Geometria Flashcards
Teorema di Rouché-Capelli
Un sistema lineare in n incognite è compatibile se e solo se il rango della matrice dei coefficienti A coincide con il rango della matrice completa (A|B). In particolare , se rg(A)=rg(A|B)=n il sistema lineare ha un’unica soluzione. Se rg(A)=rg(A|B)=k<n, il sistema lineare ammette infinite soluzioni che dipendono da n-k incoglite libere.
Definizione di sistema lineare omogeneo
e dimensione dello spazio delle soluzioni
Un sistema lineare in cui tutti i termini noti sono uguali a 0, esso ammette sempre almeno una soluzione. Una sola (\vec{0}) se il rango di A coincide con il numero di incognite
Proprietà del prodotto tra matrici
Associativa (AB)C=A(BC), distributiva del prodotto rispetto alla somma A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC, prodotto per scalare (aA)B=a(AB)=A(aB), elemento I neutro rispetto al prodotto AI=IA=A
definizione di matrice triangolare superiore
Matrice quadrata che ha tutti gli elementi sotto la diagonale principale nulli
Teorema di Binet
det(AB)=det(A)det(B)
Definizione di cofattore
Il cofattore o complemento algebrico dell’elemento a_{ij} della matrice quadrata A è il numero A_{ij}=(-1)^{i+j}*M_{ij}, con M_{ij} il determinate della matrice B che si ottiene da A togiendo la i-esima riga e la j-esima colonna.
Primo teorema di Laplace
Il determinante di una matrice quadrata A=(a_{ij}) si ottiene moltiplicando gli elementi di una riga (o colonna) fissata per i rispettivi covalori e sommando i valori ottenuti.
Secondo teorema di Laplace
In una matrice quadrata la somma dei prodotti tra gli elementi di una riga (o colonna) per i cofattori di una riga (o colonna) parallela è zero
adj(A) e legame con l’inversa
adj(A) o matrice aggiunta della matrice quadrata A, è la trasposta della matrice avente ordinatamente come elementi i cofattori di A. Inoltre se det(A)!=0 allora A^{-1}=1/det(A) adj(A).
\delta_{ij}
Simbolo di Kronecker, \delta_{ij}=1 per i=j e \delta_{ij}=0 per i=j
Teorema di Cramer
In un sistema lineare di n equazioni in n incognite in cui la matrice dei coefficienti A ha determinante diverso da zero, la i-esima incognita si ottiene calcolando il determinante di A con la i-esima colonna sostituita da quella dei termini noti, e dividendolo per det(A)
Teorema di esistenza di una base
Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato e sia G={v1, v2, … , vm} un sistema di generatori di V. L’insieme G contiene almeno una base di V.
Lemma di Steinitz
Sia B=(v1, v2, … , vn) una base di uno spazio vettoriale V e sia I={u1, u2, … , up} un insieme libero di V (o un isieme di p vettori appartenenti a V linearmente indipendenti), allora p<=n.
Teorema della dimensione
Tutte le basi di uno spazio vettoriale reale V finitamente generato hanno lo stesso numero di vettori.
Teorema del completamento della base
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e sia B=(v1, v2, … , vn) una sua base. Dato l’insieme libero I={u1, u2, … , up}, p<=n, esiste una base B’ di V contenente tutti i vettori di I e n-p vettori di B.
Formula di Grassmann
dim( W1 + W2 )=dim(W1)+dim(W2)-dim(W1 intersecato W2)
Teorema del rango
Il rango di una matrice è uguale alla dimensione dello span delle colonne, che è uguale alla dimensione dello span delle righe.
