Generella saker att minnas Flashcards
sin²x kan skrivas som?
1-cos²x eller (1-cos2x)*1/2
cos²x kan skrivas som?
1-sin²x eller (1+cos2x)*1/2
sin²x+cos²x kan skrivas som?
1, enhetscirkeln
sin2x kan skrivas som?
2sinxcosx
cos2x kan skrivas som?
cos²x-sin²x
2cos²x-1
1-2sin²x
Integrera 1/(1+x²)
arctan(x)
Hur lyder partialintegrations formeln?
∫f’g = fg - ∫fg’
Hur lyder kedjeregeln?
f’(g(x))*g’(x)
Vad innebär det om Q(h,k) = -(h+k)²?
Det är en stationär punkt vilket är även lokal maximum
Vad innebär det om Q(h,k) = (h+k)²?
Det är en stationär punkt vilket är även lokal minimum
Vad innebär det om Q(h,k) = 2hk?
Indefinit punkt
Vad innebär det om Q(h,k) = (h-k)²?
Det är en sadelpunkt, indefinit
Hur löser du ut tangentplanens yta för en viss punkt?
z-f(a,b)=f’x(x-a)+f’y(y-b)
Vad menas med gradient? Hur skrivs definitionen för gradient?
En vektor/lutning på funktionen där funktionen i punkt e.x (a,b) skrivs:
grad f(a,b) = (f’x(a,b),f’y(a,b))
Vad menas med normalen? Hur räknar man ut den?
En normalvektor är en vektor vars riktning är ortogonal (vinkelrät) mot ett annat objekt som en annan vektor/riktning eller punkt. Den har ingen storlek, dvs alltid 1.
Hur får man fram riktningen från två punkter? När är riktningen som störst?
Subtrahera ena punkten med den andra punkten. Den är som störst då i gradientens riktning, dvs |grad f(a,b)|.
Vilka punkter är viktiga att hitta när man gör optimisering?
Randen
Hörnen
Funktionens nollpunkter
Vad innebär när något är konvergent och något som är divergent?
Konvergent, då f(x,y) existerar ändligt med värdet C där C tillhör en reell värde.
Divergent, då f(x,y) existerar ej ändligt.
Hur skriver man upp första derivatan för f’x och f’y för att lösa en partiell differential ekvation?
f’x = f’uu’x+f’vv’x
f’y = f’uu’y+f’vv’y
Hur skriver man upp andra derivatan för f’‘xx, f’‘xy och f’‘y för att lösa en partiell differential ekvation?
f’‘xx = (f’uu’x+f’vv’x)’x = f’‘uu * u’x + f’‘uv * v’x
f’‘yy = (f’uu’y+f’vv’y)’y = f’‘uu * u’y + f’‘uv * v’y
Vid optimering för en funktion f(x,y) - om man hittar nollpunkt som finns i f’x men inte i f’y, får man använda sig av den inom optimering?
Nej, f’x och f’y är beroende med varann, därmed måste nollpunkterna finnas i både funktionerna för att det ska stämma.
Enda fallet detta går är då om de är oberoende av varann.
Integrera sin²x
(-sin(2x)/4+x/2)
eller
-(sinxcosx+x)/2
Integrera cos²x
(sin(2x)/4+x/2)
eller
(cos(x)sin(x)+x)/2
Integrera sin(2x)
-cos(2x)/2
Integrera cos(2x)
sin(2x)/2
Vad är determinant? Hur skrivs det i avseende för variabelbyte från f(x,y) till f(a,b)?
Determinant är en skalär representation av en matris, där variabelbyte från f(x,y) till f(a,b) skrivs som:
|x’a x’b|
|y’a y’b| vilket blir samma som d(x,y)/d(a,b)
Hur ser determinanten ut då för rymdpolära koordinater, då
x = rsinθcosφ
y = rsinθsinφ
z = rcosθ
r²sinθ
Integrera funktionen lnx
x(ln(x)-1)+C
Integrera funktionen x*e^x
(x-1)e^x+C
Om uppgiften ger ingen tydlig villkor för rymdpolära koordinater, vilken intervall rör sig r,θ och φ då?
Antar då:
0 ≤ r ≤ ∞
0 ≤ θ ≤ π
0 ≤ φ ≤ 2π
Hur ser intervallet ut för villkoren
K={(x,y,z), x²+y²+z² ≤ 1, z = sqrt(x²+y²)?
0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ π/4
0 ≤ φ ≤ 2π
Hur ser intervallet ut för villkoren
K={(x,y,z), sqrt(x²+y²+z²)≤1)?
0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ π
0 ≤ φ ≤ 2π
Om intervallet är inte explicit given, vad kan du göra för att hitta intervallet?
Kolla på bivillkoren.
