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Examen 1 Flashcards

1
Q

Qu’est-ce qu’une matrice égale?

A

identique
- mèmes dimensions
- mêmes éléments

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Q

Qu’est-ce qu’une matrice ligne?

A

comporte qu’une seule ligne
ex: ( 1 2 3 4 )

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Q

Qu’est qu’une matrice colonne?

A

comporte qu’une seule colonne
ex: ( 1
2
3
4 )

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4
Q

Addition de matrice (condition et résultat)

A
  • doit avoir les mêmes dimensions
  • résultat aura les mêmes dimensions
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Q

Multiplication par un scalaire (condition)

A

k E IR

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6
Q

Qu’est-ce qu’une matrice nulle?

A

Tous les éléments sont nuls

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7
Q

Énumère les 8 propriétés d’addition et multiplication par un scalaire et nomme ceux qui ont un nom (4)

A

1) A+B = B+A Commutativité
2) A+(B+C) = (A+B)+C Associativité
3) A+0 = A
4) A+(-A) = 0 = (-A)+A
5) 1A = A
6) k(A+B) = kA+kB Distributivité
7) (k+1)A = kA+1A Distributivité
8) k(lA) = (k+l)A

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8
Q

Multiplication matricielle (condition et résultat)

A
  • doivent être compatibles
    (nb colonnes A = nb lignes B)
  • résultat aura les dimensions externes (nb lignes de A et nb de colonnes de B)
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9
Q

Identifier les 4 propriétés de la multiplication matricielle et nommer les 3 ayant un nom.

A

1) A(BC) = (AB)C
Associativité de la x
2) A(B+C) = AB+AC
Distributivité à droite
3) (B+C)D =BD+CD
Distributivité à gauche
4) A(kB) = k(AB)
(kA)B = k(AB)
(kA)(lB) = (kl)(AB)

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10
Q

Puissance d’une matrice (condition)

A
  • doit être une matrice carrée
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11
Q

Qu’est-ce qu’une matrice idempotente?

A

A^2 = A

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12
Q

Qu’est-ce qu’une matrice nilpotente?

A

lorsque A^n = 0 existe

n: indice de nilpotence

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13
Q

Qu’est-ce qu’une matrice transposée?

A

les colonnes d’une matrice A deviennent les lignes de la matrice A^T

Amxn = Anxm

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14
Q

Identifier les 4 propriétés d’une matrice transposée

A

1) (A^T)^T = A
2) (A+C)^T = A^T+ C^T
3) (kA)^T = kA^T
4) (AB)^T = B^T • A^T
(dernier devient premier)

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15
Q

Qu’est-ce qu’une matrice identité?

A

I = ( 1 0 0
0 1 0
0 0 1 )

matrice carrée dont la diagonale est composée de 1 et les autres éléments sont 0

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16
Q

Qu’est-ce qu’une matrice inverse?

A

A doit être une matrice carrée

AB=I et BA=I ou AA^-1=I et A^-1•A=I

  • elle est unique
  • dans un système d’équations: X=A^-1•B
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17
Q

Isoler A^-1

A

3A^2 + 4A = B
A (3A + 4I) = B
A^-1•A (3A + 4I) = A^-1•B
I (3A + 4I) B^-1 = A^-1•BB^-1
(3A + 4I) B^-1 = A^-1•I
(3A + 4I) B^-1 = A^-1

bref,
- si on isole une matrice d’un scalaire, on la remplace par I
- si on multiplie un côté d’une équation, on multiplie l’autre côté par le même bord AB=C AB=C
A^-1•AB=C ABB^-1=C
IB=A^-1•C AI=CB^-1
B=A^-1•C A=CB^-1

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18
Q

Qu’est-ce qu’une matrice symétrique?

A

A^T = A

donc aij = aji

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19
Q

Qu’est-ce qu’une matrice antisymétrique?

