H1 Flashcards
verzamelingen
= geheel van elementen
vb: IR
cardinaliteit
|V| = #V = aantal elementen
element van
x ∈ V of x ∉ V
gelijkheid
V = W
de elementen zijn idem
deelverzameling
(W ⊂ V of W ⊆ V )
verchil
V \ W
elementen van V die niet tot W behoren
doorsnede
(V ∩ W )
elementen zowel in V EN W
Unie
(V ∪ W )
elementen ofwel in V OF W
(cartesisch) product
V x W
Natuurlijke getallen
N = {0,1,2,3,…)
de gehele getallen
Z = {…,-3,-2,-1,0,1,2,…)
rationele getallen
Q = {½, -0.345,…)
Te bewijzen: ∑(i = 1, n) i = 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2
voor alle n-waarden element van N
zie pagina 8 boek of dia 3
Reële getallen
IR = {√2,pi,…)
{reële getallen} = { rationale getallen } ∪ { irrationale getallen }
getallenrechte
een geijkte rechten met 2 punten; O en E waarop alle gehele en rationele getallen kunnen op worden voorgesteld.
bewijs dat √2 geen rationeel getal is
Pythagoras (rode driehoek): x² = 1² + 1² = 2 => x = √2
Bewijs uit het ongerijmde:
Stel x = p/q in een onvereenvoudigbare vorm
√2 = p/q
=> (√2)² = p²/q²
=> 2 = p²/q²
=> p² = 2q²
=> we weten dus dat p een even getal is, we noteren p even als ‘2m’
=> 4m² = p = 2q²
=> q² = 2m² (beide leden delen door 2)
=> q is ook een even getal
=> tegenstrijdigheid; p/q zou moeten onvereenvoudigbaar zijn
rationeel en irrationeel
rationeel is eindig of oneindig maar herhalend, rationeel niet herhalend
Als een verzameling V ⊆ R naar boven (resp. beneden) begrensd is, dan?
heeft de verzameling van de bovengrenzen (resp. benedengrenzen) een kleinste (resp. grootste) element.
Bewijs:
zie dia 13
Supremum en Infimum
V naar boven begrensd : kleinste bovengrens is sup V .
V naar beneden begrensd : grootste ondergrens is inf V .
Voorbeeld :
V =]a, b[. Dan sup V = b en inf V = a.
V = { n+1/n | n ∈ N∗}. Dan sup V = 2 en inf V = 1.
