Estatística descritiva e análise de dados Flashcards
ESTATÍSTICA - Resumo
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
A Estatística Descritiva ou Dedutiva é o ramo da Estatística que tem por objetivo descrever fatos relacionados a determinado grupo ou população, sem pretender tirar conclusões de caráter mais genérico. É ainda um conjunto de técnicas destinadas à síntese de dados numéricos a partir de informações coletadas.
ATENÇÃO
A coleta, organização e a descrição dos dados estão a cargo da Estatística Descritiva.
A análise e a interpretação dos dados ficam a cargo da Estatística Inferencial.
(CESPE/STM/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICA) Acerca dos conceitos de estatística e dos parâmetros estatísticos, julgue o item seguinte:
A estatística descritiva permite testar hipóteses a respeito da população de interesse. (CERTO/ERRADO)
ERRADO.
Estatística descritiva não testa hipótese nem analisa os dados.
CONCEITOS
- População
- Parâmetro
- Amostra
- Senso
- Estimação
- População: conjunto universo de todos os elementos (pessoas, objetos e outros), com
uma característica comum, objeto de estudo. - Um parâmetro é uma medida numérica que
descreve alguma característica de uma população. Ou seja, imagine que o Gran Cursos Online deseje empreender uma média de todos os seus alunos. Logo, o Gran estará trabalhado com uma população, e a média da população
será o parâmetro. - Amostra: é qualquer subconjunto não vazio de uma população. Uma estatística (estimador) é uma medida numérica que descreve alguma característica de uma amostra.
Digamos que, dentro dos alunos do Gran Cursos Online, buscamos apenas aqueles que estudam para as carreiras policiais. - Censo: é uma avaliação direta de um parâmetro, por meio de dados obtidos de todos os componentes da população. Características: é caro, lento, quase sempre desatualizado,
admite erro processual zero e confiabilidade 100%. - Estimação: é uma avaliação indireta de um parâmetro, com base em um estimador,
por meio do cálculo de probabilidades por meio de uma amostra. É muito mais comum que se busque uma estimação para se empreender uma pesquisa. E isso decorre por causa de suas características: é barato, rápido, atualizado, admite erro processual positivo e confiabilidade menor que 100%.
(CESPE/ABIN/OFICIAL TÉCNICO DE INTELIGÊNCIA/ÁREA 4/2018) Em fevereiro de
2018, o Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP) começou a segunda etapa do Censo Escolar 2017, o módulo “Situação do Aluno”. Nessa etapa, serão coletadas informações sobre rendimento e movimento escolar dos alunos ao final
do ano letivo de 2017. Para isso, será importante que as escolas utilizem seus registros
administrativos e acadêmicos, como ficha de matrícula, diário de classe, histórico escolar.
A partir do texto antecedente, julgue o item que se segue, relativo a estatísticas educacionais.
O texto se refere a um estudo censitário de diferentes variáveis da realidade educacional
do país. (CERTO/ERRADO)
CERTO.
DADOS ESTATÍSTICOS
- Dados brutos
- Rol
Os dados amostrais devem ser coletados de modo apropriado, através de um processo de seleção aleatória. Desta forma, se não forem coletados de modo apropriado, podem
se tornar inúteis, ou induzir a erro o processo decisório.
Quando se busca uma amostra de uma população, a amostra necessita ter representatividade.
Dados Brutos: dados obtidos diretamente da observação, os quais não estão numericamente organizados.
Ex.: filhos de certa classe de servidores = F: {2, 1, 3, 1, 2, 4, 6, 5, 3, 4, 2}
Os dados anteriores não estão organizados.
Rol: São dados brutos numericamente organizados, de forma crescente ou decrescente.
Ex.: filhos de certa classe de servidores = F: {1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6}
Dados Quantitativos x Dados Qualitativos
DADOS QUANTITATIVOS
Dados Quantitativos: possuem características numéricas, representando contagens ou medidas. Os dados aqui serão chamados de variáveis. Podem ser classificados em: discretos e contínuos.
Discretos: são dados que possuem variáveis que assumem determinados valores inteiros, 0 ou 1 ou 2 e assim por diante, em um intervalo de valores.
Exemplos: quantidade de alunos em um curso, quantidade de servidores públicos, quantidade de aparelhos etc.
Para não confundir, imagine o número entre 100 e 101 alunos. É possível haver um aluno
entre 100 e 101? Não! Assim a variável será discreta quando se tratar de números (valores) inteiros.
Contínuos: são dados que possuem variáveis que podem assumir qualquer valor em um intervalo de valores.
Exemplos: altura, peso, salário, temperatura etc.
Imagine dois servidores públicos, um pesa 70 kg e outro 71 kg. Neste caso, é possível haver um número entre 70 e 71? Sim! É possível fragmentar em números decimais o peso, bem como temperatura, altura, salário e outros.
DADOS QUALITATIVOS
Dados Qualitativos: são dados que possuem características não numéricas,
podendo ser separados em diferentes categorias. Os dados aqui serão chamados de atributos. Podem ser classificados em: nominais e ordinais.
Dados nominais: são dados categóricos, que consistem em nomes ou rótulos.
Possuem característica não numérica, logo não podem ser ordenados (tal como do menor
para o maior).
Exemplos: sexo (masculino ou feminino), cor dos olhos (pretos, castanhos, azuis etc.), resposta de sondagem de sim, não e indeciso.
Obs.: muitas vezes são atribuídos valores numéricos para identificar algumas informações
específicas nos comandos das questões.
Para serem processados estatisticamente, são atribuídos valores numéricos a tais atributos.
Dados Ordinais: são dados estatísticos que dependem de uma avaliação subjetiva quanto à preferência ou desempenho em um conjunto de observações. A principal diferença entre os dados nominais e ordinais é que os ordinais têm uma ordem de categorias, enquanto os nominais não. Por exemplo, existem vários termos que representam “ordem” como “Alto, Maior, Máximo” ou “Satisfeito, Insatisfeito, Extremamente Insatisfeito”.
(IMA/PREFEITURA DE PENALVA-MA/AUXILIAR ADMINISTRATIVO/2017) Assinale a alternativa que apresenta o conceito de variável quantitativa discreta:
a. É aquela que expressa o valor de uma contagem, por exemplo, idade, quantidade de
televisores numa casa, quantidade de habitantes de uma cidade.
b. É aquela que separa os indivíduos em classes com uma determinada ordem, por exemplo, nível de escolaridade: fundamental, médio e superior.
c. É aquela que expressa uma medida como um valor real, por exemplo, peso e altura.
d. É aquela que separa os indivíduos em classes, porém não é possível estabelecer uma
ordem, por exemplo, sexo (masculino e feminino) e esporte praticado (futebol, basquete, ciclismo…).
a) Variável quantitativa discreta
b) Variável qualitativa ordinal
c) Variável quantitativa contínua
d) Variável qualitativa nominal
(CESPE/SEDUC-AM/ESTATÍSTICO) A tabela acima contém um conjunto de dados formado por quatro variáveis: RG; gênero
(M = masculino; F = feminino); grau de instrução (1 = analfabeto; 2 = fundamental incompleto;
3 = fundamental completo; 4 = médio incompleto; 5 = médio completo ou superior); e hiperatividade (S = sim; N = não). Com base nessa tabela, julgue o item.
As variáveis mostradas na tabela são qualitativas. (CERTO/ERRADO)
CERTO.
(FCC/DPE-SP/AGENTE DE DEFENSORIA/DESENHISTA INDUSTRIAL) Sobre estatística aplicada, é correto o que se afirma em:
a. Parâmetros são medidas características de grupos, determinadas por meio de uma
amostra aleatória.
b. A estatística descritiva é a técnica pela são coletados dados de uma amostra, a partir
do que são tomadas decisões sobre uma determinada população.
c. A caracterização de uma população se dá por meio da observação de todos os seus
componentes que a integram.
d. A estatística inferencial compreende um conjunto de técnicas destinadas à síntese de dados numéricos.
e. Censo é o processo utilizado para se medir as características de todos os membros de uma dada população.
