Examen Intra didactique arithmétique II Flashcards
Quelles sont les fonctions des ensembles de nomrbes?
- Solutionner des problèmes dans un ensemble donnée
- Comprendre le sens des nombres
- Mieux se représenter / modéliser des situations mathématiques
- Opérer sur les nombres, résoudre des problèmes mathématiques
Vrai ou Faux.
Est-ce que la solution trouvé est nécessairement interne à l’ensemble déjà existant.
Faux
La division de deux nombres naturels peut donner un nombre rationnel
Quelles sont les trois compétences disciplinaires développées en mathématique?
- Résoudre une situation problème
- Raisonner à l’aide de concept et de processus mathématiques
- Communiquer à l’aide du langage mathématique
Quels sont les apports de la didactique?
Elle donne des ingrédients pour favoriser l’enseignement selon le type d’élève. Elle met en avant plan le triangle didactique.
Quels sont les six ensemble de nombres?
Réel, irrationnel, rationnel, décimaux, entier, naturel
Qu’est-ce qu’un nombre naturel?
Un ensemble discret comptable, fini. Un nombre entier positif.
Qu’est-ce qu’un nombre entier?
Un entier négatif et positif. Utilisé dans le plan cartésien
Qu’est-ce qu’un nombre décimal?
S’écrit sous la forme décimale (/10), d’un entier multiplié par une puissance de 10 ou d’un développement décimal limité.
Qu’est-ce qu’un nombre rationnel?
Partie décimale illimité et périodique, fraction qui n’est pas sur 10.
Qu’est-ce qu’un nombre irrationnel?
Nombre ne pouvant pas être représenté par une fraction, nombre décimal illimité et non périodique.
Qu’est-ce qu’un nombre réel?
Tous les nombres numériques qui existent
Quels ensembles de nombres sont appris au primaire?
Naturel, entier, décimaux, rationnel et le nombre pi
Quelle est la relation entre les ensembles de nombres?
Il y a une relation d’inclusion entre chacune d’elle.
Nomme quatre ruptures épistémologiques qui existent entre les nombres naturels et les nombres rationnels?
- Rupture épistémologique entre N (Grandeur = quantité) et Q (Grandeur dépend de la fraction)
- Il existe une infinité de Q entre deux nombres N
- Pas les mêmes règles entre N et Q.
- Rupture conceptuelle dû au nouvel ensemble de nombres
Qu’est-ce qu’une fraction?
C’est l’expression d’un nombre rationnel sous la forme a / b
Qu’est-ce qu’un numérateur?
C’est le nombre entier sur la barre de fraction. Il sert à dénombrer le nombre de parties qui ont été prises en compte; indique la quantité de partie fractionnaire. (Différent selon le sens)
Qu’est-ce qu’un dénominateur?
C’est le nombre entier sous la barre de fraction. IL précise le type de partie fractionnaire que nous dénombrons. Il renseigne sur le nombre par lequel il faut diviser le tout. (Différent selon le sens)
Qu’est-ce qu’une fraction décimale et en base dix
Le dénominateur est une puissance dix.
Qu’est-ce qu’une fraction équivalente?
C’est une fraction correspondant à la même proportion et non la même grandeur.
Qu’est-ce qu’une fraction impropre?
La partie fractionnaire est plus grande que le tout. Numérateur supérieur.
Qu’est-ce qu’une fraction propre?
La partie fractionnaire est plus petite que le tout. Numérateur inférieur.
Qu’est-ce qu’une fraction réductible?
C’est une fraction dont le numérateur et le dénominateur ont au moins un diviseur commun.
Qu’est-ce qu’une fraction irréductible?
C’est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
Qu’est-ce que la simplification de fraction?
Elle consiste à diviser le numérateur et le numérateur par le plus grand commun multiple (PGCD)
Qu’est-ce que l’amplification de fraction?
C’est multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre naturel
Qu’est-ce qu’une fraction unitaire?
Le numérateur est égal à 1
Qu’est-ce qu’une notation fractionnaire?
a / b correspond à la représentation de la fraction, le numérateur et le dénominateur sont séparés par une barre horizontale. (Conventionnel)
Quels sont les sens des fractions?
Partie d'un tout Rapport Quotient Mesure Opérateur
Qu’est-ce que le sens partie d’un tout?
- Quantité discrète ou continu
- Quantifie une relation entre un tout et un nombre de parties (Modèle d’inclusion)
- Permet de reconnaître qu’un tout a été partagé en parties égales
- Représenté selon les modèles de longueur, de surface et d’ensemble
Quelles sont les difficultés reliées au sens partie d’un tout?
