Examen 1 Flashcards
Qu’est-ce qu’une matrice égale?
identique
- mèmes dimensions
- mêmes éléments
Qu’est-ce qu’une matrice ligne?
comporte qu’une seule ligne
ex: ( 1 2 3 4 )
Qu’est qu’une matrice colonne?
comporte qu’une seule colonne
ex: ( 1
2
3
4 )
Addition de matrice (condition et résultat)
- doit avoir les mêmes dimensions
- résultat aura les mêmes dimensions
Multiplication par un scalaire (condition)
k E IR
Qu’est-ce qu’une matrice nulle?
Tous les éléments sont nuls
Énumère les 8 propriétés d’addition et multiplication par un scalaire et nomme ceux qui ont un nom (4)
1) A+B = B+A Commutativité
2) A+(B+C) = (A+B)+C Associativité
3) A+0 = A
4) A+(-A) = 0 = (-A)+A
5) 1A = A
6) k(A+B) = kA+kB Distributivité
7) (k+1)A = kA+1A Distributivité
8) k(lA) = (k+l)A
Multiplication matricielle (condition et résultat)
- doivent être compatibles
(nb colonnes A = nb lignes B) - résultat aura les dimensions externes (nb lignes de A et nb de colonnes de B)
Identifier les 4 propriétés de la multiplication matricielle et nommer les 3 ayant un nom.
1) A(BC) = (AB)C
Associativité de la x
2) A(B+C) = AB+AC
Distributivité à droite
3) (B+C)D =BD+CD
Distributivité à gauche
4) A(kB) = k(AB)
(kA)B = k(AB)
(kA)(lB) = (kl)(AB)
Puissance d’une matrice (condition)
- doit être une matrice carrée
Qu’est-ce qu’une matrice idempotente?
A^2 = A
Qu’est-ce qu’une matrice nilpotente?
lorsque A^n = 0 existe
n: indice de nilpotence
Qu’est-ce qu’une matrice transposée?
les colonnes d’une matrice A deviennent les lignes de la matrice A^T
Amxn = Anxm
Identifier les 4 propriétés d’une matrice transposée
1) (A^T)^T = A
2) (A+C)^T = A^T+ C^T
3) (kA)^T = kA^T
4) (AB)^T = B^T • A^T
(dernier devient premier)
Qu’est-ce qu’une matrice identité?
I = ( 1 0 0
0 1 0
0 0 1 )
matrice carrée dont la diagonale est composée de 1 et les autres éléments sont 0
Qu’est-ce qu’une matrice inverse?
A doit être une matrice carrée
AB=I et BA=I ou AA^-1=I et A^-1•A=I
- elle est unique
- dans un système d’équations: X=A^-1•B
Isoler A^-1
3A^2 + 4A = B
A (3A + 4I) = B
A^-1•A (3A + 4I) = A^-1•B
I (3A + 4I) B^-1 = A^-1•BB^-1
(3A + 4I) B^-1 = A^-1•I
(3A + 4I) B^-1 = A^-1
bref,
- si on isole une matrice d’un scalaire, on la remplace par I
- si on multiplie un côté d’une équation, on multiplie l’autre côté par le même bord AB=C AB=C
A^-1•AB=C ABB^-1=C
IB=A^-1•C AI=CB^-1
B=A^-1•C A=CB^-1
Qu’est-ce qu’une matrice symétrique?
A^T = A
donc aij = aji
Qu’est-ce qu’une matrice antisymétrique?
A^T = A^-1
donc aij = -aji
Identifier les 5 identités des matrices symétriques et antisymétriques
1) A•A^T est symétrique
(A•A^T)^T = A•A^T
2) A+A^T est symétrique
(A+A^T)^T = A^T+A = A+A^T
3) A-A^T est antisymétrique
(A-A^T)^T = A^T-A = -(A-A^T)
4) si A est symétrique, alors kA aussi
A^T = A et (kA)^T = kA
5) si A est symétrique, alors A^2 aussi
A^T = A et (A^2)^T = A^2
Qu’est-ce qu’une matrice triangulaire supérieure?
A = ( 2 -3 1
0 4 5
0 0 1 )
- éléments sous la diagonale sont 0
- aij = 0 pour i > j
Qu’est-ce qu’une matrice triangulaire inférieure?
A = ( 7 0 0
3 1 0
-1 4 -2 )
- éléments au-dessus de la diagonale sont 0
- aij = 0 pour i < j
Qu’est-ce qu’une matrice diagonale?
A = ( -1 0 0
0 1 0
0 0 3 )
- éléments à l’extérieur de la diagonale sont 0
- aij = 0 pour i ≠ j
Déterminant n=1
A 1x1 : A= (a11) —> |A|= a11
Déterminant n=2
et calcul d’aire
A 2x2 : A= ( a11 a12
a21 a22 )
|
v
|A|= a11•a22 - a12•a21
Calcul d’aire:
calculer ||A|| où A= (a b
c d)
où
- (a,b) sont les coordonnées (x,y) d’un point
- (c,d) celles de celui en diagonal
**triangle: |1/2|A||
Déterminant n=3
et calcul de volume
A 3x3 : A= ( a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33 )
|
v
|A|=
a11(a22 a23 -a12(a21 a23 + a13(a21 a22
a32 a33) a31 a33) a31 a32)
A= ( {a11} __ __
| a22 a23
| a32 a33 )
Calcul volume:
calculer ||A|| où A= (a b c
d e f
g h i)
où
- (a,b,c) sont les coordonnées (x,y,z) d’un point
- (d,e,f) celles d’un autre point en diagonal
- (g,h,i) celles d’un autre point en diagonal
Qu’est-ce que la règle de Sarrus?