LETRA E.
a) Parâmetros são medidas características de grupos, determinadas por meio de uma
população.
b) A estatística inferencial é responsável por tomadas de decisões, e não a estatística
descritiva.
c) A estatística atualmente aplicada não se caracteriza de uma população e não se dá por
meio da observação de todos os seus componentes que a integram.
d) A estatística descritiva compreende um conjunto de técnicas destinadas à síntese de
dados numéricos.
(CESPE/TC-DF) Por Estatística Descritiva entende-se um conjunto de ferramentas tais como, gráficos e tabelas, cujo objetivo é apresentar de forma resumida, um conjunto de observações. (CERTO/ERRADO)
CERTO.
(CESPE/2015) O diretor de um sistema penitenciário, com o propósito de estimar o percentual de detentos que possuem filhos, entregou a um analista um cadastro com os nomes de 500 detentos da instituição para que esse profissional realizasse entrevistas com
os indivíduos selecionados. A partir dessa situação hipotética e dos múltiplos aspectos a
ela relacionados, julgue o item seguinte, referentes a técnicas de amostragem.
A diferença entre um censo e uma amostra consiste no fato de esta última exigir a realização de um número maior de entrevistas. (CERTO/ERRADO)
ERRADO.
A amostra busca um número menor de entrevistados, enquanto o Censo busca analisar
toda a população.
(UFU-MG/UFU-MG/TÉCNICO EM ESTATÍSTICA/2019) Considere as seguintes variáveis.
I – Tamanho de um objeto (pequeno, médio ou grande)
II – Volume de água em um rio
III – Número de clientes numa fila
IV – Número da seção de votação
V – Comprimento de um inseto
VI – Classe Social
Com relação à classificação dos dados requeridos como variáveis de pesquisa, é correto
afirmar que
a. as variáveis I, IV e VI são qualitativas.
b. as variáveis III e V são quantitativas contínuas.
c. as variáveis II e III são quantitativas discretas.
d. a variável IV é qualitativa ordinal.
LETRA A.
(CESPE) A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que representa o número diário de denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição pública. A partir das informações dessa tabela, julgue o item seguinte.
A variável X é do tipo qualitativo nominal. (CERTO/ERRADO)
ERRADO.
O número diário de denúncias registradas (X) marca uma variável quantitativa discreta.
(CESPE) A qualificação dos professores é de grande importância para a qualidade da formação
dos estudantes. Considerando que a figura acima apresenta a distribuição do número de
professores em uma faculdade, segundo a formação acadêmica (curso), julgue o item.
A variável curso é qualitativa nominal. (CERTO/ERRADO)
ERRADO.
O gráfico acima apresenta uma hierarquia em nível escolar. Logo, em se tratando de
hierarquia, temos, então, uma variável qualitativa ordinal.
(IBADE/PREFEITURA DE VILA VELHA – ES/ANALISTA PÚBLICO DE GESTÃO/ECONOMISTA/2020) Todas as informações obtidas através de dados amostrais, ou seja, que não abrangem o todo da população de interesse, são baseadas em estimativas. Quais das sentenças, abaixo enunciadas, concordam com a afirmativa?
I – nascimentos esperados para o ano em curso;
II – a média populacional da altura dos homens adultos;
III – número de óbitos do último exercício;
IV – quantidade de municípios que pagam o IPTU em dia;
V – alcance da última campanha de vacinação, realizada pelo município.
Estão corretas:
a. somente I, II e III.
b. somente II, III e IV.
c. somente III, IV e V.
d. somente I, II e V.
e. somente, II e IV
LETRA D.
I – nascimentos esperados para o ano em curso trata-se de uma estimativa.
II – a média populacional da altura dos homens adultos, por estar ao tempo todo em
movimento, trata-se de uma estimativa.
III – número de óbitos do último exercício não se trata de uma estimativa.
IV – quantidade de municípios que pagam o IPTU em dia não se trata de uma estimativa.
V – alcance da última campanha de vacinação, realizada pelo município, trata-se de uma
estimativa.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Distribuição de Frequência é uma representação tabular dos dados estatísticos, discretos
ou contínuos, sendo uma forma de resumir grandes conjuntos de dados. Dados representados em uma tabela de frequência facilitam a construção de gráficos, bem como a compreensão sobre a natureza dos dados.
Frequência Simples Absoluta (fi)
A frequência simples de um elemento é o número de vezes que o elemento figura no conjunto de dados. Para os dados discretos da amostra anterior, teremos a seguinte distribuição de frequência:
A variável (X1) é a quantidade de disciplinas cursadas pelos alunos.
O “n” representa a amostra e o total do Fi. O “n” é o mesmo que Σ (sigma), ou o somatório
do fi, representando por Σfi.
Frequência relativa (Fr)
É a razão entre a frequência absoluta da variável e o número total (n) de elementos da série.
Para compreender a Frequência relativa, basta dividir o “fi” pelo total (20). E para dispor
o resultado em porcentagem, é preciso apenas multiplicar o resultado por 100.
A frequência relativa apresenta o quanto determinado valor representa em relação ao total.
Frequência acumulada (Fac.)
Frequência acumulada é o somatório da frequência simples da variável com as frequências simples dos elementos que cedem.
Amplitude amostral
É a diferença entre o maior e o menor valor da amostra. Amplitude se remete a uma ideia
de distância. E para empreender a Amplitude, tomando como base X: {4, 8, 8, 6, 6, 8, 5, 5,
6, 7, 7, 7, 6, 6, 7, 5, 5, 7, 5, 5}, deve-se subtrair o maior valor (8) pelo menor valor (4). Logo,
Amplitude (A) = 8 - 4 = 4
(CESPE/TCE-PA/AUDITOR DE CONTROLE EXTERNO/ÁREA FISCALIZAÇÃO/ESTATÍSTICA/2017) A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que
representa o número diário de denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição pública. A partir das informações dessa tabela, julgue o item seguinte.
A amplitude total da amostra é igual ou superior a 5. (CERTO/ERRADO)
ERRADO.
A = maior valor – menor valor da amostra
A = 4 - 0
A = 4
(CESPE/CEBRASPE/DEPEN/AGENTE PENITENCIÁRIO FEDERAL/ÁREA 4/2015) Considerando dados da tabela mostrada, que apresenta a distribuição populacional da
quantidade diária de incidentes (N) em determinada penitenciária, julgue o item que se
segue.
A amplitude total da distribuição é igual a 5, pois há cinco valores possíveis para a variável N. (CERTO/ERRADO)
ERRADO.
A = maior valor – menor valor da amostra
A = 4 - 0
A = 4
Representação de dados em classes
Usado para as variáveis quantitativas que não são discretas, como, por exemplo, a análise do
peso de alunos de um determinado local.
Para dirimir as longas listas de representação dos valores quantitativos contínuos, torna-
-se preciso empreender os dados em classes, por meio de intervalos.
Imagine os seguintes intervalos, estimando o peso em Kg de alunos:
> > O valor a esquerda é fechado (inclui o número dentro da classe) e a direita é aberto (não inclui o número dentro da classe).
COMO CALCULAR O NUMERO DE CLASSES?
Revisitando, classe é cada um dos intervalos ou grupos obtidos a partir do conjunto de
dados. Há diversos métodos para se determinar o número de classes.
Digamos que nos deparemos em uma tabela com muitos valores, devemos, antes de
tudo, pensar quantas classes é preciso criar para empreender a resolução. Para tanto, torna-
-se necessário empreender regra do quadrado:
* Regra do quadrado: K = √n, em que n é o tamanho da amostra. Utiliza-se o valor mais
próximo do quadrado perfeito.
AMPLITUDE DA CLASSE
Amplitude da classe: na forma moderna, é a diferença entre os limites superior e inferior
da classe.
