Flerdim

Question 1

Hur skrivs rymdpolära/sfäriska koordinater och varför skrivs de som de gör?

Answer 1

x = rcos(theta)cos(p)
y rcos(theta)sin(p)
z= rsin(theta)

0 ≤ theta ≤pi
0 ≤ p ≤2 pi

Det går att hitta genom att rita upp rtvinkliga trianglar i x och y-led.

Question 2

Hur skrivs cylindriska koordinater?

Answer 2

x = rcos(theta)
y = rsin(theta)
z = Z

Question 3

När är cylindriska koordinater mer användbara och nära är sfäriska koordinater mer användbara?

Answer 3

Om både x y o z beror på vinkel är sfäriska bättre medans polära o rymdpolära är bättre ifall det enbart är x och y led

Question 4

Vad är viktigt när man sammansätter funktionerna?

Answer 4

Att den innre funktionens värdemängd är samma som den yttres definitionsmängd

Question 5

Hur är koordinabyten viktiga?

Answer 5

Koordinatbyten är vikitga när det komer till o parametrisera funktioner och skriva o dom på tex sfäriska elr cylindriska koordinater vilket bla är viktigt när det kommer till integraler

Question 6

Varför är kompakta Mängder viktiga?

Answer 6

Optimering är betydligt mycket lättare på kompakta mängder då kompakta mängder garanterat har definierat största o minsta värde då de är slutna och begränsade.

Question 7

Vad är en viktigt skillnad när det kommer till gränsvärden mellan endimensionell och flerdimensionell analys?

Answer 7

Att man kan närma sig en punkt från obegränsat många håll inom flerdimensionell analys medans man enbart kan nära sig en punkt från 1 håll i endimensionell anlays. Pga kurvaturen kan gränsvärdet va olika i olika punkter och drmed saknas

Question 8

Hur beräknas gränsvärden för ytor?

Answer 8

Man skriver o funktionen på polär form och låter r gå mot 0 är funktion som blir kvar då oberoende av vinkel theta eller phi har funktionen gränsvärde i punkten annars saknas det.

Question 9

Varför är differentierbarhet någonting viktigt inom flerdimensionell analys?

Answer 9

För att det här itne är det samma som partiell deriverbarhet. En funktion kan vara partiellt deriverbar utan att vara differentierbar. anledningen till det är att de partiella derivatorna enbart beskriver ytan beteende vid koordinataxlarna.

Question 10

Varför är gradienten vitkig?

Answer 10

Ett viktigt användningomårde är när det kommer till att ta fram riktiningsderivatan utöver det ger det ett mått på den totala lutningen

Question 11

Hur skrivs kedjeregeln för flervariabelsfunktioner?

Answer 11

h(x,y) = f(g(x, y))

grad(h) = grad(g):f’(g(x,y))

Question 12

Hur bör man göra för att lösa en partiella differential ekvation av första ordningen?

Answer 12

Det beror på men ett sätt som kan vara effektivt är variabelbyte.

Question 13

En sak som är vitkgit när man tar primitiva funktionen av av en partiell derivata är att…

Answer 13

Det blir en funktion av den andra variabeln som läggs till istället för en konstant

Question 14

Hur hittar man maximi, minimi och sadelpunkter?

Answer 14

Man löser ut värdena för x och y som sätter både de partiella derivatorna till 0.

Om f’‘xxf’‘yy -f’‘xy^2 > 0 är det en extrempunkt om den är mindre än 0 är det en sadelpunkt

om det är en extrempunkt och f’‘xx > 0 är det en mini, om den är mindre är det en maximipunkt.

f’‘xxf’‘yy -f’‘xy^2 = 0 så kan vi inte avgöra det på detta sätt

Question 15

Hur utför man optimering på ett kompakt område inom flerdim?

Answer 15

Hitta värden för extempunkter.

Hitta extrempunkter för randfunktionen.

Hitta värden i hörnen för funktionen

Question 16

Varför är kompakta områden vitkiga när det kommer till optimering?

Answer 16

Kompakta områden är viktiga när det kommer till optimering eftersom att dessa måste anta något största och minsta värde oh dessa går o hitta genom att kolla på extrempunkter och på randen

Question 17

Hur utför man optimering på ickekompakta område

Answer 17

Man försöker avgränsa område och skapa bevisa att största och minsta värden måste finnas inom det området. Detta kan göras genom att börja med att välja en godtykligt gräns och sedan studera vad som sker när man låter den gå mot oändligt.

Question 18

Hur utförs optimering med bivillkor?

Answer 18

Hitta punkten där gradienterna är lika med noll, detta kommer att vara punkten där nivåkurvorna är paralella, detta kommer att vara en extrempunkt då detta är punkt då riktingingen är lika me noll och om nivårkurvorna inte r paralella innebär det att det skullle gå o fortsätta för att hitta ett värde som är större eller mindre.

Question 19

Hur utförs lagrange multipliers och varför?

Answer 19

Lagrange multipliers utförs för att optimering en funktion med bivillkor då det inte finns lika många vilkor som antalet variabler vilket gör att det inte går hitta extrempunkter via determinantberäkning.

Iistället löser man grad(f) = lambda* grad(g) och g=C bivillkoret simultant för att kunna lösa ut de möjliga lösningarna.

Question 20

Kedjeregeln för n -> n transformationer sker via

Answer 20

Multiplikation av de yttre och innre jacobimatris sedan insättning av lämplig variabel

Question 21

Varför är implicita funktionssatsen vitkig?

Answer 21

Den implicita funktionssatsen är viktig då den möjliggör än att skriva om en kurva på 2 vaibler som en envariabelsfunktion lokalt ifall funktionen är differentierbar.

Question 22

Vad är inversa funktionssatsen?

Answer 22

Den inversa funktionssatsen säger att om en funktion är partiellt deriverbar på ett område och har nollskiljd derivata på området så kommer funktionen va inverterbar på området

Question 23

Varför är invera funktionssatsen viktig?

Answer 23

Inversa funktionssatsen är vitkig då den visar vilka n -> n mappningar som är inverterbara vilket är viktigt när det kommer till variabelbyte vid bla annat integralberäkning och lösning av diff ekvationer

Question 24

Varför är variabelbyte viktigt när det kommer till multipelintegraler?

Answer 24

Anledningen till att variabelbyte är vitkgit när det kommer till multipelintegraler är att området som integrering ska ske på kan vara mycket svårare

Question 25

Varför är greens formel viktig?

Answer 25

Den hjälper till med att lösa en kurvintegral genom att omvandla den till en något enklare dubbelintegral

Question 26

Varför är potenitalfält användbar?

Answer 26

Det möjliggör än att användinstoppningsformeln pga property vägoberoende vilket är viktigt

Question 27

Vad innebär en flödes integral och varför är de användbara?

Answer 27

Flödesintegraler är användbara då de används för att beskriva hur mycket en väg ligger i linje med ett vektorfält. Man skulle kunna tänka sig att detta skulle kunna vara användbart när man väljer flygrutt under vindsfyllda förhållanden