A

A^T = A^-1

donc aij = -aji

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20
Q

Identifier les 5 identités des matrices symétriques et antisymétriques

A

1) A•A^T est symétrique
(A•A^T)^T = A•A^T
2) A+A^T est symétrique
(A+A^T)^T = A^T+A = A+A^T
3) A-A^T est antisymétrique
(A-A^T)^T = A^T-A = -(A-A^T)
4) si A est symétrique, alors kA aussi
A^T = A et (kA)^T = kA
5) si A est symétrique, alors A^2 aussi
A^T = A et (A^2)^T = A^2

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21
Q

Qu’est-ce qu’une matrice triangulaire supérieure?

A

A = ( 2 -3 1
0 4 5
0 0 1 )

  • éléments sous la diagonale sont 0
  • aij = 0 pour i > j
22
Q

Qu’est-ce qu’une matrice triangulaire inférieure?

A

A = ( 7 0 0
3 1 0
-1 4 -2 )

  • éléments au-dessus de la diagonale sont 0
  • aij = 0 pour i < j
23
Q

Qu’est-ce qu’une matrice diagonale?

A

A = ( -1 0 0
0 1 0
0 0 3 )

  • éléments à l’extérieur de la diagonale sont 0
  • aij = 0 pour i ≠ j
24
Q

Déterminant n=1

A

A 1x1 : A= (a11) —> |A|= a11

25
Déterminant n=2 et calcul d’aire
A 2x2 : A= ( a11 a12 a21 a22 ) | v |A|= a11•a22 - a12•a21 Calcul d’aire: calculer ||A|| où A= (a b c d) où - (a,b) sont les coordonnées (x,y) d’un point - (c,d) celles de celui en diagonal **triangle: |1/2|A||
26
Déterminant n=3 et calcul de volume
A 3x3 : A= ( a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ) | v |A|= a11(a22 a23 -a12(a21 a23 + a13(a21 a22 a32 a33) a31 a33) a31 a32) A= ( {a11} __ __ | a22 a23 | a32 a33 ) Calcul volume: calculer ||A|| où A= (a b c d e f g h i) où - (a,b,c) sont les coordonnées (x,y,z) d’un point - (d,e,f) celles d’un autre point en diagonal - (g,h,i) celles d’un autre point en diagonal
27
Qu’est-ce que la règle de Sarrus?
A= ( a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ v + v + v + ^ - ^ - / / / ^ - / / / / / /
28
Déterminant n=4
A 4x4 : A= ( a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 ) | v |A|= a11(-1)^1+1 M11 + a12(-1)^1+2 M12 + a13(-1)^1+3 M13 + a14(-1)^1+4 M14
29
Qu’est-ce qu’un mineur?
Mij déterminant obtenu en éliminant la ligne i et la colonne j de A A= ( {aij} __ __ | a2n a2n | a3n a3n)
30
Qu’est-ce qu’un cofacteur?
Cij Cij = (-1)^i+j • Mij
31
Qu’est-ce que le développement de Laplace?
A 3x3 = a11•C11 + a12•C12 + a13•C13
32
Qu’elles sont les 10 propriétés des déterminants?
1) si A comporte une ligne/colonne nulle, alors |A|=0 2) |A^T|=|A| 3) |A| d’une matrice triangulaire est le produit des éléments de sa diagonale 4) En permutant 2 lignes/colonnes, on change le signe du |A| 5) Si A comporte 2 lignes/colonnes identiques, alors |A|=0 6) x une ligne/colonne par k correspond à x |A| par k 7) Ajouter un multiple d’une ligne/colonne à une autre ne modifie pas |A| 8) |cA|=c^n |A| où c≠0 9) Si A comporte 2 lignes/colonnes multiples, alors |A|=0 10) |AB|=|A||B|
33
Qu’est-ce qu’une matrice singulière?
|A|=0
34
Qu’est-ce qu’une matrice régulière?
|A|≠0
35
Qu’est-ce qu’une matrice des cofacteurs?
cof(A)= ( C11 C12 … C1n C21 C22 … C2n …. …. …. Cn1 Cn2 … Cnn )