A= ( a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33 )
\ \ \
\ \ \
\ \ \ v +
v + v +
^ - ^ - / / / ^ -
/ / /
/ / /
Déterminant n=4
A 4x4 : A= ( a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44 )
|
v
|A|=
a11(-1)^1+1 M11 + a12(-1)^1+2 M12
+ a13(-1)^1+3 M13 + a14(-1)^1+4 M14
Qu’est-ce qu’un mineur?
Mij
déterminant obtenu en éliminant la ligne i et la colonne j de A
A= ( {aij} __ __
| a2n a2n
| a3n a3n)
Qu’est-ce qu’un cofacteur?
Cij
Cij = (-1)^i+j • Mij
Qu’est-ce que le développement de Laplace?
A 3x3 = a11•C11 + a12•C12 + a13•C13
Qu’elles sont les 10 propriétés des déterminants?
1) si A comporte une ligne/colonne nulle, alors |A|=0
2) |A^T|=|A|
3) |A| d’une matrice triangulaire est le produit des éléments de sa diagonale
4) En permutant 2 lignes/colonnes, on change le signe du |A|
5) Si A comporte 2 lignes/colonnes identiques, alors |A|=0
6) x une ligne/colonne par k correspond à x |A| par k
7) Ajouter un multiple d’une ligne/colonne à une autre ne modifie pas |A|
8) |cA|=c^n |A| où c≠0
9) Si A comporte 2 lignes/colonnes multiples, alors |A|=0
10) |AB|=|A||B|
Qu’est-ce qu’une matrice singulière?
|A|=0
Qu’est-ce qu’une matrice régulière?
|A|≠0
Qu’est-ce qu’une matrice des cofacteurs?
cof(A)= ( C11 C12 … C1n
C21 C22 … C2n
…. …. ….
Cn1 Cn2 … Cnn )
Qu’est-ce qu’une matrice adjointe?
adj(A)=(cof(A))^T
Comment calculer une matrice inverse avec un adjoint ou un cofacteur?
**A doit être carrée et |A|≠0
A^-1 = 1/ |A| adj(A)
A^-1 = 1/ |A|(cof(A))^T
Qu’elles sont les 5 propriétés des matrices inverse?
1) (AB)^-1 = B^-1 • A^-1
2) (A^T)^-1 = (A^-1)^T
3) (kA)^-1 = 1/k A^-1
4) (A^-1)^-1 = A
5) |A^-1| = 1/|A|
Écrire le système sous la forme d’un produit matriciel:
x+y+z=0
2x-y-z=1
y+2z=2
AX=B
( 1 1 1 (x = ( 0
2 -1 -1 y 1
0 1 2 ) z ) 2 )
nommer les types de matrices d’un produit matriciel issu d’un système d’équations
AX=B
où
A: matrice des coefficients
X: matrice d’inconnues
B: matrice des constantes
Méthode de la matrice inverse pour résoudre un système d’équations
- Trouver A^-1 avec la formule
A^-1 = 1/|A|•adj(A)
ou
A^-1 = 1/|A|•(cof(A))^T - Remplacer A^-1 dans la formule
AX=B —> X=A^-1 B
** A doit être carrée et |A|≠0
Qu’est-ce que la règle de Cramer?
- Remplacer les éléments de la matrice des coefficients de l’inconnu recherché par ceux de la matrice des constantes
- Calculer la valeur de det de cette nouvelle matrice
- Remplacer dans la formule
xi = |Axi|/|A|
** A doit être carrée et |A|≠0
Qu’est-ce qu’une réduction matricielle?
Quelles sont les 3 propriétés élémentaires sur les LIGNES?
AX=B —> (A : B)
1) Permuter 2 lignes
2) Multiplier une ligne par k ≠0
3) Additionner le multiple d’une ligne à une autre
**lorsqu’on utilise ses propriétés, mettre le symbole «~»
Qu’est-ce qu’un pivot?
1er élément non nul d’une ligne à partir de la gauche
Qu’est-ce qu’une matrice échelon?
matrice dont:
- toutes les lignes nulles sont les dernières
- chaque pivot est situé à droite du pivot de la ligne précédente
**toute matrice en a une, mais elle n’est pas unique
Qu’est-ce qu’une matrice échelon réduite?
- elle est échelon
- chacun des pivots =1
- chacun des pivots est le seul élément non nul de sa COLONNE
**toute matrice en a une et elle est unique
Qu’est-ce qu’un rang?
rang(A) ou r(A):
nb de lignes non nulles dans la matrice échelon ou échelon réduite
Quels sont les 3 possibilités de solutions selon le rang?
- si r(A) < r(A:B)
—> aucune solution - si r(A) > r(A:B) et r < n
—> infinité de solutions - si r(A) = r(A:B) = n
—> solution unique
(n: nb d’inconnues)
Qu’est-ce que la méthode de Gauss-Jordan?
1- Transformer (A:B) en une matrice
échelon
2- Trouver r(A) et r(A:B) et analyser le nb
de solutions
3- Si solution possible, trouver sa
matrice échelon réduite
3.1- Si les éléments de cette matrice
≠1, poser des paramètres E IR
pour les inconnues qui
contiennent ces valeurs (n-r)
3.2- Calculer les autres inconnues
avec ces paramètres
4- Donner l’ensemble solution
E.S.={(x,y,z)}
4.1- Donner une solution particulière
en posant des valeurs pour les
paramètres
Qu’est-ce que la méthode de la matrice inverse selon Gauss-Jordan?
(A:I) ~ … ~ (I:C)
alors C=A^-1
