Funktionen: Definitionen Flashcards
Funktion
Eine Funktion ordnet jedem Element einer Grundmenge D eindeutig ein Element einer Zielmenge Z zu.
f: D-> Z, x -> y
Für das Element y schreiben wir auch f(x).
Kartesisches Produkt
Von zwei beliebigen Mengen A und B lässt sich das so genannte kartesische Produkt bilden.
A×B:={(x|y) : x ∈ A,y ∈ B}
Das ist „die Menge aller geordneten Paare“, die sich aus je einem Element aus der Menge A und einem aus der Menge B bilden lassen.
-> Jedes Element der einen Menge wird mit jedem Element der anderen Menge gepaart
Für die Mächtigkeit von A×B gilt: A * B
Relation
Jede(x-beliebige)Teilmenge R⊆ A×B heisst „Relation zwischen A
und B“
Linkstotal
Eine Relations R⊂ {(x|y): x ∈ A, y ∈ B} heisst linkstotal, wenn gilt für alle Elemente x ∈ A ein y ∈ B existiert, so dass (x|y) ∈ R
Jedem X kann mindestens ein Y zugeordnet werden.
Rechtseindeutigkeit
Eine Relations R ⊂ {(x|y): x ∈ A, y ∈ B} heisst rechtseindeutig, wenn gilt für alle
Elemente x ∈ A; y, z ∈ B
Wenn (x|y) ∈ R und (x|z) ∈ R, dann y=z
Jedes X hat höchstens ein Y
Linkseindeutigkeit
Eine Relations R ⊂ {(x|y): x ∈ A, y ∈ B} heisst linkseindeutig, wenn gilt für alle
Elemente x ∈A; y, z ∈ B
Wenn (x|z) ∈ R und (y|z) ∈ R, dann x=y
Jedes Y hat höchstens ein X
Funktion (mengentheoretisch)
Funktionen sind linkstotale, rechtseindeutige Relationen.
Zuordnungsaspekt
Durch Funktionen werden Zusammenhänge zwischen Elementen von Mengen beschrieben. Dabei wird einem Element einer Ausgangsmenge eindeutig ein Element aus einer Zielmenge so zugeordnet, so dass dieses Element von dem anderen abhängig ist.
Kovariationsaspekt
Durch Funktionen wird erfasst, wie sich Änderungen einer Grösse auf die abhängige Grösse auswirken.
Objektaspekt
Mit Funktionen betrachtet man einen gegebenen Zusammenhang zwischen Grössen als Ganzes.
bijektiv
Eine Funktion ist linkseindeutig. Sie kann auch eineindeutig genannt werden. (Umkehrbar)
Lineare Zuordnung
Zu gleichen Zuwächsen im Argument (x-Wert), gehört immer der gleiche Wachstumssummand (beim y-Wert).
Lineare Zuordnung
was sagen m und n aus?
Bei einer linearen Funktion mit Funktionsgleichung y = mx+n beschreibt n den y-Achsenabschnitt und m die Steigung.
Proportionalität
Dem r-fachen Wert der einen Grösse entspricht der r-fache Wert der zugeordneten Grösse.
Proportionalität (Funktionalgleichung)
Eine auf Q+ definierte Funktion heisst proportional, wenn gilt
f(r · x) = r · f (x) für alle r und x ∈ Q+
Funktionalgleichung vs. Funktionsgleichung
Funktionalgleichungen drücken Eigenschaften von Funktionen allgemein aus.
Funktionsgleichungen beschreiben dagegen die Funktion durch einen berechenbaren Ausdruck (z.B. f(x) = x2 −1).
Quotientengleichheit
f(x1) / x1 = f(x2) / x2
f(x) / x = f (1) = m
Verhältnisgleichheit
Ist eine Variante der Quotientengleichheit:
f(x1) / x1 = f(x2) / x2 ergibt umgestellt
x1 / x2 = f(x1) / f(x2)
Zwei Werte der 1. Grösse stehen im gleichen Verhältnis wie die entsprechenden Werte der 2. Grösse.
Proportionalitätsfaktor
Die Konstante m = f(1) ist damit charakteristisch für
eine Proportionalität f. Sie heisst daher Proportionalitätsfaktor.
Proportionalität (additive Funktionalgleichung)
Eine auf Q+ definierte Funktion heisst proportional, wenn gilt
f(x1 +x2) = f(x1) + f(x2) für alle x1,x2 ∈ Q+
Indirekte Proportionalität
Dem r-fachen Wert der einen Grösse einspricht der r-te Teil der zugeordneten Grösse.
indirekte Proportionalität (Funktionalgleichung)
Eine auf Q+ definierte Funktion heisst indirekt proportional (umgekehrt proportional, antiproportional), wenn gilt:
f (r · x) = 1/r ·f (x) für alle r und x ∈ Q+.
Produktgleichheit bei der indirekten Proportionalität
x * f(x) = f(1) = m
x * f(x) ergibt wieder die “Gesamtmenge” die es zu verteilen gilt
Arithmetisches Mittel
Zu zwei Zahlen a , b > 0 ist das arithmetische Mittel
(a + b) /2