Para descobrir a amplitude da classe, basta empreender Ls - Li.
Na forma moderna, é a diferença entre os limites superior e inferior da classe.
Classe: Ls - Li
PONTO MÉDIO DA CLASSE
Ponto médio da classe (Pm)
É a média aritmética simples dos limites superior de cada classe.
PM = (Ls+Li)/2
(CESPE/IPHAN/ANALISTA I/ÁREA) A tabela a seguir mostra as quantidades de bibliotecas públicas presentes em 20 microrregiões brasileiras.
A partir desses dados, pretende-se construir um gráfico de distribuição de frequências
com quatro classes de igual amplitude.
Os valores mínimos e máximos de cada classe devem ser números inteiros. Considerando essas informações, julgue o item subsequente, relativo ao gráfico de distribuição a ser apresentado.
A amplitude de cada classe deverá ser superior a 6.
(CERTO/ERRADO)
CERTO.
Há na tabela 20 elementos.
Para destacar as classes, temos:
K = √n
K = √20 = 4,4 aproximado.
No caso da amplitude da classe, temos o número maior subtraído pelo número menor:
A = 91 - 60
A = 31
Logo, sabendo que a amplitude é 31, devemos agora dividir pelo número de classes, que
é 4:
Amplitude de classe = 31 ÷ 4
Amplitude de classe = 7,75.
(CESPE/POLÍCIA FEDERAL/PERITO CRIMINAL FEDERAL) Ista que, diariamente, a Polícia Federal apreende uma quantidade X, em kg, de drogas em determinado aeroporto do Brasil, e considerando os dados hipotéticos da tabela precedente, que apresenta os valores observados da variável X em uma amostra aleatória de 5 dias de apreensões no citado aeroporto, julgue o próximo item.
A tabela em questão descreve a distribuição de frequências da quantidade de drogas
apreendidas nos cinco dias que constituem a amostra. (CERTO/ERRADO)
ERRADO.
A tabela não representa distribuição de frequência por não apresentar os dados em classes preestabelecidas.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E SEPARATRIZES
É um valor intermediário da série, ou seja, um valor compreendido entre o menor
e o maior valor da série. É também um valor em torno do qual os elementos da série estão
distribuídos e a posiciona em relação ao eixo horizontal.
Em resumo, a medida de tendência central procura estabelecer um número no eixo horizontal em torno do qual a série se concentra. As principais medidas de tendência central são:
média, mediana e moda.
* A tendência central busca estabelecer uma relação no eixo horizontal.
* Os três valores (média, mediana e modal) devem “andar” juntos. Não é possível um ter
o valor 10 e outro 50, por exemplo.
– É quando se fala em média: x, moda (Mo) e mediana (Me).
– Tendência Central: é quando a média, a moda e a mediana tendem a ficar pelo meio.
– Separatrizes (devem estar em rol): quando se fala de quartis, decis e percentis.
– Quartis: quando se divide em ¼ (um quarto), transformando ¼ em porcentagem: 25%
– Decis: vem de 10 (dez). Em porcentagem: 1/10 = 10%
– Percentis: a mesma coisa que o decis, mas em porcentagem.
Obs.: algumas bancas consideram a mediana como a separatriz, deve estar em rol e separa 50% para um lado e 50% para outro lado.
MÉDIA
A média de um conjunto de dados é encontrada somando-se todos os números do conjunto de dados e então dividindo o resultado pelo número de valores do conjunto. ATENÇÃO: A média aritmética sofre influência dos valores extremos. A média aritmética, por si, não representa a realidade. A média aritmética não é suficiente para tomar decisões.
MODA
A moda é o número que aparece mais vezes em um conjunto de dados.
É a que possui a maior frequência.
* A moda nem sempre aparece, por isso não se deve depender dela.
* A distribuição poderá ser:
– Amodal – x: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. A moda aqui não existe, porque todos os valores
estão na mesma frequência.
– Modal – y: {1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5. Nesse caso, a moda é o número 2 (que aparece
mais vezes).
– Bimodal – Z: {1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6}. Nesse caso, há duas: número 2 e 3 (que aparecem mais vezes).
– Multimodal – é aquele que possui vários números que aparecem mais vezes.
MEDIANA
A mediana é o valor do meio quando o conjunto de dados está ordenado do menor para o maior. É uma medida de posição, que divide igualmente os valores (50% para um lado e 50%
para outro lado).
* Se o N for ímpar: o próprio elemento será a mediana.
* Se o N for par: deverá tirar a média aritmética dos valores centrais.
DISPERSÃO
Dispersão:
– S² = Variância
– S = desvio padrão
– CV = Coeficiente de variação
Assimetria e Curtose:
Assimetria: é como a distribuição dos valores acontece na natureza.
– A distribuição de frequência possui três situações:
- 1. Simétrica
- 2. Assimétrica à direita (positivo +)
- 3. Assimétrica à esquerda (negativo -)
– Curtose: é o achatamento da curva.
– A curva normal é chamada de mesocúrtica.
– Quando a curva está mais para cima é chamada de leptocúrtica.
– Quando a curva está mais para baixo é chamada de platicúrtica.
(2018/CESPE/IPHAN/ANALISTA I/ÁREA 2) Define-se estatística descritiva como a etapa
inicial da análise utilizada para descrever e resumir dados. Em relação às medidas descritivas, julgue o item a seguir.
São medidas descritivas as medidas de posição (tendência central e separatrizes), as de
dispersão, as de assimetria e as de curtose. (CERTO/ERRADO)
CERTO.
(2012/CESPE/POLÍCIA FEDERAL/PAPILOSCOPISTA DA POLÍCIA FEDERAL) Com relação a estatística, julgue os itens seguintes.
Ao contrário da mediana amostral, a média aritmética é menos sensível à presença de
valores extremos (ou valores atípicos ou outliers).
(CERTO/ERRADO)
ERRADO.
A média aritmética é atraída pelos valores extremos.
Xi: 2, 4, 6, 8, 10 → x = 6
Se o primeiro valor xi for alterado para 0:
Xi: 0, 4, 6, 8, 10 → x = 5,6
Se o último valor xi for alterado para 12:
Xi: 2, 4, 6, 8, 12 → x = 6,4
Logo, a média aritmética é mais sensível aos valores atípicos ou outliers.
(FUNIVERSA/PCDF) A tabela abaixo mostra o resultado da renda per capta de duas cidades, X e Y, medido em reais.
Com bases nessas informações, pergunta-se:
1) qual das duas cidades tem o melhor padrão de vida? (Considere que todos os outros fatores são iguais)
2) considerando que as duas cidades têm populações de mesmo tamanho e que a
taxa de impostos é de 10% em ambas, qual a cidade tem maior arrecadação?
Assinale a alternativa que apresenta as repostas corretas às perguntas 1 e 2, respectivamente.
a. Cidade X e cidade X
b. Cidade Y e cidade Y
c. Cidade X e cidade Y
d. Cidade Y e cidade X
e. Não há informações suficientes para responder às perguntas
c. Cidade X e cidade Y
- A média não traz a realidade dessa população.
- Se mudar os valores dos extremos, não mudará a mediana.
- A média é boa para o somatório.
- Quem possui a melhor arrecadação é quem possui uma média aritmética e quem
possui o melhor padrão de vida é quem tem a mediana.
Essa questão é interessante, pois mostra uma interpretação quanto à diferença da média
e mediana, e suas implicações.
O melhor padrão de vida deve refletir a real situação da população, sendo assim precisamos de um valor que mostre uma regularidade, independentemente dos valores extremos. O melhor parâmetro para isso é a mediana, pois divide a população em duas partes
iguais (50%) para cada lado, logo a população X possui a renda per capta mediana de
4.000, dando a entender que temos uma população com um valor alto bem distribuído
no grupo quanto a renda. Partindo que as duas populações têm a mesma quantidade de pessoas, a média da população X é inferior que a da população Y, significando a arrecadação total é menor, uma vez que para encontrar o somatório, basta multiplicarmos a média pela quantidade de pessoas. Dessa forma a população Y possui maior arrecadação,
uma vez que possui maior média aritmética.