För partiell integration:
∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) − ∫F(x)g’(x)
där
g(x) är deriverbar och g’(x) är derivatan till g(x).
F(x) är primitiv funktion till f(x)
Vilken ordning (generellt) kan man följa vilken ska vara g(x)?
En effektiv metod för ordning vilken man lägger g(x) är:
1. Logarithmer (lnx, logx)
2. Inverse trigonomiska funktioner (arctan, arcsin, arccos)
3. Polynomer ((x-1)², (x+10))
4. Trigonomiska funktioner (sin, cos, tan)
5. Exponentialer (eˣ)
Observera detta är inte en perfekt metodik, utan bara en lathund.
LIPTE för att minnas det enkelt.
Vad är determinanten för en enhetscirkel (x²+y) då:
x=rcosφ
x=rsinφ
Determinanten är r.
Vilken yta är x + y + z?
Plan
Vilken yta är x² + y² = z?
Paraboloid
Vilken yta är x² + y² + z²?
Sfär
Vilken yta är x²/a + y²/b + z²/c = 1?
Ellipsoid
Vilken yta är x² - y²= z?
Hyperbolisk paraboloid/Sadel
Vilken yta blir x²/a + y²/b - z²/c =1? Vadd händer om ytan blir lika med -1?
Enmantlad hyperboloid. Blir tvåmantlad då ytan blir lika med -1.
Hur ser integralen ut för att beräkna massa?
m = ∫∫∫dm = ∫∫∫ρ(x,y,z)dxdydz
Hur ser integralen ut för att beräkna tyngdpunkt i avseende för xᴛ, yᴛ, zᴛ?
pᴛ=1/m∫∫∫ρ(x,y,z)dxdydz
Hur lyder Greens formel?
∫Pdx + Qdy = ∫∫(∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy
Hur vet man en fält är konservativt?
Då ∂Q/∂x - ∂P/∂y = 0
eller
U(x1,y1) - U(x0,y0) = 0.
Generellt, hur avgör man vektorfältet av (P,Q) är potentialfält i ℝ²?
Se exempel 9.13 i sida 306.
- Undersök om (P,Q) = (∂U/∂x, ∂U/∂y) eller F = gradU
där man vidare integrerar antingen ∂U/∂x eller ∂U/∂y med resp. ∂x eller ∂y som följande:
∂U/∂x = funktion ①
∂U/∂y = funktion ②
- Efter integration så bör du få en godtycklig funktion φ (φ(x) om du integrerade i avseende på ②, φ(y) i avseende på ①).
- Derivera resultatet som du fick från avseende av x eller y med y eller x den för att få reda på vad den godtyckliga funktionen godtycklig funktion φ blir.
Från där kan du avgöra om vektorfältet av (P,Q) är potentialfält i ℝ² då:
U(x,y) = primitiv av funktionen + (φ(y) eller (φ(x)).
OBS!
Om godtyckliga funktion φ’(x eller y) = 0, då är funktionen en konstant.
Om derivatan blir inte samma som funktionen given på grund av ex. den godtyckliga funktionen måste vara φ(y) = xy, så finns det ingen potentialfält.
Generellt, hur beräknar man kurvintegraler?
∂U/∂x = funktion ①
∂U/∂y = funktion ②
Integrera den lättaste och få fram primitiva funktionen + (φ(y) eller (φ(x)).
U(x1,y1) - U(x0,y0).
OBS! Se sida 304 och bevis vid fall då U(x(t),y(t)) där t: a → b.
Kan skrivas om som följande exempel till intervall:
(x(t),y(t)) = (cost+e^sint, e^cost) 0 ≤ t ≤ π
är samma sak som
U(2,e) - U(0,1/e)
Integrera x²*eˣ
(x²-2x+2)eˣ
Hur vet man att (P,Q) är inte en potentialfält?
Vad innebär det då?
Om samma punkt i integralen ger två olika svar, ex. (0,1)-(0,1) = 2pi istället för 0.
Detta innebär kurvintegralen är vägberoende,
alltså fältet kan inte vara ett potentialfält.
Generellt, hur hittar du volymen av kroppen genom trippelintegral ∫∫∫dxdydz?
1 - Identifera ytorna som finns på planet (paraboloid, plan, etc.)
2 - Hitta skärningspunkten i z plan, den större ytan - den mindre ytan
3 - Hitta rotationen samt randen (om den finns) i funktionen. Randen kan hittas då x²+y² = r².
3.5 - Om randen finns, gör en polär variabelbyte med insatt determinant.
4. - Om allt stämmer, integrera och sätt in värdena för en volym mängd.
Gör korrekt variabel byte för:
(x+1)² + y² = 4
x = rcosφ
y = rsinφ
0 ≤ r ≤ 2
0 ≤ φ ≤ 2π
