Föreläsning 1 - Intro komplexa tal

Question 1

När är f holomorf?

Answer 1

När lim h->0 f(z+h) - f(z)/h = f’(z) existerar för alla z.

Question 2

Ge exempel på holomorfa funktioner

Answer 2

z^3 -iz +3, e^z, sin(z),..

Question 3

Vad betyder holomorf?

Answer 3

En funktion är holomorf när funktionen är differentierbar i varje punkt i sitt definitionsområde i det komplexa planet. Dvs när man tar en komplex funktion f(z) och väljer vilken punkt som helst i området som fkn är definierad så kmr man alltid hitta en derivata i den punkten. Tänk på det som en väldigt slät och smidig funktion. När man ritar en kurva i det komplexa planet så kmr den holomorfa funktionen följa kurvan utan att hoppa runt eller bli plötsligt mkt stor eller liten, utan den följer vägen smidigt och kontinuerligt. Dvs man kan alltid ta derivatan av en holomorf funktion och få ett vettigt svar

Question 4

Om f är holomorf vad är då integralen av f?

Answer 4

Sfdz=0 (Cauchys sats)

Question 5

Om f är singulär i enstaka punkter vad är då integralen av f? (tex 1/(1+z^2) är singulär i +/- i)

Answer 5

Då kan man beräkna integralen mha residykalkyl

Question 6

Namnge vissa tillämpningar med komplex analys?

Answer 6

Röntgenkristallografi,
Fermats stora sats (a^n+b^n=c^n) saknar heltalslösningar för n>2,
Riemannhypotesen är bara noll på linjen??

Question 7

Vad är definitionen av komplexa tal?

Answer 7

C:={x+iy, x,y e R}

Question 8

(x+iy)+(a+ib)=

Answer 8

(x+a)+i(y+b)

Question 9

(x+iy)*(a+ib)=

Answer 9

(xa-yb)+i(xb-ya)

Question 10

vad är |z|?

Answer 10

är längden på z (sqrt(x^2+y^2))

Question 11

Skriv z i polär form

Answer 11

z=r(cos(Ö)+isin(Ö))

Question 12

vad är arg(z)?

Answer 12

theta i polära formen. bestämt upp till multipel av 2pi

Question 13

vad är r i polära formen?

Answer 13

längden på z (|z|)

Question 14

vad är z*w (dvs multiplikation av två komplexa tal i polär form?

Answer 14

zw=rs(cos(Ö+Ä) + isin(Ö+Ä))

Question 15

vad är |zw|?

Answer 15

= |z||w|=arg(zw)=arg(z)+arg(w)
Då absolutbeloppet av produkten av två komplexa tal är lika med produkten av deras absbelopp, men arg för produkten är summan av argumenten för z och w

Question 16

Vad är definitionen av e^iÖ? och varför?

Answer 16

e^iÖ=cos(Ö)+isin(Ö) pga Eulers formel

Question 17

De Moivres formel

Answer 17

(cos(Ö)+isin(Ö))^n = (e^iÖ)^n = e^inÖ = cos(nÖ)+isin(nÖ)

Question 18

Vad är det komplexa konjugatet?

Answer 18

z_=x-iy=re^-iÖ

Question 19

Prop 1.5

Answer 19

a) 1/z+/-w = z_ +/- w_
b) z_w=z_w_
c) (z_/w) = z_/w_
d) z_=z ???
e) |z_|=|z| ???
f)= |z^2| = zz_
g) Rez = 1/2(z+z_)
h) Imz = 1/2i*(z-z_)

Notera att z/w = zw_/ww_ = z*w_/|w|^2

Question 20

Olikheter

Answer 20

i) z<w meningslöst för z,w e C
pga komplexa tal inte har en naturlig ordning som reella tal
däremot har |z|<|w| mening pga man jämför längden av två komplexa tal i komplexa planet, dvs om |z| är mindre än |w| betyder det att z befinner sig närmare origo än w.

ii) Notera att |Rez|<_ |z| (|x|<_ sqrt(x^2+y^2))
samma för Imz och y

Question 21

Triangelolikheten (Prop 1.6)

Answer 21

|z+w|<_ |z|+|w|

Question 22

Bevis för triangelolikheten

Answer 22

djdkjgdgjdlg

Question 23

Omvända triangelolikheten

Answer 23

|z+w|>_ |z| - |w|

Question 24

Vad är arg?

Answer 24

arg(z)=theta
arg=arctan(Imz/Rez)