1. Para a primeira pergunta: Qual das duas cidades tem o melhor padrão de vida? (Considere que todos os outros fatores são iguais) Temos como resposta a cidade X.
2. Considerando que as duas cidades têm populações de mesmo tamanho e que a taxa
de impostos é de 10% em ambas, qual a cidade tem maior arrecadação? Temos como
resposta a cidade Y.
(2019/FUNDATEC/PREFEITURA DE PORTO ALEGRE - RS/AUDITOR FISCAL DA RECEITA MUNICIPAL) Considere W um conjunto de vinte números com valores entre [2;10],
cuja média aritmética é igual a 5 e cuja mediana é igual a 5. Se um vigésimo primeiro
valor (x21) e um vigésimo-segundo valor (x22) forem adicionados a W, que alterações
sofrerão a média aritmética e a mediana de W, uma vez que x21 é igual a 31 e x22 é
igual a 1?
a. A média aritmética aumentará para 6, e a mediana aumentará.
b. A média aritmética aumentará para 7, e a mediana permanecerá constante.
c. A média aritmética aumentará para 8, e a mediana se reduzirá.
d. A média aritmética aumentará para 6, e a mediana permanecerá constante.
e. A média aritmética aumentará para 7, e a mediana aumentará.
d. A média aritmética aumentará para 6, e a mediana permanecerá constante.
Conjunto W:
Méd = 5
Md = 5
X21 = 31
X22 = 1
n = [2;10].
Vai de 2 a 10. No intervalor de 2 a 10, há 20 números. Alguns números não são inteiros, pois de 2 a 10 são 9 números.
Quando adicionar o valor 1, a contagem começará a partir do 1. Quando adicionar o valor
31, a contagem irá até o 31.
A média aritmética sofre influência dos extremos. A mediana não sofre.
Nova mediana:
Md = 5
A média é boa para o somatório.
Somatório do conjunto W antes de incluir o 1 e o 31:
Σw = N . X
Σw = 20 . 5
Σw = 100
Nova média:
Média aritmética são todos os valores somados divididos pela quantidade de números
somados. 100 é a soma dos 20 números anteriores. Agora, com o 1 e o 31, serão 22
números.
Média = (100+1+31)/22 = 132/22= 6
(2019/FCC/SEFAZ-BA/AUDITOR FISCAL/ADMINISTRAÇÃO, FINANÇAS E CONTROLE INTERNO/PROVA I) Os números de autos de infração lavrados pelos agentes de um
setor de um órgão público, durante 10 meses, foram registrados mensalmente conforme
a tabela abaixo.
Verifica-se que, nesse período, o valor da soma da média aritmética (número de autos
por mês) com a mediana é igual ao valor da moda multiplicado por
a. 2,42
b. 2,32
c. 2,12
d. 2,52
e. 2,22
Soma do valor da média aritmética + a mediana é igual ao valor da moda multiplicado
por “a”:
Média + Md = Mo x a
Média = 56/10 = 5,6
Mediana = (5+6)/2 = 11/2 = 5,5
Moda = 5
5,6x5,5 = 5 x a
a = 2,22
(2019/FCC/AFAP/ANALISTA DE FOMENTO/ECONOMISTA) Durante o ano de 2017, foi
registrado mensalmente o número de projetos especiais analisados em um órgão público. Apurou-se que a sequência dos números registrados de projetos de janeiro a dezembro foram, respectivamente, {6, 6, 15, 12, 12, 15, 12, 9, 12, 9, 9, 6}, perfazendo então um
total de 123 projetos analisados no ano. Com relação a esse período, obteve-se a média
aritmética (Me), em número de projetos analisados por mês, a mediana (Md) e a moda
correspondentes. Verifica-se que, nesse caso, a moda é igual a
a. (3 Md - 2 Me).
b. (2 Me + Md - 19).
c. (2 Me - Md + 5).
d. (2 Me + Md - 22).
e. (3 Md - 2 Me - 8).
b. (2 Me + Md - 19)
Média = 123/12 = 10,25
Mediana = (9+12)/2 = 10,5
a) (3 Md - 2 Me)
3(10,5) - 2(10,25)
31,5 - 20,5 = 11
b) (2 Me + Md - 19)
2(10,25) + 10,5 - 19 =
20,5 + 10,5 - 19 =
31 - 19 = 12
(2018/CESPE/IPHAN/ANALISTA I/ÁREA 2) Define-se estatística descritiva como a etapa inicial da análise utilizada para descrever e resumir dados. Em relação às medidas descritivas, julgue o item a seguir.
As medidas de tendência central são assim denominadas por indicarem um ponto em
torno do qual se concentram as médias dos dados. (CERTO/ERRADO)
ERRADO.
Medidas de tendência central: Não só a média aritmética (médias), mas também a moda e as medianas.
(QUESTÃO INÉDITA/2020) A média aritmética de 80 números é igual a 40,5. Adicionando-se a esse conjunto de valores o número 243, qual será a nova média aritmética?
A média aritmética é boa para o somatório, então:
Σx = n . x ̅
Σx = 80 . 40,5 = 3240
Nova média adicionando o número 243:
Média = (3240+243)/81 = 43
(QUESTÃO INÉDITA/2020) A média aritmética de uma lista formada por 55 números é
igual a 28. Adicionando-se dois números a essa relação, a média aumenta em 2 unidades. Determine-os, sabendo que um deles é o triplo do outro.
Sabemos que:
n = 55
X – ̅ = 28
A questão quer descobrir {X, 3X}.
Somatório antes dos dois números:
Σx = n . x ̅
Σx = 55 . 28 = 1540
Nova média:
(X¹) ̅ = 28 + 2 = 30
Antes o somatório era 1540. Foram colocados dois números (X e 3X).
1540 + 4X = 1710
4X = 1710 - 1540
4X = 170
X = 140 / 4 = 42,5
3X = 127,5
(CESGRANRIO) Analise as afirmações a seguir.
Numa distribuição simétrica, a média e a mediana coincidem.
PORQUE
Numa distribuição simétrica a moda nem sempre existe.
Quanto às afirmações acima, pode-se concluir que
a. as duas asserções são verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
b. as duas asserções são verdadeiras e a segunda não é uma justificativa correta da primeira.
c. a primeira asserção é uma proposição verdadeira e a segunda, uma proposição falsa.
d. a primeira asserção é uma proposição falsa e a segunda, uma proposição verdadeira.
e. tanto a primeira como a segunda são proposições falsas.
b. as duas asserções são verdadeiras e a segunda não é uma justificativa correta da primeira.
Moda = Mediana = Média aritmética
Existem distribuições amodais, ou seja, em que não há moda. No entanto, mesmo que
não haja moda, ainda assim a distribuição pode ser simétrica.
A seguir, tem-se um exemplo disso:
x: {2,2,2}
x (média) = (2+2+2)/3 = 2
Med = 2
Mo = 2
Ocorre uma distribuição simétrica.
Outro exemplo:
y: {1,2,3}
x = (1+2+3)/3 = 2
Med = 2
Moda = Amodal
Essa distribuição, embora amodal, também é simétrica.
MÉDIA PONDERADA PARA VALORES DISCRETOS
A média aritmética simples está presente em diversas situações cotidianas, é uma medida
de posição de fácil uso. Na média simples todos os valores possuem um mesmo peso, situação diferente na média ponderada, que para cada valor deve-se levar em conta o valor do
seu peso. A melhor forma de apresentarmos o cálculo da média ponderada é por meio de
um exemplo.
Observe: uma empresa é constituída de 40 funcionários, seus salários estão representados pela tabela a seguir.
O número de funcionários é uma variável quantitativa discreta, pois os números de funcionários são inteiros.