36
Qu’est-ce qu’une matrice adjointe?
adj(A)=(cof(A))^T
37
Comment calculer une matrice inverse avec un adjoint ou un cofacteur?
**A doit être carrée et |A|≠0 A^-1 = 1/ |A| adj(A) A^-1 = 1/ |A|(cof(A))^T
38
Qu’elles sont les 5 propriétés des matrices inverse?
1) (AB)^-1 = B^-1 • A^-1 2) (A^T)^-1 = (A^-1)^T 3) (kA)^-1 = 1/k A^-1 4) (A^-1)^-1 = A 5) |A^-1| = 1/|A|
39
Écrire le système sous la forme d’un produit matriciel: x+y+z=0 2x-y-z=1 y+2z=2
AX=B ( 1 1 1 (x = ( 0 2 -1 -1 y 1 0 1 2 ) z ) 2 )
40
nommer les types de matrices d’un produit matriciel issu d’un système d’équations
AX=B où A: matrice des coefficients X: matrice d’inconnues B: matrice des constantes
41
Méthode de la matrice inverse pour résoudre un système d’équations
- Trouver A^-1 avec la formule A^-1 = 1/|A|•adj(A) ou A^-1 = 1/|A|•(cof(A))^T - Remplacer A^-1 dans la formule AX=B —> X=A^-1 B ** A doit être carrée et |A|≠0
42
Qu’est-ce que la règle de Cramer?
- Remplacer les éléments de la matrice des coefficients de l’inconnu recherché par ceux de la matrice des constantes - Calculer la valeur de det de cette nouvelle matrice - Remplacer dans la formule xi = |Axi|/|A| ** A doit être carrée et |A|≠0
43
Qu’est-ce qu’une réduction matricielle? Quelles sont les 3 propriétés élémentaires sur les LIGNES?
AX=B —> (A : B) 1) Permuter 2 lignes 2) Multiplier une ligne par k ≠0 3) Additionner le multiple d’une ligne à une autre **lorsqu’on utilise ses propriétés, mettre le symbole « ~ »
44
Qu’est-ce qu’un pivot?
1er élément non nul d’une ligne à partir de la gauche
45
Qu’est-ce qu’une matrice échelon?
matrice dont: - toutes les lignes nulles sont les dernières - chaque pivot est situé à droite du pivot de la ligne précédente **toute matrice en a une, mais elle n’est pas unique
46
Qu’est-ce qu’une matrice échelon réduite?
- elle est échelon - chacun des pivots =1 - chacun des pivots est le seul élément non nul de sa COLONNE **toute matrice en a une et elle est unique
47
Qu’est-ce qu’un rang?
rang(A) ou r(A): nb de lignes non nulles dans la matrice échelon ou échelon réduite
48
Quels sont les 3 possibilités de solutions selon le rang?
- si r(A) < r(A:B) —> aucune solution - si r(A) > r(A:B) et r < n —> infinité de solutions - si r(A) = r(A:B) = n —> solution unique (n: nb d’inconnues)
49
Qu’est-ce que la méthode de Gauss-Jordan?
1- Transformer (A:B) en une matrice échelon 2- Trouver r(A) et r(A:B) et analyser le nb de solutions 3- Si solution possible, trouver sa matrice échelon réduite 3.1- Si les éléments de cette matrice ≠1, poser des paramètres E IR pour les inconnues qui contiennent ces valeurs (n-r) 3.2- Calculer les autres inconnues avec ces paramètres 4- Donner l’ensemble solution E.S.={(x,y,z)} 4.1- Donner une solution particulière en posant des valeurs pour les paramètres
50
Qu’est-ce que la méthode de la matrice inverse selon Gauss-Jordan?
(A:I) ~ … ~ (I:C) alors C=A^-1

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