Generella saker att minnas

Question 1

sin²x kan skrivas som?

Answer 1

1-cos²x eller (1-cos2x)*1/2

Question 2

cos²x kan skrivas som?

Answer 2

1-sin²x eller (1+cos2x)*1/2

Question 3

sin²x+cos²x kan skrivas som?

Answer 3

1, enhetscirkeln

Question 4

sin2x kan skrivas som?

Answer 4

2sinxcosx

Question 5

cos2x kan skrivas som?

Answer 5

cos²x-sin²x
2cos²x-1
1-2sin²x

Question 6

Integrera 1/(1+x²)

Answer 6

arctan(x)

Question 7

Hur lyder partialintegrations formeln?

Answer 7

∫f’g = fg - ∫fg’

Question 8

Hur lyder kedjeregeln?

Answer 8

f’(g(x))*g’(x)

Question 9

Vad innebär det om Q(h,k) = -(h+k)²?

Answer 9

Det är en stationär punkt vilket är även lokal maximum

Question 10

Vad innebär det om Q(h,k) = (h+k)²?

Answer 10

Det är en stationär punkt vilket är även lokal minimum

Question 11

Vad innebär det om Q(h,k) = 2hk?

Answer 11

Indefinit punkt

Question 12

Vad innebär det om Q(h,k) = (h-k)²?

Answer 12

Det är en sadelpunkt, indefinit

Question 13

Hur löser du ut tangentplanens yta för en viss punkt?

Answer 13

z-f(a,b)=f’x(x-a)+f’y(y-b)

Question 14

Vad menas med gradient? Hur skrivs definitionen för gradient?

Answer 14

En vektor/lutning på funktionen där funktionen i punkt e.x (a,b) skrivs:
grad f(a,b) = (f’x(a,b),f’y(a,b))

Question 15

Vad menas med normalen? Hur räknar man ut den?

Answer 15

En normalvektor är en vektor vars riktning är ortogonal (vinkelrät) mot ett annat objekt som en annan vektor/riktning eller punkt. Den har ingen storlek, dvs alltid 1.

Question 16

Hur får man fram riktningen från två punkter? När är riktningen som störst?

Answer 16

Subtrahera ena punkten med den andra punkten. Den är som störst då i gradientens riktning, dvs |grad f(a,b)|.

Question 17

Vilka punkter är viktiga att hitta när man gör optimisering?

Answer 17

Randen
Hörnen
Funktionens nollpunkter

Question 18

Vad innebär när något är konvergent och något som är divergent?

Answer 18

Konvergent, då f(x,y) existerar ändligt med värdet C där C tillhör en reell värde.

Divergent, då f(x,y) existerar ej ändligt.

Question 19

Hur skriver man upp första derivatan för f’x och f’y för att lösa en partiell differential ekvation?

Answer 19

f’x = f’uu’x+f’vv’x
f’y = f’uu’y+f’vv’y

Question 20

Hur skriver man upp andra derivatan för f’‘xx, f’‘xy och f’‘y för att lösa en partiell differential ekvation?

Answer 20

f’‘xx = (f’uu’x+f’vv’x)’x = f’‘uu * u’x + f’‘uv * v’x
f’‘yy = (f’uu’y+f’vv’y)’y = f’‘uu * u’y + f’‘uv * v’y

Question 21

Vid optimering för en funktion f(x,y) - om man hittar nollpunkt som finns i f’x men inte i f’y, får man använda sig av den inom optimering?

Answer 21

Nej, f’x och f’y är beroende med varann, därmed måste nollpunkterna finnas i både funktionerna för att det ska stämma.

Enda fallet detta går är då om de är oberoende av varann.

Question 22

Integrera sin²x

Answer 22

(-sin(2x)/4+x/2)
eller
-(sinxcosx+x)/2

Question 23

Integrera cos²x

Answer 23

(sin(2x)/4+x/2)
eller
(cos(x)sin(x)+x)/2

Question 24

Integrera sin(2x)

Answer 24

-cos(2x)/2

Question 25

Integrera cos(2x)

Answer 25

sin(2x)/2

Question 26

Vad är determinant? Hur skrivs det i avseende för variabelbyte från f(x,y) till f(a,b)?

Answer 26

Determinant är en skalär representation av en matris, där variabelbyte från f(x,y) till f(a,b) skrivs som:
|x’a x’b|
|y’a y’b| vilket blir samma som d(x,y)/d(a,b)

Question 27

Hur ser determinanten ut då för rymdpolära koordinater, då
x = rsinθcosφ
y = rsinθsinφ
z = rcosθ

Answer 27

r²sinθ

Question 28

Integrera funktionen lnx

Answer 28

x(ln(x)-1)+C

Question 29

Integrera funktionen x*e^x

Answer 29

(x-1)e^x+C

Question 30

Om uppgiften ger ingen tydlig villkor för rymdpolära koordinater, vilken intervall rör sig r,θ och φ då?

Answer 30

Antar då:
0 ≤ r ≤ ∞
0 ≤ θ ≤ π
0 ≤ φ ≤ 2π

Question 31

Hur ser intervallet ut för villkoren
K={(x,y,z), x²+y²+z² ≤ 1, z = sqrt(x²+y²)?

Answer 31

0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ π/4
0 ≤ φ ≤ 2π

Question 32

Hur ser intervallet ut för villkoren
K={(x,y,z), sqrt(x²+y²+z²)≤1)?

Answer 32

0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ π
0 ≤ φ ≤ 2π

Question 33

Om intervallet är inte explicit given, vad kan du göra för att hitta intervallet?

Answer 33

Kolla på bivillkoren.

Question 34

För partiell integration:
∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) − ∫F(x)g’(x)

där
g(x) är deriverbar och g’(x) är derivatan till g(x).
F(x) är primitiv funktion till f(x)

Vilken ordning (generellt) kan man följa vilken ska vara g(x)?

Answer 34

En effektiv metod för ordning vilken man lägger g(x) är:
1. Logarithmer (lnx, logx)
2. Inverse trigonomiska funktioner (arctan, arcsin, arccos)
3. Polynomer ((x-1)², (x+10))
4. Trigonomiska funktioner (sin, cos, tan)
5. Exponentialer (eˣ)

Observera detta är inte en perfekt metodik, utan bara en lathund.

LIPTE för att minnas det enkelt.

Question 35

Vad är determinanten för en enhetscirkel (x²+y) då:
x=rcosφ
x=rsinφ

Answer 35

Determinanten är r.

Question 36

Vilken yta är x + y + z?

Answer 36

Plan

Question 37

Vilken yta är x² + y² = z?

Answer 37

Paraboloid

Question 38

Vilken yta är x² + y² + z²?

Answer 38

Sfär

Question 39

Vilken yta är x²/a + y²/b + z²/c = 1?

Answer 39

Ellipsoid

Question 40

Vilken yta är x² - y²= z?

Answer 40

Hyperbolisk paraboloid/Sadel

Question 41

Vilken yta blir x²/a + y²/b - z²/c =1? Vadd händer om ytan blir lika med -1?

Answer 41

Enmantlad hyperboloid. Blir tvåmantlad då ytan blir lika med -1.

Question 42

Hur ser integralen ut för att beräkna massa?

Answer 42

m = ∫∫∫dm = ∫∫∫ρ(x,y,z)dxdydz

Question 43

Hur ser integralen ut för att beräkna tyngdpunkt i avseende för xᴛ, yᴛ, zᴛ?

Answer 43

pᴛ=1/m∫∫∫ρ(x,y,z)dxdydz

Question 44

Hur lyder Greens formel?

Answer 44

∫Pdx + Qdy = ∫∫(∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy

Question 45

Hur vet man en fält är konservativt?

Answer 45

Då ∂Q/∂x - ∂P/∂y = 0
eller
U(x1,y1) - U(x0,y0) = 0.

Question 46

Generellt, hur avgör man vektorfältet av (P,Q) är potentialfält i ℝ²?

Answer 46

Se exempel 9.13 i sida 306.

1. Undersök om (P,Q) = (∂U/∂x, ∂U/∂y) eller F = gradU
   där man vidare integrerar antingen ∂U/∂x eller ∂U/∂y med resp. ∂x eller ∂y som följande:

∂U/∂x = funktion ①
∂U/∂y = funktion ②

2. Efter integration så bör du få en godtycklig funktion φ (φ(x) om du integrerade i avseende på ②, φ(y) i avseende på ①).
3. Derivera resultatet som du fick från avseende av x eller y med y eller x den för att få reda på vad den godtyckliga funktionen godtycklig funktion φ blir.

Från där kan du avgöra om vektorfältet av (P,Q) är potentialfält i ℝ² då:

U(x,y) = primitiv av funktionen + (φ(y) eller (φ(x)).

OBS!

Om godtyckliga funktion φ’(x eller y) = 0, då är funktionen en konstant.

Om derivatan blir inte samma som funktionen given på grund av ex. den godtyckliga funktionen måste vara φ(y) = xy, så finns det ingen potentialfält.

Question 47

Generellt, hur beräknar man kurvintegraler?

Answer 47

∂U/∂x = funktion ①
∂U/∂y = funktion ②

Integrera den lättaste och få fram primitiva funktionen + (φ(y) eller (φ(x)).

U(x1,y1) - U(x0,y0).

OBS! Se sida 304 och bevis vid fall då U(x(t),y(t)) där t: a → b.

Kan skrivas om som följande exempel till intervall:
(x(t),y(t)) = (cost+e^sint, e^cost) 0 ≤ t ≤ π
är samma sak som

U(2,e) - U(0,1/e)

Question 48

Integrera x²*eˣ

Answer 48

(x²-2x+2)eˣ

Question 49

Hur vet man att (P,Q) är inte en potentialfält?
Vad innebär det då?

Answer 49

Om samma punkt i integralen ger två olika svar, ex. (0,1)-(0,1) = 2pi istället för 0.

Detta innebär kurvintegralen är vägberoende,
alltså fältet kan inte vara ett potentialfält.

Question 50

Generellt, hur hittar du volymen av kroppen genom trippelintegral ∫∫∫dxdydz?

Answer 50

1 - Identifera ytorna som finns på planet (paraboloid, plan, etc.)
2 - Hitta skärningspunkten i z plan, den större ytan - den mindre ytan
3 - Hitta rotationen samt randen (om den finns) i funktionen. Randen kan hittas då x²+y² = r².
3.5 - Om randen finns, gör en polär variabelbyte med insatt determinant.
4. - Om allt stämmer, integrera och sätt in värdena för en volym mängd.

Question 51

Gör korrekt variabel byte för:
(x+1)² + y² = 4

Answer 51

x = rcosφ
y = rsinφ
0 ≤ r ≤ 2
0 ≤ φ ≤ 2π