∑ fi = 40
Os salários (xi) são variáveis quantitativas contínuas.
Nesse exemplo, qual seria o salário médio dos funcionários dessa empresa?
S= (620x20+1050x15+1520x5)/(20+15+5)
S= 893,75
A média ponderada é uma média aritmética simples. Seria possível fazer uma tabela com
40 linhas, com 620 aparecendo 20 vezes, 1050 aparecendo 15 vezes e 1520, 5 vezes. Bastaria somar todos esses valores e dividir por 40. Nesse caso, haveria média aritmética simples.
O que muda entre a média simples e a ponderada é que, na simples, todos os valores possuem o mesmo peso, enquanto na média ponderada existe um peso para facilitar o cálculo.
(UNCISAL) Em cada bimestre, uma faculdade exige a realização de quatro tipos de avaliação, calculando a nota bimestral pela média ponderada dessas avaliações. Se a tabela
apresenta as notas obtidas por uma aluna nos quatro tipos de avaliações realizadas e os
pesos dessas avaliações, sua nota bimestral foi aproximadamente igual a:
a. 8,6.
b. 8,0.
c. 7,5.
d. 7,2.
e. 6,8.
Méd. Pond. = ((6x4) + (7x4) + (8x2) + (9x2))/ (4+4+2+2)
Méd. Pond. = 86/12 = 7,16
(2018/CESPE/BNB/ANALISTA BANCÁRIO) No item a seguir é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada.
Em uma faculdade, para avaliar o aprendizado dos alunos em determinada disciplina, o professor aplica as provas A, B e C e a nota final do aluno é a média ponderada das notas obtidas em cada prova. Na prova A, o peso é 1; na prova B, o peso é 10% maior que o peso na prova A; na prova C, o peso é 20% maior que o peso na prova B. Nesse caso, se PA, PB e PC forem as notas obtidas por um aluno nas provas A, B e C, respectivamente, então a nota final desse aluno é expressa por:
(CERTO/ERRADO)
ERRADO.
Aumentar 10 por cento é multiplicar por 1,1.
Aumentar 20 por cento é multiplicar por 1,2.
Logo, deve-se multiplicar 1,1 por 1,2: 1,1 x 1,2 = 1,32.
PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
1ª Propriedade
PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
2ª Propriedade
Somando-se ou subtraindo-se uma constante (c) a todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada ou diminuída dessa constante.
PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
3ª Propriedade
Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de uma variável por uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada ou dividida por essa constante.
Antes, a média era 2. A nova média passou para 6. Logo, percebe-se que ela também foi
multiplicada por 3.
PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
4ª Propriedade
A média aritmética é atraída pelos valores extremos.
Exemplo 1: considerando a tabela com a altura de integrantes de um time de futebol, organizada por intervalos de classe:
Qual seria a altura média desse time de futebol americano?
Portanto, para fazer cálculos com intervalos ou classes, é necessário obter o ponto médio
da classe, que é o limite inferior mais o limite superior, sobre 2. Depois, basta multiplicar fi
pelo ponto médio (pm), e dividi-los pela soma de fi (∑fi).
(CESGRANRIO/PETROBRAS/ADMINISTRADOR JÚNIOR/2018) Para não comprometer o sigilo das informações, um periódico técnico-científico divulgou os dados básicos que utilizou em um modelo estatístico, na seguinte distribuição de frequência por classes:
A melhor estimativa para a mediana da distribuição de X é:
a. -0,75
b. 0
c. 0,25
d. 0,50
e. 1
(FCC/TRT – 14ª REGIÃO (RO E AC)/ANALISTA JUDICIÁRIO – ESTATÍSTICA/2018) Seja
a tabela de frequências relativas abaixo correspondendo à distribuição dos salários dos
funcionários sem nível superior, lotados em um órgão público. Para o segundo e terceiro
intervalos de classes não foram fornecidas as respectivas frequências (na tabela, denotadas por x e y, respectivamente).
Utilizando o método da interpolação linear, obteve-se o valor de R$ 3.900,00 para a
mediana (Md) dos salários. O valor da média aritmética (Me) foi obtido considerando que
todos os valores incluídos em um certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto
médio deste intervalo. A expressão (3 Mind − 2 Mine) apresenta, em R$, um valor igual a
a. 3.600,00.
b. 3.500,00.
c. 3.200,00.
d. 4.000,00.
e. 3.700,00.
Md = 3900
Classe mediana: 3.500 - 4.500
Relacionar a classe mediana com a frequência acumulada.
Me = ((2000x10) + ( 3000 x 30 ) + ( 4000 x 25) + ( 5000 x 20) + ( 6000 x 15)) / 100
Me = 4000
A banca quer o resultado de 3 Mind − 2 Mine, então:
3 (3900) – 2 (me)
11.700 – 2. (me)
11.700 – 2 (4000) = 3.700
(2018/FCC/SEFAZ-SC/AUDITOR-FISCAL DA RECEITA ESTADUAL - AUDITORIA E FISCALIZAÇÃO) A tabela a seguir apresenta a distribuição de frequências dos salários, em
número de salários mínimos (SM), dos funcionários de um órgão público.
Sabe-se que: b - a = 5%.
Me é a média salarial, obtida por meio dessa tabela, calculada como se todos os valores
de cada faixa salarial coincidissem com o ponto médio da referida faixa, Md é a mediana
salarial, calculada por meio dessa tabela pelo método da interpolação linear. Nessas condições, Me + Md, em anos, é igual a
a. 9,85
b.11,35
c.11,05
d.10,95
e.11,65
b.11,35
Ao calcular a média aritmética das faixas salariais devemos usar sempre o ponto médio
de cada faixa, como a questão deixou claro. Então na faixa de 2 a 4 SM temos, (2 + 4)/2 = 3,
na faixa de 4 a 6 SM temos, (4 + 6)/2= 5, na faixa de 6 a 8 SM temos, (6 + 8)/2 = 7 e na faixa
de 8 a 12 SM temos, (8 + 12)/2 = 10.
Atente para a mudança de padrão na faixa de 8 a 12 SM, que quebrou um pouco o raciocínio das demais faixas.
Em seguida temos que calcular os valores de a e b, presentes na coluna porcentagem da
tabela que é a fr, frequência, então somatório da coluna deve ser 100. Vejamos:
a + a + 20 + b + b – 10 = 100
2a + 2b + 10 = 100
2a + 2b = 90← /2
a + b = 45% + b – a = 5%
2b = 50%
b = 25%
a + b = 45%
a = 20%
Reescrevendo a tabela com os dados descobertos:
Vamos começar calculando a média aritmética, que é a frequência multiplicada pelo ponto
médio da classe. Vejamos:
Me = ((3 x 20) + (5 x 40) + (7 x 25) + (10 x 15)) / 100
Me = 5,85
Agora calcularemos a mediana, já incluímos a Frequência Acumulada na tabela para
adiantar o trabalho. Se temos a frequência de 100, o meio dela seria o 50, na coluna da frequência acumulada a segunda classe está em 60%, então passamos pelo meio que seria 50,
dessa forma a classe mediana é a de 4 a 6 SM. Para encontrar a mediana por interpolação
linear precisaremos relacionar a classe mediana com a Fac referente a ela e a anterior.
Vejamos:
(6-4)/(60-20)= (Md – 4)/(50-20)
40 Md – 160 = 60
40 Md = 220
Md = 22/4 = 5,5 SM
Me + Md = 5,85 + 5,5 = 11,35
(2020/IBFC/EBSERH/ANALISTA ADMINISTRATIVO – ESTATÍSTICA) Os dados abaixo referem-se ao tempo, em horas, que 80 trabalhadores permaneceram na empresa. Assinale a alternativa que apresenta o tempo médio e a mediana de permanência.
a. 10,75; 10,29
b. 10,75; 10,83
c. 10,00; 10,29
d. 11,00; 10,29
e. 11,75; 10,83
b. 10,75; 10,83
O somatório da frequência fi é 80, que é o número de funcionários.