- Le nombre de traits n’équivaut pas au nombre de part
- Le tout est égale à la somme des parties
- Difficulté à concevoir la fraction impropre
- Difficulté à séparer un tout en partie égale
Qu’est-ce que le sens rapport?
- Relation qui existe entre deux ensembles ou deux quantités (Modèle d’exclusion)
- Le numérateur et le dénominateur représentent deux éléments distincts
- Le prolongement du sens rapport permet de traiter la notion de proportion
- La valeur du numérateur peut être plus grande ou plus petite au dénominateur
Qu’est-ce que le sens quotient?
- Résultat de la division d’un nombre d’objets partagés en sous-collections
- La valeur du numérateur peut être plus grande ou plus petite au dénominateur
Qu’est-ce que le sens mesure?
- Nécessite une unité de mesure
- Consiste en l’itération d’un fraction unitaire (Mesure standardisé)
- Permet de saisir l’addition des fractions
Quelle difficulté est en lien avec le sens mesure?
- Cerner le type de problème
- Concept de fraction unitaire
Qu’est-ce que le sens opérateur?
- C’est une transformation multiplicative qui permet d’opérer sur une quantité de départ pour une autre quantité transformée par agrandissement ou réduction
- Considère la fraction comme une fonction
Quels sont les trois stades du développement du concept de fraction?
- Niveau pré-fractionnaire
- Niveau fraction-quantité
- Niveau fraction-relation
Qu’est-ce qui caractérise le niveau de développement de la pré-fraction?
- Non-coordination des opérations de partage et de réunion.
- Traite la fraction comme une collection de morceaux sans lien avec l’entier
- Partage inégal de l’entier (Parties inégales)
- Non-conservation ou non-épuisement d’un tout (Il y a un reste)
Qu’est-ce qui caractérise le niveau de développement de la fraction-quantité?
- Coordination des opérations de partage égal de l’entier et de réunion de parties si et seulement si les fractions ont un même entier ou un même tout de référence
- Comprend par la manipulation de relations équivalentes
- Difficulté lorsque deux touts n’ont pas le même entier de référence
Qu’est-ce qui caractérise le niveau de développement de la fraction-relation?
- Compare la relation que chaque fraction entretient avec son tout
- Compare deux fractions avec des touts différents
- Abstraction de la grandeur représentée par la fraction (Nonobstant de la différence des touts)
Qu’est-ce qui caractérise une bonne activité en lien avec les fractions?
- Elle permet la construction et la manipulation des fractions (Conceptualisation) Utilise du matériel pertinent
- L’objectif de l’activité (Sens et contenu) est mis en évidence
- Engendre des obstacles
- Doit donner du sens au vocabulaire
Qu’elle est la différence entre la représentation numérique et représentation?
Numérique: Appartient à l’ensemble des nombres (Abstrait)
Représentation: Matériel,modèles, symboles, chiffre
Quels sont les modèles continu et le modèle discret?
Continu: De surface, de longueur et de volume
Discret: D’ensemble
Qu’est-ce que le modèle de surface?
La surface représente le tout qui est divisé en régions fractionnaires ayant toutes la même aire. Permet de représenter le sens partie d’un tout.
Qu’est-ce que le modèle de longueurs?
Des sous-ensembles du tout représentent les parties fractionnaires. Permet de représenter le sens partie d’un tout et les fractions équivalentes.
Qu’est-ce que le modèle de volume?
La forme tridimensionnelle représente le tout qui est divisé en région fractionnaires de l’espace occupé par la forme.
Qu’est-ce que le modèle d’ensemble?
Les sous-ensembles représentent des parties fractionnaires. Il y a un nombre égal d’éléments dans chaque sous-ensemble. Permet de représenter le sens partie d’un tout et les fractions équivalentes.
Nommer trois matériels en lien avec le modèle de surface.
Modèle circulaire
Pièce de mosaïque géométrique
Géo Plan
Nommer trois matériel en lien avec le modèle de longueur.
Réglette cuisenaire
Bande de papier pliée
Droite numérique
Nommer un matériel en lien avec le modèle d’ensemble?
Des objets concrets
Qu’elle est l’utilité d’utiliser du matériel lors d’une activité sur les fractions?
Les modèles permettent de manipuler les fractions de manière concrète sans recourir à l’écriture. Ils permets de venir en aide aux difficultés en représentant concrètement les objets d’une manière interactive. Utiliser plusieurs modèles évite les blocages.
Qu’est-ce qu’une dimension?
Sur quoi j’opère
Quels sont les niveaux de difficulté de l’addition et de la soustraction de fraction?
- L’addition et la soustraction de nombre naturel et de fraction
- L’addition et la soustraction de fraction avec le même dénominateur
- L’addition et la soustraction de fraction dont le dénominateur est le multiple de l’autre
- L’addition et la soustraction de fractions quelconques
Quels sont les niveaux de difficulté de la multiplication de fractions?
