Examen 2

Question 1

Énumère les 8 propriétés d’addition et multiplication par un scalaire et nomme ceux qui ont un nom (4)

Answer 1

1) A+B = B+A Commutativité
2) A+(B+C) = (A+B)+C Associativité
3) A+0 = A
4) A+(-A) = 0 = (-A)+A
5) 1A = A
6) k(A+B) = kA+kB Distributivité
7) (k+1)A = kA+1A Distributivité
8) k(lA) = (k+l)A

Question 2

Identifier les 4 propriétés de la multiplication matricielle et nommer les 3 ayant un nom.

Answer 2

1) A(BC) = (AB)C
Associativité de la x
2) A(B+C) = AB+AC
Distributivité à droite
3) (B+C)D =BD+CD
Distributivité à gauche
4) A(kB) = k(AB)
(kA)B = k(AB)
(kA)(lB) = (kl)(AB)

Question 3

Qu’elles sont les 10 propriétés des déterminants?

Answer 3

1) si A comporte une ligne/colonne nulle, alors |A|=0
2) |A^T|=|A|
3) |A| d’une matrice triangulaire est le produit des éléments de sa diagonale
4) En permutant 2 lignes/colonnes, on change le signe du |A|
5) Si A comporte 2 lignes/colonnes identiques, alors |A|=0
6) x une ligne/colonne par k correspond à x |A| par k
7) Ajouter un multiple d’une ligne/colonne à une autre ne modifie pas |A|
8) |cA|=c^n |A| où c≠0
9) Si A comporte 2 lignes/colonnes multiples, alors |A|=0
10) |AB|=|A||B|

Question 4

Écrire le système sous la forme d’un produit matriciel:
x+y+z=0
2x-y-z=1
y+2z=2

Answer 4

AX=B

( 1 1 1 (x = ( 0
2 -1 -1 y 1
0 1 2 ) z ) 2 )

Question 5

Qu’est-ce que la règle de Cramer?

Answer 5

• Remplacer les éléments de la matrice des coefficients de l’inconnu recherché par ceux de la matrice des constantes
• Calculer la valeur de det de cette nouvelle matrice
• Remplacer dans la formule
  xi = |Axi|/|A|

** A doit être carrée et |A|≠0

Question 6

Qu’est-ce qu’une réduction matricielle?
Quelles sont les 3 propriétés élémentaires sur les LIGNES?

Answer 6

AX=B —> (A : B)

1) Permuter 2 lignes
2) Multiplier une ligne par k ≠0
3) Additionner le multiple d’une ligne à une autre

**lorsqu’on utilise ses propriétés, mettre le symbole «~»

Question 7

Qu’est-ce qu’une matrice échelon?

Answer 7

matrice dont:
- toutes les lignes nulles sont les dernières
- chaque pivot est situé à droite du pivot de la ligne précédente

**toute matrice en a une, mais elle n’est pas unique

Question 8

Qu’est-ce qu’une matrice échelon réduite?

Answer 8

• elle est échelon
• chacun des pivots =1
• chacun des pivots est le seul élément non nul de sa COLONNE

**toute matrice en a une et elle est unique

Question 9

Qu’est-ce qu’un rang?

Answer 9

rang(A) ou r(A):
nb de lignes non nulles dans la matrice échelon ou échelon réduite

Question 10

Quels sont les 3 possibilités de solutions selon le rang?

Answer 10

• si r(A) < r(A:B)
  —> aucune solution
• si r(A) > r(A:B) et r < n
  —> infinité de solutions
• si r(A) = r(A:B) = n
  —> solution unique

(n: nb d’inconnues)

Question 11

Qu’est-ce que la méthode de Gauss-Jordan?

Answer 11

1- Transformer (A:B) en une matrice
échelon
2- Trouver r(A) et r(A:B) et analyser le nb
de solutions
3- Si solution possible, trouver sa
matrice échelon réduite
3.1- Si les éléments de cette matrice
≠1, poser des paramètres E IR
pour les inconnues qui
contiennent ces valeurs (n-r)
3.2- Calculer les autres inconnues
avec ces paramètres
4- Donner l’ensemble solution
E.S.={(x,y,z)}
4.1- Donner une solution particulière
en posant des valeurs pour les
paramètres

Question 12

—>
Quelle est la formule d’un vecteur u qui part du point A jusqu’au point B?

Answer 12

—> —>
AB = u
—>
u = B - A