Para calcular a média devemos encontrar o ponto médio de cada classe. Então, para a
classe de 0 a 4 horas, temos (0+4)/2= 2, para a classe de 4 a 8 horas temos (4+8)/2= 6, para
a classe 8 a 12 horas temos, (8+12)/2 = 10, para a classe de 12 a 16 horas temos, (12 + 16)/2
= 14 e para a classe 16 a 20 horas temos, (16 + 20)/20 = 18. Agora montamos a equação:
Me = ((8 x 2) + (15 x 6) + (24 x 10) + (20 x 14) + (13 x 18)) /80
Me = 10,75
Agora vamos encontrar a mediana e para isso precisamos encontrar a frequência acumulada em cada classe, Fac. Teremos 8; 23; 47; 67; 80.
Como a metade de 80 é 40, até a terceira faixa já passamos por ele pois ela vai até o
47º trabalhador e corresponde à classe mediana de 8 a 12 horas e vamos utilizar a frequência da classe mais a anterior.
(12 – 8)/(47-23) = (Md – 8)/(40-23)
24Md – 192 = 68
24Md = 2602
Md = 260/24
Md = 10,83
MODA EM DADOS AGRUPADOS
Li = Limite Inferior da Classe Modal
Δ1 = Frequência da Classe Modal – Frequência da Classe Anterior
Δ2 = Frequência da Classe Modal – Frequência da Classe Posterior
h = Amplitude da classe
A classe para aplicação da fórmula é aquela com maior frequência.
(FGV/MPE-BA/ANALISTA TÉCNICO/ESTATÍSTICA) A distribuição de frequências do número de apreensões de valores (em milhões R$) realizadas pela Polícia Federal, em determinado período, é conforme a seguir:
Julgue o item: é correto afirmar que a moda exata da distribuição é superior a 7. (CERTO/ERRADO)
CERTO.
A moda estará na Classe Modal, que na questão é o intervalo de 0 a 10, pois possui 47
apreensões realizadas. Precisa-se da classe anterior e da posterior para aplicar a fórmula de
Czuber, porém, como nessa questão não existe classe anterior à Classe Modal, considera-se
0. Aplicando a fórmula:
Mo = Li +( Δ1 )/ (Δ1+Δ2) x h
Mo = 0 + (47-0)/((47-0) + (47-29)) x 10
Mo = 0 + 47x10/(47+18)
Mo = 7,2
(FGV/TJ-AL/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICA) Para fins de elaboração de um relatório gerencial à Presidência do TJ/AL, estão disponíveis as seguintes informações do andamento de processos nas diversas varas daquele tribunal:
O tempo de tramitação está expresso em meses e os intervalos de classe incluem o limite inferior e excluem o limite superior. Tendo em conta a distribuição acima e as técnicas de cálculo para dados grupados. Julgue o item: A moda agrupada está mais próxima de 30 do que de 40. (CERTO/ERRADO)
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Média Geométrica
RELAÇÃO ENTRE MÉDIA ARITMÉTICA E GEOMÉTRICA
Se fosse necessário definir quem é média aritmética e quem é média geométrica, seria necessário saber uma propriedade muito importante. Entre ambas as médias existe uma relação de grandeza em si mesma, quem é maior e quem é menor. A média geométrica sempre será menor ou igual à média aritmética.
Determine a média geométrica entre:
a. 2 e 8
b. 1, 2 e 4
c. 2, 3 e 9
d. 4 e 5
A média geométrica entre 10, 2 e n é 5. Determine o valor de n.
A média aritmética entre n e 4 excede em 0,5 a média geométrica entre esses mesmos valores. Quais os possíveis valores de n?
Como se trata de uma equação de segundo grau, n poderá ter mais de um valor.
Pode-se utilizar a fórmula de Bhaskara, mas, se a é 1, dois números que somados são iguais a -10 e multiplicados são iguais a 9 são: -1 e -9. Ao inverter o sinal, tem-se +1 e +9.
Portanto, os possíveis valores de n são {+1, +9}.
(IBFC/TRE-AM/ANALISTA JUDICIÁRIO/ENGENHARIA CIVIL) Os valores das células associadas a Cálculo A, Cálculo B e Cálculo C caracterizam respectivamente:
a. a Média Aritmética, a Média Geométrica e a Mediana.
b. a Média Geométrica, a Mediana e a Média Aritmética.
c. a Mediana, a Média Aritmética e a Média Geométrica.
d. a Média Aritmética, a Mediana e a Média Geométrica.
c. a Mediana, a Média Aritmética e a Média Geométrica.
Colocar as amostras em rol:
13,2 13,4 13,5 13,5 13,6 13,6 13,8 13,8 13,8 14,0
Média aritmética = 136,2/10 = 13,62
Mediana = (13,6 + 13,6) / 2 = 13,6 (5º e 6º elemento)
Média geométrica =
(CESPE/FUB/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) Os números x, y e z estão, nessa ordem,
em progressão aritmética de razão 3 e os números x, z e w estão, nessa ordem, em progressão geométrica de razão 4. Com relação a essa situação, julgue o item que se segue.
A média geométrica entre os números x, z e w é igual a 9.
(FAFIPA/PREFEITURA DE PINHAIS-PR/MÉDICO-VETERINÁRIO) Qual é a média geométrica dos números 2 e 8?
a. 2.
b. 4.
c. 6.
d. 8.
(FCC/DPE-RS/ANALISTA/ECONOMIA) A média geométrica dos números 4, 8 e 16 é:
a. maior que a respectiva média aritmética.
b. inferior a 6.
c. igual a 8.
d. igual a 4.
e. superior a 9.
c. igual a 8.
(CESPE/ANAC/ESPECIALISTA EM REGULAÇÃO DE AVIAÇÃO CIVIL) Considerando que uma pesquisa de satisfação referente a um novo terminal de passageiros tenha sido realizada com 50 pessoas e o resultado em uma amostra de notas conforme apresentado na tabela, julgue o item seguinte.
A média geométrica da distribuição das notas foi superior à média aritmética. (CERTO/ERRADO)
ERRADO.
A média geométrica é sempre menor ou igual à média aritmética. É uma propriedade.
Medidas de Tendência Central
Média Harmônica
Em Matemática, a média harmônica (às vezes chamada de média subcontrária) é um
dos vários métodos de calcular uma média. Normalmente, ele é adequado para situações em
que a média das taxas é desejada.
A média harmônica H dos números reais positivos é definido como sendo o número de
membros dividido pela soma do inverso dos membros, como segue:
A média harmônica tem uma condição. Os valores têm que ser maiores do que zero,
porque um sobre zero, na matemática, não existe. Para se calcular uma média harmônica,
todos os valores têm que ser maiores do que zero.
Uma vez que a média harmônica de uma lista de números tende fortemente para o
mínimo de elementos da lista, ele tende (em comparação com a média aritmética) para mitigar o impacto de grandes valores atípicos e agravar o impacto das pequenas.
A média harmônica, às vezes, é muito utilizada na engenharia, em análise de índice, de
taxas, bolsas de valores etc. Isto, porque a média aritmética é muito influenciável. Já a média
harmônica tenta diminuir o impacto dos grandes números e tenta aumentar um número muito
pequeno para compensar. Ela sofre menos que a média aritmética.
Observação
A média harmônica é o método preferível para a média dos múltiplos, tais como a relação preço/ganho, em que o preço é no numerador. Se esses índices são calculados usando
uma média aritmética (um erro comum), os pontos de dados altos são dados maior peso do
que pontos de dados baixos. A média harmônica, por outro lado, dá um peso igual para cada
ponto de dados.
Um automóvel subiu uma ladeira a uma velocidade média de 60 km/h e, em seguida, desceu a mesma ladeira a velocidade média de 100 km/h. A velocidade média desse veículo
no percurso inteiro foi de:
a. 72 km/h.
b. 75 km/h.
c. 78 km/h.
d. 80 km/h.
e. 84 km/h.
b. 75 km/h.
