Ensemble

Question 1

(Définition) Ensemble

Answer 1

On appelle ensemble toute collection non ambiguë d’objets distincts deux à deux, appelés éléments de l’ensemble. L’ensemble vide, noté ∅ , est l’ensemble ne contenant aucun élément.

Question 2

(Définition) Appartenance

Answer 2

Le fait qu’un élément x appartienne à un ensemble E se note x ∈ E , et son contraire x ∉ E

Question 3

définir un ensemble par extension, c’est …

Answer 3

définir un ensemble en listant tous ces éléments

Question 4

définir un ensemble par intension, c’est …

Answer 4

définir les éléments de l’ensemble sont ceux satisfaisant un prédicat, typiquement de la forme { x I P ( x ) } qui est l’ensemble des x tels que P ( x ) est vrai.

Question 5

(traduction) S:= { f(x) I R(x) }

Answer 5

S est l’ensemble des f(x) TELS QUE R(x).

Question 6

(Définition) Inclusion d’un ensemble dans un autre

Answer 6

Si tout les éléments d’un ensemble appartiennent a un autre ensemble alors il est un sous-ensemble.
noté E ⊆ F :
∀x . ( x ∈ E ⇒ x ∈ F ) ou ∀x ∈ E . x ∈ F

Question 7

(traduction) T ⊆ S

Answer 7

( ∀e I e ∈ T => e ∈ S )

Question 8

(traduction) T ⊂ S

Answer 8

T ⊆ S ∧ (∃e ∈ S ∧ e ∉ T)

Question 9

(traduction) T ⊈ S

Answer 9

¬(T ⊆ S)

Question 10

(Définition) Égalité

Answer 10

E et F sont égaux , noté E = F , si E ⊆ F et F ⊆ E .

Question 11

(Définition) Non-égalité

Answer 11

E et F ne sont pas égaux , noté E = F , si ¬ ( E = F ) . On dit

Question 12

(Définition) Ensemble des parties d’un ensemble

Answer 12

L’ ensemble des parties de E , noté 𝒫( E ) ou 2ᴱ, est l’ensemble contenant tous les sous-ensembles de E , c’est-à-dire l’ensemble { X I X ⊆ E } .

Question 13

(Définition) Complémentaire d’un ensemble

Answer 13

Le complémentaire de E par rapport à A, noté ∁ₐE ou E \ A est : {x I x ∈ E et x ∉ A}
ou encore lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur E, noté ᶜA, Aᶜ ou ¬A est E = { x I x ∉ E } .

Question 14

(proprieté) 1ere Loi de De Morgan ( S ∩ T )ᶜ

Answer 14

Sᶜ ∪ Tᶜ

Question 15

(proprieté) 2e Loi de De Morgan ( S ∪ T )ᶜ

Answer 15

Sᶜ ∩ Tᶜ

Question 16

(Sᶜ)ᶜ =

Answer 16

S

Question 17

S ∪ Sᶜ =

Answer 17

U

Question 18

S ∩ Sᶜ =

Answer 18

Ø

Question 19

S \ Ø =

Answer 19

S

Question 20

S \ T =

Answer 20

S ∩ Tᶜ

Question 21

Réécriture de l’inclusion S ⊆ T

Answer 21

S ⊂ T ∨ S = T

Question 22

Réécriture de l’inclusion stricte S ⊂ T

Answer 22

S ⊆ T ∨ T ≠ S

Question 23

(Définition) Union

Answer 23

L’ union de E et F , notée E ∪ F , est l’ensemble défini comme suit :
E ∪ F = { x I x ∈ E ∨ x ∈ F } .

Question 24

(Définition) Intersection

Answer 24

L’ intersection de E et F , notée E ∩ F , est l’en- semble défini comme suit :
E ∩ F = { x I x ∈ E ∧ x ∈ F } .

Question 25

(Propriété) opérateurs ensemblistes

Answer 25

Les opérateurs d’union et d’intersection sont associatifs , commutatifs et distributifs l’un par rapport à l’autre.
L’ensemble vide ∅ est élément neutre pour l’union et l’ élément absorbant pour l’intersection.

Question 26

(Définition) Couple et produit cartésien

Answer 26

Étant donnés deux éléments x ∈ E et y ∈ F, le couple formé par x et y , noté ( x, y ) , est l’ensemble {{ x } , { x, y }} à deux éléments.
Le produit cartésien de E et F , noté E × F , est l’ensemble { ( x, y ) I x ∈ E ∧ y ∈ F } .

Question 27

Produit cartésien

Answer 27

S x T = {(a;b) I a ∈ S ∧ b ∈ T}
C’est à dire toutes les paires possibles entre les éléments de S et de T.

Question 28

Sⁿ

Answer 28

Produit cartésien de S, n fois

Question 29

(Définition) Relation

Answer 29

Une relation R entre E et F est un sous-ensemble du produit carté- sien E × F : R ⊆ E × F . Pour une relation R entre E et F et deux éléments e ∈ E et f ∈ F , lorsque e et f sont en relation selon R, on note ( e, f ) ∈ R ou eRf .
Lorsque E = F , R ⊆ E × E est une relation sur E .

Question 30

Relation

Answer 30

• Associe des éléments de 2 ensembles.
• Sous ensemble d’un produit cartésien de ces 2 ensembles.

Question 31

a𝓡b signifie

Answer 31

(a,b) ∈ 𝓡

Question 32

(Définition) une relation 𝓡 sur un ensemble E est réflexive si

Answer 32

si tout élément est relié à lui-même
∀x . x ∈ E ⇒ ( x, x ) ∈ 𝓡. ou
∀x . x ∈ E, x𝓡x;
Tous les x ont une boucle vers eux mêmes.

Question 33

(Définition) une relation 𝓡 sur un ensemble E est antiréflexive si

Answer 33

si ∀x . x ