Endim B2 Instuderingsfrågor

Question 1

Definiera följande tre beteckningar för komplexa tal:
z ,|z|, z̅ och arg z.

Question 2

Hur tolkas följande operationer i det komplexa talplanet
a) att ta absolutbelopp av z
b) att konjugera z
c) att addera w till z
d) att multiplicera z med w?

Question 3

Skriv upp och bevisa formler för z̅w̅ och |zw|. Vad gäller för |z + w|?

Question 4

Hur skriver man kvoten mellan två komplexa tal på rektangulär form?

Question 5

Definiera beteckningen e^ix, där x är ett reellt tal.

Question 6

Hur gör du för att skriva ett komplext tal a + bi på polär form?

Question 7

Hur gör du omvänt, skriver ett polärt framställt tal re^iθ på rektangulär form a + bi?

Question 8

Skriv upp och härled Eulers formler.

Question 9

Visa att e^i(x+y) = e^ixe^iy för alla reella tal x och y. Vad säger de Moivres formel?

Question 10

Hur löser du en andragradsekvation med komplexa koefficienter?

Question 11

Ange två metoder för att lösa andragradsekvationen z² = w, där w är ett givet komplext tal.

Question 12

Hur löser du ekvationen zⁿ = w, där w är ett givet komplext tal?

Question 13

Vad säger algebrans fundamentalsats? Visa att varje komplext polynom kan faktoriseras i (komplexa) förstagradsfaktorer.

Question 14

Antag att polynomet p(x) har reella koefficienter. Visa att om p(α) = 0 så är även p(α̅) = 0.

Question 15

Visa att att varje reellt polynom kan faktoriseras i reella faktorer av högst graden två.

Question 16

Skriv upp Maclaurins formel med Lagranges restterm.

Question 17

För vilka x är Maclaurinpolynomet pₙ(x) en god approximation av f(x)? Varför vill man approximera med polynom?

Hur avgör man hur noggrann approximationen är?

Question 18

Skriv upp Taylors formel (utveckling kring x = a) med Lagranges restterm.

Question 19

Skriv upp standardutvecklingarna (11.5)–(11.10) i läroboken.

Question 20

Vad menas med uttrycket ”F är en primitiv funktion till f i intervallet I”?

Question 21

Bevisa att om F och G är primitiver till samma funktion f,
så är G(x) = F(x) + C, där C är en konstant.

Question 22

Lär dig de “elementära primitiva funktionerna” på sid. 273 i boken.

Question 23

Skriv upp och bevisa formeln för partialintegration. Ange även ett exempel där det är lämpligt att använda partialintegration.

Question 24

Hur utför man variabelbyte när man bestämmer en primitiv funktion? Vilken deriveringsregel ligger bakom?

Question 25

Beskriv ansatsprinciperna vid partialbråksuppdelning samt hur man bestämmer ansatskoefficienterna.

Question 26

Vad är en Riemannsumma till en kontinuerlig funktion f i intervallet [a, b]? Förklara ingående beteckningar med hjälp av en figur. Vad händer då indelningen förfinas?

Question 27

Lär dig räknelagarna för integraler (13.8)–(13.11) i läroboken.

Question 28

Formulera triangelolikheten för integraler. Troliggör med en skiss.

Question 29

Formulera integralkalkylens medelvärdessats och förklara den med hjälp av en figur.

Question 30

Formulera och bevisa analysens huvudsats med hjälp av integralkalkylens medelvärdessats.

Question 31

Låt f vara kontinuerlig i a ≤ x ≤ b. Använd huvudsatsen för att bevisa insättningsformeln ₐ∫ᵇ f(x)dx = F(b) - F(a)
där F är en (godtycklig) primitiv till f.

Question 32

Vad menas med uttrycket ”den generaliserade integralen
f(x) dx är konvergent”? ₐ∫∞ f(x) dx är konvergent?”

Question 33

På vilka sätt kan integraler vara generaliserade? Hur beräknar man dem (om de är konvergenta)?

Question 34

Hur lyder jämförelsesatsen för generaliserade integraler av formen ₐ∫∞ f(x) dx? Illustrera med en figur.

Question 35

Hur kan ₖ₌₁Σⁿ f(k) uppskattas med en integral av f, om f är en avtagande (växande) funktion.
Rita figur.

Question 36

Hur beräknar man arean av området mellan två funktionskurvor?

Question 37

Förklara den s.k. skivformeln
ₐ∫ᵇ A(x)dx
för volymen av en kropp

Question 38

Då grafen y = f(x), a ≤ x ≤ b, roterar kring x-axeln uppstår en rotationskropp (alternativt rotationsyta). Förklara dels hur man kan få fram en beräkningsformel för volymen av kroppen, dels hur man kan få fram en beräkningsformel för den uppkomna rotationsytans area.

Question 39

Kontrollera att du i tyngdpunktsberäkningar förstår hur symboliska integraler som ₖ∫ xdm
ska översättas till vanliga integraler. Vad betyder x och dm?

Question 40

Ange formeln för längden av en kurva i planet som a) ges på parameterform b) är en graf till en funktion f.

Question 41

Vad menas med en lösning till en differentialekvation? Visa att y = e^(x²) är en lösning till y’’ − 2xy’ − 2y = 0.

Question 42

Hur löser man en differentialekvation av formen
a) y’ + g(x)y = h(x)?
b) g(y)y’ = h(x)?

Question 43

Visa att den allmänna lösningen till differentialekvationen y’ = ay är
y = Ce^(ax)

Question 44

Hur löser du en integralekvation av t.ex. formen:

y(x)= ₀∫ˣ f(t)y(t)dt

Question 45

Vad betyder yh respektive yp i framställningen y = yh+yp av lösningarna till en differentialekvation av formen
y’’ + a(x)y’ + b(x)y = g(x).

Ange alla yh i föregående uppgift på reell form om a och b är reella konstanter.

Question 46

Ange yh i föregående uppgift om a och b är konstanter. Vilka olika fall måste särskiljas?

Question 47

Hur hittar du yp när g(x) är av formen
a) konstant,
b) polynom,
c) polynom ·e^αx,
d) polynom · cos βx (alternativt sin βx),
e) en summa av funktioner av ovanstående form?

Question 48

Ange den allmänna lösningen till differentialekvationen
y’’ + ω²y = 0.
Ge en fysikalisk tolkning av resultatet.

Question 49

Vad menas med resonans, och när kan resonans uppträda?