Em questões de velocidade, costuma-se fazer média aritmética. Contudo, há outras formas de solucioná-las. Quando se fala em velocidade média, não se faz média aritmética, mas sim média harmônica.
(FCC/ARTESP/ESPECIALISTA EM REGULAÇÃO DE TRANSPORTE I/ECONOMIA) Considere as seguintes informações:
I – (A) = média harmônica dos números 4, 6 e 12.
II – (B) = média geométrica dos números 4, 6 e 12.
A média aritmética de (A) + (B) é igual a
a. 6,81.
b. 5,68.
c. 6,30.
d. 5,41.
e. 6,93.
(FCC/ELETROBRAS-ELETROSUL/CIÊNCIAS ECONÔMICAS) A média harmônica dos
números 3, 4 e 6
a. está entre 2,5 e 2,9, inclusive.
b. é inferior a 2,5.
c. está entre 3,5 e 4,0, inclusive.
d. é superior a 4,0.
e. está entre 3 e 3,4, inclusive.
(RECEITA FEDERAL/AUDITOR FISCAL DA RECEITA FEDERAL/ÁREA TECNOLOGIA
DA INFORMAÇÃO) Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética, geométrica (G) e harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos ( X1, X2, … , Xn):
LETRA D.
A questão trata da seguinte relação:
As médias podem ser iguais se todos os valores forem iguais.
(FCC/SEFAZ-GO/AUDITOR-FISCAL DA RECEITA ESTADUAL) Os matemáticos definem
diferentes tipos de médias entre dois números positivos e, para cada aplicação, escolhem qual o tipo mais adequado a ser utilizado. A média harmônica H entre os números positivos a e b, por exemplo, é definida como o inverso da média aritmética dos inversos desses números, ou seja, A média aritmética dos números 5 e 20 supera a média harmônica desses mesmos números em:
a. 4 unidades.
b. 4,25 unidades.
c. 4,5 unidades.
d. 4,75 unidades.
e. 5 unidades.
c. 4,5 unidades.
(CONSULPLAN/TRE-MG/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICA) Para um conjunto de
dados, utilizou-se um programa de computador para calcular o valor das médias aritméticas simples, harmônica e geométrica. No entanto, os valores resultantes dos cálculos
foram impressos sem qualquer identificação sobre a qual medida-resumo eles se referiam. Os valores impressos foram 2.63, 2.46 e 2.25. Conhecendo as propriedades dessas
medidas-resumo, é correto afirmar que os valores da média aritmética simples, harmônica e geométrica são, respectivamente,
a. 2.25, 2.46 e 2.63.
b. 2.25, 2.63 e 2.46.
c. 2.46, 2.25 e 2.63.
d. 2.63, 2.46 e 2.25.
e. 2.63, 2.25 e 2.46.
A média aritmética é a maior, a harmônica é a menor e a geométrica é a intermediária. Portanto:
e. 2.63, 2.25 e 2.46.
Percebe-se que a média harmônica sofre menos impactos e é a menor das três médias.
Ademais, lembre-se de que, quando se falar em velocidade média, deve-se utilizar a média harmônica.
GRÁFICOS
Gráficos para Variáveis Qualitativas
* Gráficos em barras;
* Gráficos em setores (pizza).
Gráficos para Variáveis Quantitativas
Para variáveis quantitativas, podemos considerar uma variedade maior de representações gráficas.
* Gráficos em barras;
* Gráfico de dispersão;
* Histogramas etc.
HISTOGRAMA: Nos histogramas, é uma variável quantitativa, mas a maioria delas contínua. Isto, porque se utiliza muito os intervalos de classe e os valores agrupados. Os histogramas aparecem como se fosse um gráfico em barras verticais que denotem a altura em metros dos servidores e a frequência (quantidade de funcionários). Em cada barra, haverá o intervalo. Então, a base do gráfico é como se fosse um intervalo de classe.
DISPERSÃO: O gráfico de dispersão é aquele no qual há pontinhos. Ele é muito utilizado na estatística inferencial quando se trabalha com correlação e regressão linear. É o gráfico ou diagrama de dispersão.
GRÁFICOS DE COLUNA: Juntamente aos gráficos em barra, são os mais utilizados. Indicam, geralmente, um dado quantitativo sobre diferentes variáveis, lugares ou setores e não
dependem de proporções. Os dados são indicados na posição vertical, enquanto as divisões qualitativas apresentam-se na posição horizontal.
GRÁFICOS DE BARRA: Possuem basicamente a mesma função dos gráficos em colunas,
com os dados na posição horizontal e as informações e divisões na posição vertical.
GRÁFICOS DE LINHA: O gráfico de linha é utilizado para demonstrar uma sequência numérica de um certo dado ao longo do tempo. É indicado para demonstrar evoluções (ou regressões) que ocorrem em sequência para que o comportamento dos fenômenos e suas transformações seja observado.
GRÁFICO DE SETORES: É um tipo de gráfico, também muito utilizado, indicado para expressar uma relação de proporcionalidade, em que todos os dados somados compõem o todo de um dado aspecto da realidade. Também chamado de gráfico de pizza.
Objetivos: simplicidade, clareza e veracidade. Esse objetivo é para todos os gráficos.
Um POLÍGONO DE FREQUÊNCIA é uma representação gráfica de uma tabela de frequência. Os intervalos são mostrados no eixo-X e o número de ocorrências em cada intervalo é
representado pela altura de um ponto localizado acima do centro de cada intervalo. Os pontos
são então conectados de forma a, juntamente com o eixo-X, representarem um polígono.
Tabela de Frequência
Se em uma turma do curso de estatística verificamos que temos a seguinte tabela de frequência para as idades dos alunos:
OGIVA
O gráfico OGIVA pode ser necessário também, uma vez que precise das frequências
acumuladas. Na tabela de distribuição de frequência, há os intervalos de classe, a frequência absoluta e a frequência acumulada. Então, quando se pega apenas a frequência absoluta, e os pontos médios da classe, gera-se o polígono de frequência. Já quando se pega os pontos médios da classe e a frequência acumulada, tem-se a ogiva. O gráfico ogiva também vem de um histograma.
(FADESP/UEPA/TÉCNICO DE NÍVEL SUPERIOR/ESTATÍSTICA/2020) Considere as séries de dados estatísticos, a seguir, e relacione com o tipo de gráfico mais adequado para representá-las.
A sequência que expressa corretamente a correlação entre as colunas é:
a. (S1,G2): (S2,G3): (S3:G1).
b. (S1,G1): (S2,G3): (S3:G2).
c. (S1,G3): (S2,G2): (S3:G1).
d. (S1,G2): (S2,G1): (S3:G3).
b. (S1,G1): (S2,G3): (S3:G2).
Separatrizes e Boxplot
Boxplot é o gráfico em caixas. Separatriz significa que se está separando e, nesta, utiliza-se muito a mediana, que á principal separatriz que existe.
Contudo, a mediana apenas separa em duas partes iguais, lembrando que os valores sempre têm que estar organizados em rol, de maneira crescente ou decrescente.
Uma aplicação interessante para os quartis é a construção do chamado gráfico de caixa
(ou boxplot). Esse tipo de gráfico pode ser apresentado de forma vertical ou horizontal. O
boxplot visa à apresentação de um conjunto de valores estatísticos, conforme a seguir:
Um boxplot foi feito para a aplicação de quartis. Então, percebe-se que os valores devem
estar em rol. Além disso, esse gráfico de caixa deverá ter um limite inferior e um limite superior. O limite inferior será:
Li = Q1 - 1,5(Q3 - Q1)
O (Q3 - Q1) pode ser chamado de intervalo, desvio ou amplitude interquartil. Então, é
a amplitude interquartílica. Inter, porque está entree. Essa amplitude é o que está dentro
da caixa.