- La multiplication de fraction par un nombre entier
2. La multiplication de fraction par une autre fraction
Quels sont les niveaux de difficulté de la division de fraction?
- Diviser une fraction par un nombre naturel. On multiplie le dénominateur
- Diviser un nombre naturel par une fraction. Inverser la fraction et faire une multiplication
- Diviser une fraction par une fraction. Inverser la seconde fraction et faire une multiplication
Quels sont les niveaux de difficulté des fractions équivalentes et de la comparaison de fractions?
- Fraction ayant un même numérateur: Fraction unitaire (Plus petit dénominateur = Plus grande fraction)
- Fraction ayant un même dénominateur (Plus grand numérateur = Plus grande fraction)
- Fractions quelconques: Recherche des fractions équivalentes et ramener aux stratégies précédentes
Nommer quatre difficultés en lien avec les fractions.
- La prégnance des règles du contrat didactique
- La surcharge de la mémoire de travail
- Le contexte ou les mots significatifs
- Faible richesse des connaissances et non maîtrise des techniques opératoires
Nommer huit interventions possible en lien avec les fractions?
- Considérer la rupture épistémologique en les nombres N et Q
- Manipuler du matériel concret (Continu ou discret)
- Proposer l’estimation de la quantité représentée
- Ordonner des fractions selon des points de repère
- Amener l’élève à expliquer son raisonnement et ses stratégies
- Activités de comparaison de fractions
- Se servir des différentes variables didactiques (Modèle, contexte, sens, matériel,etc)
- L’approche systémique: Se concentrer sur la démarche de l’élève et attendre que l’élève réclame de l’aide
Quelles sont les six stratégies de résolution de problèmes de proportionnalité? Expliquez les.
- Recours à l’unité: Retour du numérateur à un. Multiplier par le nombre désiré
- Recours à un facteur de changement: Analyse verticale (De même nature) ou horizontale (Nature différente) Opérateur scalaire ou coefficient de proportionnalité
- Règle de trois: Produit des extrêmes égal au produit des moyens
- Procédure additive: Si sure que c’est la proportion.
- Procédure linéaire: Additive et scalaire (Mixte)
- Recours à une grandeur intermédiaire: Résolution de problème de proportion composé ou inverse
Pourquoi n’utilise-t-on pas le produit croisé?
Non-verbalisation, ne donne pas de sens
Quels sont les trois cadres de la proportionnalité? Expliquez les.
- De grandeur: Mets en relation deux grandeurs
- Numérique: S’intéresse aux relations entre les nombres
- Graphique: Relation entre les grandeurs ou entre les nombres dans un système d’axe gradué
Quel est le lien entre la proportionnalité et les fractions équivalentes?
Pour faire des fractions équivalentes, il faut créer une proportionnalité entre les deux fraction, car elles doivent augmenter ou diminuer de la même façon pour les qualifier d’équivalente.
Quels sont les quatre types de proportionnalité?
- Proportion simple
- Proportion simple composée
- Directement proportionnelle
- Inversement proportionnelle
Qu’est-ce qu’une proportion simple?
Cherche le quatrième terme en connaissant les trois autres. Problèmes de type multiplicatif, de division partage, de division groupement et de quatrième proportionnalité.
Qu’est-ce qu’une proportion simple composée?
C’est une proportion simple répétée. Cherche la composition de deux ou plusieurs relations de proportionnalité simple
Qu’est-ce qu’une proportion directement proportionnelle?
Le coefficient de proportionnalité est le multiplicateur. Admets un taux d’équivalence.
Qu’est qu’une proportion inversement proportionnelle?
L’augmentation des variables entraîne une diminution de la valeur de l’autre variable. Les variables varient dans le sens contraire.
Quelles sont six difficultés en lien avec la proportionnalité?
- Obstacle épistémologique: Addition vers multiplication
- Calcul relationnel: Ne sait pas que c’est une situation de proportionnalité
- Centration sur une stratégie
- Propriétés de la multiplication: Commutativité non pris en compte
- Choix des unités de mesure: Lors du recours à un facteur, il y a confusion
- Le produit croisé: Pas en lien avec la proportionnalité
Nommer cinq variables didactiques en lien avec la proportionnalité.
- Privilégier le contexte de situation familière
- Varier la structure du problème
- Favoriser les calculs relationnels à l’aide des grandeurs des nombres, des types d’ensembles et des rapports entre les données
- Varier l’ensemble des données (Ce qui est recherché, la place de l’inconnu)
- Type et grandeur des nombres utilisée et le nombre de relations présentes