Teorema di nullità più rango
Sia AX=O un sistema lineare omogeneo a n incognite con matrice dei coefficienti A di m righe e n colonne e sia N(A) il sottospazio delle soluzioni, allora
rg(A)+dim(N(A))=n
R(A)+N(A)=R^n
C(A)+N(A^t)=R^m
Definizione di Norma di un vettore
la norma di un vettore è uguale alla radice del prodotto scalare del vettore stesso con se stesso
Definizione di complemento ortogonale
Siano V uno spazio vettoriale di dimensione n dotato di prodotto scale e W un suo sottospazio vettoriale di dimensione k<=n, si dice complemento ortogonale di W il sottospazio vettoriale di V formato da tutti i vettori di V ortogonali ad ogni vettore di W
Proprietà della norma
||x||>=0 per ogni x e ||x||=0 <=> x=\vec{0}
||a x||=|a|*||x||
teorema d pitagora
disuguaglianza di cauchy-Schwarz
disuguagluanza triangolare o di Minkowski
Disuguaglianza di Cauchy-Swartz (1)
Il modulo del prodotto scalare tra due vettori è minore o uguale del prodotto delle norme dei due vettori
Disuguaglianza triangoloare
La disuguaglianza triangolare o do Minkowski afferma che la norma della somma di due vettori è sempre minore o uguale alla somma dele norme dei vettori
3 sinonimi di applicazione lineare
omomorfismo, funzione lineare o trasformazione lineare
Definizione e sinonimo di endomorfismo
Un endomofirmo o operatore lineare è una applicazione lineare che va da uno spazio vettoriale V a se stesso, cioè il cui dominio e codominio coincidono
Teorema fondamentale delle applicazioni lineari
sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e B=(v1, v2, … , vn) una sua base, dato un insieme {a1, a2, … , an} di n vettori di uno spazio vettoriale W e siste una sola funzione lineare che associa ad ogni vi ai: f(vi)=ai per ogni i=1, … ,n
Definizione di matrici simili
Due matrici quadrate A e A’ di ordine n si dicono simili se esiste una matrice invertibile P tale che A’=P^{-1}AP, esse hanno determinante e traccia uguale
Definizione di nucleo
Il nucleo di una applicazione lineare è il sottospazio vettoriale del dominio che è la controimmagine del vettore nullo
Teorema del rango
Sia f : V -> W una applicazione lineare tra due spazi vettoriali, allora
dim(ker f))+dim( im f))=dim(V)
Definizione di isomorfismo
omomorfismo biiettivo
Sottospazi vettoriali invarianti
Sia f un endomorfismo di V, H sottospazio vettoriale di V si dice invariante rispetto ad f de f(H) è incluso in H
Definizione di automorfismo
Endomorfismo biiettivo
Definizione di applicazione lineare aggiunta
Sia f(x) una applicazione lineare da V in W, si dice applicazione lineare aggiunta di f la funzione g: V-> W la funzione tale che
f(x) * y=x * g(y)
In più la matrice associata a g è la trasposta di quella associata a f
Definizione di endomorfismo autoaggiunto
Un endomorfidsmo si dice autoaggiunto o simmetrico se è aggiunto a se stesso
Definizione di autovettore generalizzato
Un vettore v diverso dal vettore nullo è detto autovettore generalizzato dell’autovalore a se per qualche intero j: ( (A - aI)^j ) v = 0, dove I è la matrice identità.
Definizione di Spettro
Lo spettro di un endomorfismo f è l’insieme dei suoi autovalori
Teorema spettrale
Una matrice A è diagonalzzabile mediante una base ortonormale se e solo se essa è simmetrica
Defnizione di forma bilineare simmetrica degenere
ker (phi)!=\vec{0}
Come si chiama il vettore x tale che Q(x)=0
isotropo rispetto a Q
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (2)
Sia phi una forma bilineare simmetrica semidefinita positiva su uno spazio vettoriale reale V e Q la forma quadratica ad essa associata, allora per ogni x e y appartenenti a V [phi(x,y)]^2<=Q(x)Q(y).
Teorema di Gauss-Lagrange
Sia Q una forma quadratica su uno spazio vettoriale V, mediante il metodo del completamento dei quadrati applicato all’espressione polinomiale di Q è possibile determinare una base di V che premette di riscrivere la forma quadratica di Q in forma canonica.
Teorema di Sylvester
Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione n. Tutte le forme canoniche di una forma quadratica Q su V hanno lo stesso numero p di coefficienti positivi e lo stesso numero q di coefficienti negativi.
Regola di Cartesio
Sia f(x)=a0+a1x+…+anx^n un polinomio a coefficienti reali con tutte le radici reali. Allora le radici positive di f sono tante quante sono le variazioni di segno della successione a0, a1, … , an.