Assim, chama-se diagrama de caixa, porque há uma caixa no meio. Nessa caixa, há todos os quartis: primeiro quartil, segundo quartil (mediana) e terceiro quartil.
Já o limite superior será:
Ls = Q3 + 1,5(Q3-Q1)
Já o ponto que está fora é chamado de outliers. Isto é, são valores atípicos, que estão fora do limite inferior, entre o superior e inferior. Estes são valores discrepantes, que estão fora da realidade e não fazem parte do conjunto de valores.
Por exemplo, durante um cadastro, digita-se o número 20 no campo quantidade de filhos.
Esse é um valor discrepante, que trará dúvidas quanto à sua veracidade. Assim, utiliza-se
essa ferramenta da estatística para verificar. Há como verificar se alguns valores são ou
não outliers.
Obs.: Observe que a média também aparece no canto, embora não seja sempre assim.
Decis
Os decis, denotados por D1, D2, D3,…, D9 dividem os dados em 10 grupos com cerca de
10% deles em cada grupo.
Se o que se quer são dez partes, é necessário ter até o D9. Cada parte vai corresponder a 10%.
Quartis
Assim como a mediana divide os dados em duas partes iguais, os três quartis, denotados por Q1, Q2 e Q3, dividem as observações ordenadas em quatro partes iguais:
- O primeiro quartil separa os 25% inferiores dos 75% superiores dos valores ordenados;
- O segundo quartil é a própria mediana;
- O terceiro quartil separa os 75% inferiores dos 25% superiores dos dados.
Entre o percentil, decis e quartis, este último é o mais utilizado. Para encontrar o quartil, pode-se utilizar a seguinte fórmula:
- (CESGRANRIO/TRANSPETRO/ADMINISTRADOR JÚNIOR/2018) A tabela a seguir apresenta a distribuição de atropelamentos numa cidade, com vítimas fatais e não fatais, segundo o grupo etário, no período de 1 ano.
Se Q1, Q2 e Q3 são respectivamente o 1º quartil, a mediana e o 3º quartil, então Q1, Q2 e Q3 das vítimas fatais nos atropelamentos, numa ordenação por grupo etário, se encontram, respectivamente, nas faixas etárias:
a. infância, meia-idade, maturidade
b. infância, meia-idade, terceira idade
c. infância, maturidade, terceira idade
d. juventude, meia-idade, maturidade
e. juventude, maturidade, terceira idade
LETRA D.
O grupo etário já está dividido por intervalos, já está em rol. Sempre que se trabalha com mediana, os valores devem estar em rol. Quando se trabalha com mediana e separatriz, trabalha-se com a frequência acumulada que, no caso da questão, é relativa, porque está em porcentagem. Veja a seguir:
Até 7,9% é Infância. De 7,9 a 28%, é Juventude. Como o que se procura são os 25%, que é o Q1, então, é necessário observar que os 25% estão entre 7,9 e 28%, que é Juventude.
De 28 a 67,8%, tem-se a Meia-idade. Então, a meia idade será o Q2. Já o Q3, será a Maturidade, porque esta passa de 75%, do terceiro quartil.
(CESPE/TJ-PA/ANALISTA JUDICIÁRIO/ ESTATÍSTICA/2020) Considerando que o desenho esquemático (boxplot) antecedente se refere a uma variável quantitativa X, assinale a opção correta:
a. O intervalo interquartil é igual a 65.
b. Metade da distribuição da variável X se encontra entre os valores 20 e 40.
c. Os valores da variável X que se encontram no intervalo [5;10] representam 5% da distribuição de X.
d. A mediana de X é igual a 25.
e. O primeiro quartil da distribuição de X é igual a 10.
LETRA E
a. O intervalo interquartil é Q3 – Q1. Os quartis estão dentro da caixa. Então, Q1 = 10 e Q3 = 40.. Assim, Q3– Q1= 40 – 10 = 30.
b. De 20 a 40, há 20 números, então, há um intervalo de 20. Contudo, o limite interior é 5
e o limite superior é 70, o que dá um intervalo de 65. Como 20 não né metade de 5 até 70, este item está incorreto. Além disso, os quartis dividem de 25 a 25%. Então, de Q2 até Q3 há 25% e não 50%.
c. Entre 5 e 10, tem-se o primeiro quartil. O primeiro quartil representa 25% e não 5%.
d. A mediana é igual ao segundo quartil. O segundo quartil é igual a 20.
e. O primeiro quartil é igual a 10.
(NUCEPE/FMS/ESTATÍSTICO/2019) Resolva a questão, baseando-se nas informações abaixo.
Em uma turma de Mestrado, o professor atribuiu as seguintes notas aos seus 11 alunos na disciplina de Probabilidade e Estatística X = (6, 6, 7, 5, 10, 8, 8, 6, 5, 8, 8).
Os quartis das notas (Q1, Q2 e Q3) são, respectivamente:
a. 6.6, 7.0 e 8.5
b. 7.45, 7.50 e 8.50
c. 6.8, 8.5 e 5.9
d. 6.0, 7.0 e 8.0
e. 6.6, 7.5 e 8.5
d. 6.0, 7.0 e 8.0
Se são separatrizes, o primeiro a se fazer é colocar os valores em rol. Então, seria x =
(5,5,6,6,6,7,8,8,8,8,10). O n = 11 e, se o n é uma quantidade ímpar, o elemento central é:
Então, o elemento central é o 6º e este será a mediana (Q2). O sexto elemento é o 7. Antes do Q2, há cinco elementos. O elemento do meio, entre esses cinco elementos, será o Q1. Então, o Q1 será 6. Ao se fazer o mesmo com os elementos depois do elemento central, tem-se o Q3, que é 8.
(FGV/TJ-AL/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICA/ 2018) Para avaliar a produtividade de um dado conjunto de varas da justiça, é extraída uma amostra do número de audiências efetivamente realizadas durante um determinado período.
Os dados foram tratados, obtendo-se as seguintes estatísticas:
Me (A) = 22, Q1 =19 e Q3 =27
Essas estatísticas representam os Quartis da distribuição.
Adotando-se a técnica de Box-Plot para fins da identificação de outliers, sobre os valores
A1 = 6, A2 = 11 e A3 = 40 tem-se que:
a. todos são outliers;
b. os dois primeiros são outliers;
c. apenas A3 é um outlier;
d. A1 e A3 não são outliers;
e. nenhum deles é outlier.
d. A1 e A3 não são outliers;
Me é a mediana, isto é, Q2. Para saber os outliers, será necessário encontrar o limite interior e o limite superior.
Como A1 (6) e A3 (40) não estão dentro dos limites, serão outliers. Por outro lado, o A2
está dentro dos limites e não será outlier.
(CESPE/MPU/ANALISTA/ESTATÍSTICA/2013) A tabela acima mostra algumas estatísticas descritivas produzidas por um estudo acerca da quantidade de acidentes de trabalho (N), ocorridos em 2012, a partir de uma amostra aleatória simples de 200 indústrias de pequeno porte. Com base nessas informações, julgue o próximo item.
A figura abaixo mostra corretamente o diagrama de box-plot da distribuição do número deacidentes de trabalho ocorridos no ano de 2012 na referida amostra.
acidentes de trabalho ocorridos no ano de 2012 na referida amostra. (CERTO/ERRADO)
ERRADO.
Será que os valores máximo e mínimo correspondem aos limites superior e inferior? É necessário verificar. O limite superior é:
Ls = Q3 + 1,5(Q3-Q1)
Ls = 10 + 1,5(10-2)
Ls = 22
Li = Q1 - 1,5(Q3-Q1)
Li = 2 - 1,5(10-2)
Li = - 10
Portanto, o 30 será um valor atípico, um outlier. Já o limite inferior é: -10
Portanto, o 0 será um valor dentro do primeiro quartil. Então, o gráfico está errado.
Os valores dos quartis também não batem.
