Geometria Flashcards
Teorema di Rouché-Capelli
Un sistema lineare in n incognite è compatibile se e solo se il rango della matrice dei coefficienti A coincide con il rango della matrice completa (A|B). In particolare , se rg(A)=rg(A|B)=n il sistema lineare ha un’unica soluzione. Se rg(A)=rg(A|B)=k<n, il sistema lineare ammette infinite soluzioni che dipendono da n-k incoglite libere.
Definizione di sistema lineare omogeneo
e dimensione dello spazio delle soluzioni
Un sistema lineare in cui tutti i termini noti sono uguali a 0, esso ammette sempre almeno una soluzione. Una sola (\vec{0}) se il rango di A coincide con il numero di incognite
Proprietà del prodotto tra matrici
Associativa (AB)C=A(BC), distributiva del prodotto rispetto alla somma A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC, prodotto per scalare (aA)B=a(AB)=A(aB), elemento I neutro rispetto al prodotto AI=IA=A
definizione di matrice triangolare superiore
Matrice quadrata che ha tutti gli elementi sotto la diagonale principale nulli
Teorema di Binet
det(AB)=det(A)det(B)
Definizione di cofattore
Il cofattore o complemento algebrico dell’elemento a_{ij} della matrice quadrata A è il numero A_{ij}=(-1)^{i+j}*M_{ij}, con M_{ij} il determinate della matrice B che si ottiene da A togiendo la i-esima riga e la j-esima colonna.
Primo teorema di Laplace
Il determinante di una matrice quadrata A=(a_{ij}) si ottiene moltiplicando gli elementi di una riga (o colonna) fissata per i rispettivi covalori e sommando i valori ottenuti.
Secondo teorema di Laplace
In una matrice quadrata la somma dei prodotti tra gli elementi di una riga (o colonna) per i cofattori di una riga (o colonna) parallela è zero
adj(A) e legame con l’inversa
adj(A) o matrice aggiunta della matrice quadrata A, è la trasposta della matrice avente ordinatamente come elementi i cofattori di A. Inoltre se det(A)!=0 allora A^{-1}=1/det(A) adj(A).
\delta_{ij}
Simbolo di Kronecker, \delta_{ij}=1 per i=j e \delta_{ij}=0 per i=j
Teorema di Cramer
In un sistema lineare di n equazioni in n incognite in cui la matrice dei coefficienti A ha determinante diverso da zero, la i-esima incognita si ottiene calcolando il determinante di A con la i-esima colonna sostituita da quella dei termini noti, e dividendolo per det(A)
Teorema di esistenza di una base
Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato e sia G={v1, v2, … , vm} un sistema di generatori di V. L’insieme G contiene almeno una base di V.
Lemma di Steinitz
Sia B=(v1, v2, … , vn) una base di uno spazio vettoriale V e sia I={u1, u2, … , up} un insieme libero di V (o un isieme di p vettori appartenenti a V linearmente indipendenti), allora p<=n.
Teorema della dimensione
Tutte le basi di uno spazio vettoriale reale V finitamente generato hanno lo stesso numero di vettori.
Teorema del completamento della base
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e sia B=(v1, v2, … , vn) una sua base. Dato l’insieme libero I={u1, u2, … , up}, p<=n, esiste una base B’ di V contenente tutti i vettori di I e n-p vettori di B.
Formula di Grassmann
dim( W1 + W2 )=dim(W1)+dim(W2)-dim(W1 intersecato W2)
Teorema del rango
Il rango di una matrice è uguale alla dimensione dello span delle colonne, che è uguale alla dimensione dello span delle righe.
Teorema di nullità più rango
Sia AX=O un sistema lineare omogeneo a n incognite con matrice dei coefficienti A di m righe e n colonne e sia N(A) il sottospazio delle soluzioni, allora
rg(A)+dim(N(A))=n
R(A)+N(A)=R^n
C(A)+N(A^t)=R^m
Definizione di Norma di un vettore
la norma di un vettore è uguale alla radice del prodotto scalare del vettore stesso con se stesso
Definizione di complemento ortogonale
Siano V uno spazio vettoriale di dimensione n dotato di prodotto scale e W un suo sottospazio vettoriale di dimensione k<=n, si dice complemento ortogonale di W il sottospazio vettoriale di V formato da tutti i vettori di V ortogonali ad ogni vettore di W
Proprietà della norma
||x||>=0 per ogni x e ||x||=0 <=> x=\vec{0}
||a x||=|a|*||x||
teorema d pitagora
disuguaglianza di cauchy-Schwarz
disuguagluanza triangolare o di Minkowski
Disuguaglianza di Cauchy-Swartz (1)
Il modulo del prodotto scalare tra due vettori è minore o uguale del prodotto delle norme dei due vettori
Disuguaglianza triangoloare
La disuguaglianza triangolare o do Minkowski afferma che la norma della somma di due vettori è sempre minore o uguale alla somma dele norme dei vettori
3 sinonimi di applicazione lineare
omomorfismo, funzione lineare o trasformazione lineare