Föreläsning 1: Intro

Question 1

1. Vad är integrationsproblemet inom filosofin om matematik?

Answer 1

Integrationsproblemet innebär att försöka besvara både den metafysiska/semantiska och epistemologiska frågan om matematiska objekt på ett koherent och sammanhängande sätt.

Question 2

2. Vilka är de två huvudfrågorna som måste besvaras för att lösa integrationsproblemet?

Answer 2

• Metafysisk/semantisk fråga: Hur ska vi förstå de objekt (tal, funktioner, mängder osv.) som matematiken refererar till?
• Epistemologisk fråga: Hur förklarar vi att vi kan få kunskap om dessa objekt?

Question 3

3. Vad innebär den pragmatiska frågeställningen i relation till integrationsproblemet?

Answer 3

Den pragmatiska frågan handlar om att förklara matematikens framgångsrika användning inom vetenskap och teknologi, det vill säga varför och hur matematiska begrepp fungerar så bra i praktiken, trots eventuella filosofiska problem.

Question 4

4. Hur beskriver Platon de objekt som matematiken refererar till (metafysisk/semantisk fråga)?

Answer 4

Enligt Platon är matematiska objekt abstrakta men verkliga, likt idéer i en separat idévärld. De existerar oberoende av den fysiska världen och är lika “verkliga” som konkreta objekt.

Question 5

5. Hur förklarar Platon att vi kan få kunskap om matematiska objekt (epistemologisk fråga)?

Answer 5

Platon menar att vi har kunskap om matematiska objekt eftersom vi minns dem från själens tidigare existens i idévärlden, där vi hade direkt kontakt med dessa abstrakta objekt.

Question 6

6. Varför anses Platons epistemologi vara otillfredsställande ur ett modernt vetenskapligt perspektiv?

Answer 6

Platons idé om att kunskap är ett minne från själens tidigare liv anses vara otillfredsställande och svår att förena med moderna vetenskapliga förklaringsmodeller, som kräver empirisk eller rationell bas för kunskap.

Question 7

7. Hur besvarar fiktionalismen den metafysiska/semantiska frågan om matematikens objekt?

Answer 7

Fiktionalismen hävdar att matematiska objekt är fiktiva, ungefär som karaktärer i en roman. De existerar inte på riktigt, utan är skapade av människan för att uppfylla ett syfte.

Question 8

8. Varför anser fiktionalister att den epistemologiska frågan inte behöver förklaras?

Answer 8

Eftersom matematikens påståenden är strikt sett falska, enligt fiktionalismen, finns det inget behov att förklara hur vi får kunskap om dem – vi har ingen “verklig” kunskap om dessa objekt.

Question 9

9. Vilka problem stöter fiktionalismen på när det gäller matematikens pragmatiska användning?

Answer 9

Fiktionalismen har svårt att förklara varför matematik fungerar så framgångsrikt inom vetenskap och teknologi om dess objekt bara är fiktiva. Det pragmatiska problemet är varför en fiktiv teori skulle vara så användbar i den verkliga världen.

Question 10

10. Vad innebär skillnaden mellan en realistisk och en antirealistisk syn på matematik?

Answer 10

• Realistisk syn: Matematiska objekt existerar oberoende av människans tänkande, precis som fysiska objekt.
• Antirealistisk syn: Matematiska objekt är beroende av människans uppfattning och existerar inte utanför våra tankar eller begrepp.

Question 11

11. Vad är skillnaden mellan syntetisk och analytisk kunskap?

Answer 11

• Syntetisk kunskap: Kunskap som bygger på observation eller erfarenhet och utvidgar vår förståelse, till exempel “Alla kroppar är tunga”.
• Analytisk kunskap: Kunskap som är sann enbart genom begreppens innebörd, utan att behöva hänvisa till erfarenhet, till exempel “En ungkarl är en ogift man”.

Question 12

12. Vad innebär att något är a priori respektive a posteriori?

Answer 12

• A priori: Kunskap som vi kan ha oberoende av erfarenhet, till exempel matematiska eller logiska sanningar.
• A posteriori: Kunskap som baseras på erfarenhet eller observation av den yttre världen.

Question 13

13. Hur ser Kants metafysiska syn på matematiken ut?

Answer 13

Kant har en antirealistisk syn på matematiken. Han menar att matematik handlar om former för vår egen perception av världen, snarare än objekt som existerar oberoende av oss.

Question 14

14. Hur klassificerar Kant den kunskap vi får genom matematiken? Är den syntetisk eller analytisk? A priori eller a posteriori?

Answer 14

Kant menar att matematisk kunskap är syntetisk a priori. Den är syntetisk eftersom den ger ny information om världen, men a priori eftersom vi kan nå den utan att behöva erfarenhet, då den bygger på våra inneboende former av perception och tänkande.

Question 15

15. Vilka var några av de viktigaste matematiska framstegen under 1800-talet?

Answer 15

• utvecklingen av rigorös analys
• icke-euklidisk geometri
• Cantors teorier om oändlighet och mängdlära.

Question 16

16. Vad innebär det att en funktion är kontinuerlig enligt den intuitiva förståelsen?

Answer 16

Intuitivt innebär kontinuitet att en funktion kan ritas utan att lyfta pennan, det vill säga att det inte finns några avbrott eller hopp i funktionen.

Question 17

17. Vilka problem uppstod kring begreppet kontinuitet och deriverbarhet under 1800-talet?

Answer 17

Ett av de stora problemen var att vissa kontinuerliga funktioner, som Weierstrass funktion, visade sig vara inte deriverbara någonstans, trots att de var kontinuerliga överallt. Detta utmanade den intuitiva uppfattningen av kontinuitet och deriverbarhet.

Question 18

18. Vad var Weierstrass funktion, och varför sågs den som ett “monster” av samtida matematiker?

Answer 18

Weierstrass funktion var kontinuerlig överallt men deriverbar ingenstans, vilket var ett motexempel till den traditionella uppfattningen om samband mellan kontinuitet och deriverbarhet. Funktionen sågs som ett “monster” eftersom den sträckte sig bortom vad många ansåg vara sunda förnuftets gränser.

Question 19

19. Vad var problemet med Euklides parallellpostulat, och hur försökte matematiker som Lobachevsky och Bolyai lösa det?

Answer 19

Problemet med Euklides parallellpostulat var att det inte gick att härleda från de andra postulaten i Euklides geometri. Lobachevsky och Bolyai löste detta genom att utveckla hyperbolisk geometri, där parallellpostulatet inte gäller.

Question 20

20. Vad var Cantors bidrag till begreppet oändlighet och mängdlära?

Answer 20

Cantor introducerade begreppet transfinit tal och visade att mängden reella tal är större än mängden rationella tal, vilket innebar att olika oändligheter kunde ha olika storlekar.

Question 21

21. Varför mötte Cantors idéer om transfinita tal stort motstånd från samtida matematiker som Kronecker och Poincaré?

Answer 21

Många samtida matematiker, som Kronecker och Poincaré, motsatte sig Cantors teorier eftersom de ansåg att de var alltför spekulativa och gick emot traditionella matematiska principer. Kronecker var särskilt kritisk och menade att matematiken borde grunda sig på heltal och rationella tal, snarare än abstrakta oändligheter.