Föreläsning 2 - Komplexa & holomorfa funktioner, Cauchy-Riemanns ekvationer. Flashcards
D(a,r):={z e C : |z-a|< r} (a e C, r e R)
D är cirkelskivan i det komplexa planet med centrum i a och radien r
vad som menas med|z-a| är att längden från en punkt z till a alltid är mindre än radien, dvs den är inne i cirkelskivan alltid???
G är en mängd i planet, dvs G c_ C. (bild) vad är def av a,b,c?
a är en inre punkt till G OM det inte finns någon positiv radie r så att någon hel cirkelskiva ligger helt inne i G (D(a,r)c_ G))
b är en yttre punkt till G om det finns någon positiv radie r så att D(a,r) c_ G^c (dvs ligger helt utanför G)
c är en randpunkt till G om den varken är inre eller yttre
(mängder av randpunkter kallas randen till G)
Hur kan man karaktärisera vilken sorts mängd man har med a,b,c punkterna?
om alla a (punkter) i G är inre punkter då är G öppen
G är sluten om alla b e G^c är yttre punkter
G är kompakt om den är sluten och begränsad, dvs G ligger i en mycket större cirkelskiva?? dvs G c_ D(O,R) för något R<R??
Vad är en typisk öppen mängd?
D(a,r):={z e C : |z-a|< r}
då |z-a|< r än en strikt likhet. För om en punkt ska ligga i cirkelskivan måste avståndet mellan z och a vara strikt mindre än r. Då ser man att det alltid får plats en liten cirkelskiva -> öppen
När man får en sluten cirkelskiva?
När man byter olikheten till icke-strikt.
Dvs D_(a,r):={z e C : |z-a|<_r}
tex om man tar en punkt på randen då är den lika med r, dvs ej öppen utan sluten.
Den är även begränsad pga D(O,R) ??? alltså är den kompakt.
När är den kompakt?
(fel håll g)D(a,r) := {z: |z-a|=r}
Är den reella axeln öppen, sluten eller kompakt?
Den är sluten pga får plats med en hel cirkelskiva utanför linjen men ej kompakt då axeln fortsätter i all oändlighet och är då ej begränsad av en cirkelskiva
Definitionen av en kurva
En kurva i G är en kontinuerlig funktion gamma från ett reellt intervall till G
gamma : [alfa,beta]–>G (alfa beta rella tal)
(BILD)
När är kurvan glatt?
En kurva är glatt (eng.smooth) när derivatan av gamma existerar och är kontinuerlig och derivatan ej är lika med noll.
När en kurva är glatt får man oftast inte skarpa hörn??
Vad är definitionen av en sammanhängande öppen mängd G?
en öppen mängd G är sammanhängande om det för varje par av punkter (z,w e G) finns en kurva i G mellan dom.
G kallas då för ett område
dvs sammanhängande när man alltid kommer hitta en kurva mellan två punkter
(BILD)
Varför är (bild) inte sammanhängande?
Pga den måste vara kontinuerlig och kontinuerliga funktioner kan aldrig hoppa så
Sats 2.5 i PB
Om G är ett område och vi har en reell-värd funktion u:G->R så att delta u = 0, då kommer funktionen automatiskt att vara konstant.
Bevis för sats 2.5
fdddg
Def av komplexa funktioner och tre exempel
Låt G e C. En funktion f från G till C (f:G->C) kallas för en komplex funktion.
i) z^2:C–>C
ii) z_/z : C{0}–>C
iii) x-7iy : C–>C
