Föreläsning 2: Logicismen Flashcards
- Vad innebär Freges logicism?
Freges logicism är idén att alla matematiska sanningar kan härledas från logiska sanningar och att matematik därmed är en gren av logiken. Matematiska sanningar är analytiska och a priori, och intuition spelar ingen roll i matematiska resonemang.
- Hur ser Freges syn på matematiken ut ur ett metafysiskt och epistemologiskt perspektiv?
- Metafysik/semantik: Realistisk – matematiska objekt som tal och funktioner existerar objektivt och är oberoende av vår perception av världen.
- Epistemologi: Matematiska sanningar är logiska sanningar och därmed analytiska och a priori. Vi behöver inte erfarenhet för att förstå dem.
- Vad var Freges främsta invändning mot psykologism?
Frege var en stark motståndare till psykologism, idén att matematiska sanningar är beroende av mänsklig perception eller psykologi. Han argumenterade för att matematik är objektiv och oberoende av individuella uppfattningar.
- Hur skiljer sig Freges syn på matematiska sanningar från Kants?
Kant ansåg att matematiken var syntetisk a priori, vilket betyder att den gav ny information om världen men inte var härledd från logiken. Frege, å andra sidan, hävdade att matematiska sanningar var analytiska a priori och kunde härledas från rena logiska principer.
- Vad är skillnaden mellan Freges och Kants syn på analyticitet?
- Kant: Analytiska satser är sådana där subjektet redan innehåller predikatet, t.ex. “Alla ungkarlar är ogifta”.
- Frege: För att kunna inkludera matematik under analytiska sanningar behövde Frege utvidga begreppet analyticitet. Han gjorde detta genom att uppfinna predikatlogiken, där mer komplexa samband kunde uttryckas logiskt.
- Vad är Freges argument för att matematiska objekt existerar?
- Premiss 1: Ord som “tal” och “linje” refererar till matematiska objekt.
- Premiss 2: Matematiska påståenden är sanna.
- Slutsats: Matematiska objekt existerar.
Detta är ett språkfilosofiskt argument där Frege menar att matematiska objekt måste existera eftersom vi använder språket för att referera till dem i sanna påståenden.
- Vad innebär Freges “kontextprincip”?
Kontextprincipen innebär att meningen hos ett enskilt ord bestäms av hur det bidrar till sanningsvärdet för satser där det förekommer. Det betyder att vi förstår ett ords betydelse genom att se hur det används i en kontext.
- Vad är Humes princip och hur används den av Frege?
Humes princip uttrycker att antalet objekt med en egenskap F är lika med antalet objekt med en egenskap G om och endast om F och G beskriver samma mängd objekt. Frege använde detta för att formalisera matematisk abstraktion och koppla antal till ekvivalensklasser.
- Vad är Grundlag V och hur leder den till Russells paradox?
Grundlag V säger att två mängder är lika om och endast om de innehåller exakt samma element. Denna princip ledde till Russells paradox, som uppstår när vi försöker definiera mängden av alla mängder som inte innehåller sig själva, vilket leder till en logisk motsägelse.
- Vad är Julius Caesar-problemet och varför är det viktigt för Frege?
Julius Caesar-problemet handlar om hur vi kan avgöra om ett tal är något annat än en individ som t.ex. Julius Caesar. Problemet är att Frege behöver ge sanningsvillkor för att kunna avgöra när ett tal som definieras som en ekvivalensklass är meningsfullt skilt från en konkret individ. Frege försökte lösa detta genom att definiera tal som ekvivalensklasser, men detta löste inte problemet tillfredsställande.
- Hur påverkade Russells paradox Freges system?
Russells paradox visade att Freges Grundlag V ledde till motsägelser. Paradoxen underminerade hela Freges projekt och visade att hans försök att grunda aritmetiken i logiken var ohållbart utan modifieringar.
- Vad innebar Russell och Whiteheads typteori, och hur försökte den lösa paradoxen?
Russell och Whitehead införde typteorin, som delade variabler i olika typer för att undvika självreferens och de paradoxala situationer som uppstod i Freges system. Typteorin innebar att mängder inte kunde referera till sig själva, vilket förhindrade paradoxen.
- Vad är neologicism och vad är dess främsta utmaning?
Neologicism är ett försök att återuppliva Freges projekt genom att använda abstraktionsprinciper utan att införa så starka antaganden att paradoxer uppstår. Den främsta utmaningen är att motivera var man ska dra gränsen – varför är Humes princip tillåten, men inte Grundlag V? Dessutom kvarstår Julius Caesar-problemet.
- Hur väl klarar Freges logicism av integrationsproblemet?
Freges logicism erbjuder ett koherent svar på den metafysiska och epistemologiska frågan genom att hävda att matematiska objekt är objektivt verkliga och att matematiska sanningar är analytiska och a priori. Däremot uppstår problem med den pragmatiska frågan, särskilt efter Russells paradox, eftersom hela systemet riskerar att kollapsa på grund av de logiska motsägelserna.
- Hur problematiskt är Julius Caesar-problemet för logicismen?
Julius Caesar-problemet är ett genuint problem för Frege eftersom hans teori om tal förutsätter att vi kan ge sanningsvillkor för påståenden där tal ingår. Om vi inte kan skilja tal från andra objekt, som individer, blir Freges definition av tal underminerad. Många anser att problemet förblir olöst i Freges system.
