discrete toevalsveranderlijke is op een uitkomstenverzameling S, dan geldt: De som voor x in X(S) van Pₓ(x) = 1, of algemener: als T ⊆ X(S), dan geldt: P(X ∈ T) = De som voor x in T van Pₓ(x)
Noem Ax de gebeurtenis dat X de waarde x aanneemt voor elke x ∈ X(S). Deze gebeurtenissen zijn dan onderling disjunct en hun unie is de hele uitkomstenverzameling, daaruit volgt dat 1 = P(S) = P(Unie voor elke x in X(S) van Aₓ) = Som voor elke x in X(S) van P(X = x) = Som voor elke x in X(S) van pₓ(x)
Als T ⊆ X(S), dan volgt daar analoog uit: P(X ∈ T) = P(Unie voor elke x in T van Aₓ) = Som voor elke x in T van P(X = x) = Som voor elke x in T van Pₓ(x)
Wat is een Bernoulli-verdeelde toevalsveranderlijke?
Een discrete toevalsveranderlijke X die Bernoulli-verdeeld is met parameter p heeft X(S) = {0,1} en de kansmassafunctie Px(x) = { p als x = 1 | 1 - p als x = 0}.
Wat is een binomiaal verdeelde toevalsveranderlijke?
Een discrete toevalsveranderlijke X die binomiaal verdeeld is met parameters p en n heeft X(S) = {0, 1, …, n} en de kansmassafunctie px(k) = (nk)pk(1-p)n-k voor k in ℕ[0,n] en px(k) = 0 voor elke andere k
Wat is een geometrisch verdeelde toevalsveranderlijke
Een discrete toevalsveranderlijke X die geometrisch verdeeld is met parameter ]0,1[, heeft X(S) = {1,2,…} en kansmassafunctie px(k) = p(1-p)k-1 voor k = 1,2,… en px(k) = 0 voor elke andere k
Wat is de verwachtingswaarde?
De verwachtingswaarde is een getal dat de gemiddelde uitkomst zal zijn wanneer het aantal uitvoeringen toeneemt. E[X] = Som voor elke x in X(S) van pₓ(x)x
Wat is de verwachtingswaarde?
De verwachtingswaarde is een getal dat de gemiddelde uitkomst zal zijn wanneer het aantal uitvoeringen toeneemt. E[X] = Som voor elke x in X(S) van pₓ(x)x
Bewijs dit:
Als X een discrete toevalsveranderlijke is met waardenverzameling W en kansmassafunctie px en als g(X) een functie is van X. Dan geldt: E[g(X)] = Som voor elke x in W van pₓ(x)g(x)
Stel Y = g(X) dan is E[g(X)] = E[Y] = Som voor elke y in g(W) van Py(y)y = Som voor elke y in g(W) van de som voor elke x in W met g(x) = y van pₓ(x)y = Som voor elke y in g(W) van de som voor elke x in W met g(x) = y van pₓ(x)g(x) = Som voor elke x in W van Pₓ(x)g(x)
Bewijs dit:
Als X1 en X2 twee toevalsveranderlijken zijn op dezelfde kansruimte S, dan geldt dat E[α₁X₁ + α₂X₂] = α₁E[X₁] + α₂E[X₂]
We hebben E[α1X1 + α2X2] = Som voor elke x in S van (α1X1 + α2X2)(s) = Som voor elke x in S van (α1X1(s) + α2X2(s)) = α1(Som voor elke s in S van X1(s)P(s)) + α2(Som voor elke s in S van X2(s)P(s)) = α1E[X1] + α2E[X2]
Wat is het moment van de k-orde?
Het moment van de k-de orde of het k-de moment µk(x) is de verwachtingswaarde van de toevalsveranderlijke Xk, namelijk µₖ(X) = E[Xᵏ]
Wat is de variantie?
De variantie van een toevalsveranderlijke X Var(X) is gedefinieerd als Var(X) = E[(X - E[X])²]
Wat is de standaardafwijking?
De standaardafwijking van een toevalsveranderlijke X is het getal σX is gedefinieerd als σₓ = √(Var(X)). Deze waarde is gemakkelijker leesbaar dan de variantie.
Bewijs dit:
Var(X) = E[X²] - E[X]²
var(X) = E[(X - E[X])²] = E[X² - 2E[X]X + E[X]²] = E[X²] - 2E[X]E[X] + E[X]² = E[X²] - E[X]²
