Étape 1. Définitions et concepts Flashcards
Notations: ° = multiplication (pas confondre avec variable x) ª = la lettre qui précède est un vecteur
Espace Euclidien
Espace vectoriel de dimension finie munie d’un produit scalaire. Noté E
Multiplication par un scalaire
V ° R —–> V
uª = k°vª
Espace vectoriel
Un ensemble V muni d’une multiplication scalaire et d’une addition
Combinaison linéaire
Un vecteur uª est une combinaison linéaire de v1ª, v2ª,…,vnª, s’il existe k1, k2,…, kn (élément des R) tel que uª = k1v1ª + k2v2ª +…+ knvnª
Combinaison linéaire triviale
Une CL est triviale si la seule solution à l’équation k1v1ª +…+ knvnª est que tous les k soient égaux à 0
Indépendance def#1
Des vecteurs sont indépendants (libres) si aucun des vecteurs n’est une combinaison linéaire des autres (n’est pas un “facteur premier”)
Indépendance def#2
Lorsque la seule solution à l’équation k1v1ª +…+ knvnª est la CL triviale. Peu former une boucle.
Base
Une base des vecteurs V est un ensemble de vecteurs B= où les vecteurs v1-nª sont indépendants et où l’on peut construire tous les vecteurs de V avec les vecteurs v1-nª
Combien de vecteurs de base sont nécessaires pour un ensemble R^n?
n vecteurs de basé. On dit aussi que “n” est la dimension de R. ex: R^3 demande une base de 3 vecteurs, ce qui créera une dimension 3
Dans un espace V donné, combien existe-t’il de combinaison linéaire pour un même vecteur?
Une seule, car les vecteurs de bases sont indépendants
Les vecteurs ont-ils des points d’attache? (aka: sont-ils fixes?) Et les points?
Les vecteurs ne sont pas fixes, alors que les points oui
Repère
Composé d’une base (vecteurs) et d’une origine (point fixe)
Notation: R = >
Comment vérifier si trois points ou plus sont colinéaires?
Vérifier si les vecteurs les reliants sont indépendants ou non. Ex: ABª et ACª sont dépendants, alors A, B, et C sont colinéaires
Barycentre
“Centre de masse” pour un ensemble de point.
Comment trouver le barycentre de deux barycentres?
Faire la moyenne pondérée des deux barycentre:
OCª = (k/n)OPª + ((n-k)/n)OQª
Orientation d’une base en 2D
sens antiphonaire = positif
sens horaire = négatif
Orientation d’une base en 3D
Utiliser la règle de la main droite: si le pouce est dans le même côté du plan que le troisième vecteur, alors positif. sinon, négatif
Base orthonormée
Base dont tous les vecteurs de bases sont unitaires et orthogonaux entre eux
Longueur d’un vecteur
||v|| = Racine carré de (x1^2 + x2^2 + … + xn^2)
Produire scalaire (définition)
VxV —-> R
Deux vecteurs multipliés donnent un SCALAIRE)
u* x v* = ||u|| x ||v|| cos O° (angle)
u* x u*
||u||^2
Dans une base orthonormée, que donne a) i* x j* b) i* x i* c) j* x j*
a) o (car perpendiculaires)
b) et c) 1 car i* x i* = ||i*|| = 1
Produit scalaire (sans angle) de u=(x1,..xn) et v=(y1,..yn)
u* x v* = x1y1 + … + xnyn
Comment fait-on pour savoir si deux vecteur sont perpendiculaires?
On fait le produit scalaire. Si le résultat est zéro, alors ils sont perpendiculaire. Sinon, non.
