Geometrie

Question 1

Axiome der Inzidenz in Worten?

Answer 1

Question 2

Axiome der Inzidenz in Quantorenlogik?

Answer 2

I1: For all x For all x’ ((P(x) & P(x’) & x!=x’) => exists unique y (I(x,y) & I(x’,y))

Question 3

Formuliere diesen Satz mit Quantoren und I(.,.), P(.), G(.):
Zwei verschiedene Geraden haben höchstens einen Pkt. gemeinsam (d.h. höchstens einen Schnittpkt)

Answer 3

Question 4

Definiere parallel (auch mit Quantoren) und das Axiom von Playfair

Answer 4

Question 5

Definiere Modell

Answer 5

Ein Modell eines Axiomsystems besteht aus einer Menge, auf der Relationen, Funktionen und Konstanten definiert sind, s.d. alle Axiome des Axiomsystems im Modell erfüllt d.h. wahr sind.

Question 6

Gib ein Model, welches I1,I2,I3 und P erfüllt

Answer 6

E={A,B,C}, Geraden: {A,B},{B,C},{A,C}

Question 7

Gib ein Modell für I1, I2, I3 und nicht P

Answer 7

vollständiger Graph mit 5 Knoten K5

Question 8

Definiere Volständigkeit von Axiomsysteme
Nenne die Charakterisierung, die aus dem Gödel’schen Vollständigkeitssatz folgt

Answer 8

Def: Ein Axiomsystem heisst vollständig, falls jeder Satz (der in der entsprechenden log. Sprache formuliert werden kann) aus den Axiomen entweder beweisbar oder widerlegbar ist.
Char: Ein Axiomsystem ist genau dann vollständig, wenn jeder Satz entweder in allen oder in keinem Modell des Axiomsystems wahr ist.

Question 9

Definiere Konsistenz von Axiomsysteme

Answer 9

Ein Axiomsystem heisst konsistent ((od. widerspruchsfrei)), falls es ein Modell besitzt.

Question 10

Definiere Unabhängigkeit von Axiomen

Answer 10

Die Axiome eines Axiomsystems heissen unabhängig, falls kein Axiom aus den anderen Axiomen hergeleitet werden kann, bzw. wenn die Negation eines jeden Axioms mit den anderen Axiomen konsistent ist.

Question 11

Wie ging der Beweis für “Die Axiome I1,I2,I3,P” sind unabhängig?

Answer 11

“I1,I2,I3, nicht P”: vollständiger Graph K4
“I1,I2,nicht I3,P”: E={A,B} und G({A,B}) (Gerade mit 2 Pkte)

“I1,nicht I2,I3,P”: E={A,B,C}, Y={ {A}, {A,B}, {B,C}, {A,C} }
“nicht I1,I2,I3,P”: 3 Pkte. keine Gerade.

Question 12

Zeichne die möglichen Geometrien mit 5 Pkten.

Answer 12

Question 13

Formuliere die Alternative Formulierung für das Axiom von Pasch

Answer 13

Falls eine Gerade g keine Ecke des Dreiecks ABC enthält und eine Seite des Dreiecks schnedet, so schnedet g genau zwei Seiten des Dreiecks ABC.

Question 14

Gib ein Modell für I1, I2, I3, nicht P, B0, B1, B2, B3 und nicht B4

Answer 14

Question 15

Wie wurde die Ebene durch eine Gerade g separiert?

Answer 15

Equivalenz relation: A~B befinden sich auf der gleichen Seite von g
Es gibt nur 2 Equivalenzklassen

Question 16

Definiere Winkel

Answer 16

Ein Winkel BAC ist die Vereinigung von zwei Strahlen AB- und AC- mit einer gemeinsamen Ecke A, wobei A,B,C nicht auf einer Gerade liegen.