Erwartungswert, Varianz und Standardabweichungen von ZV Flashcards
Motivation für Def. von Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung (Maßahlen) für ZV
Charakterisierung der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer ZV (Analog zu “normalen” Variablen aus der Deskriptivstatistik:)
- Lagemaße zur Beschreibung einer typischen Realisation (→wichtigstes Lagemaß: Erwartungswert)
- Streuungsmaße zur Bescheibung des Ausmaßes der Unterschiedlichkeit der Realisationen (→wichtigtse Streuungsmaße: Varianz und ZV)
Widerholung Definition des Mittelwerts
→Übertragung auf diskrete und stetige ZV
Definition Erwartungswert einer diskreten Variable
Gleiche Formel wie die für den Mittelwert, aber:
- anstatt Messwertausprägungen Realisationen
- statt realtiven Häufigkeiten Wahrscheinlichkeiten
Definition Erwartungswert einer stetigen Variable
Gehen von der Formel für den Erwartungswert diskreter ZV aus, ersetzen aber:
- die Summe durch ein Integral
- die Wahrscheinlichkeitsfunktion durch eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Der Erwartungwert E(x) einer stetigen ZV X ist also:
Interpretation Erwartungswert, Varianz, Standardabweichunh
(Sowohl für diskrete, als auch für stetige ZV X:)
- E(X): Durchschnittliche Realisation von X, wenn das X zugrundeliegende Zufallsexperiment unter identischen Bedingungen unendlich oft widerholt wird.
- Var(X): Empirische Varianz der Realisationen von X, wenn das X zugrundeliegende Zufallsexperiment unter identischen Bedingungen unendlich oft widerholt wird.
- SD(X): Empirische Standardabweichung der Realisationen von X, wenn das X zugrundeliegende Zufallsexperiment unter identsichen Bedingungen undenlich oft widerholt wird.
→Also genau wie bei emp. Varianz und Standardabweichung nicht wirklich intuitiv.
Rechenregeln Erwartungswert
Widerholung Definition empirische Varianz (Deskriptivstatistik)
→Übertragung auf diskrete und stetige ZV
Definition Varianz einer diskreten ZV
Gleiche Formel wie für die empirische Varianz, aber:
- anstatt Messwerten Realisationen
- anstatt relativen Häufigkeiten Wahrscheinlichkeiten
- anstatt Mittelwert Erwartungswert
Definition Varianz einer stetigen ZV
Ausgangspunkt: Formel für Varianz diskreter ZV, ersetzen aber:
- Summe durch ein Integral
- Wahrscheinlichkeitsfunktion durch Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Definition Standardabweichung einer ZV
Die Standaedabweichung SD(X) ist sowohl für diskrete als auch für stetige ZV als die Wurzel d. Varianz definiert:
Rechenregeln Varianz und Standardabweichung
z-Standardisierung von Zufallsvariablen
Wir ziehen von der ZV X ihren Erwartungswert E(X) ab, und teilen diese Differenz dann durch die Standardabweichung SD(X) von X. Diese Transformation ergibt eine neue z-standardisierte ZV Z:
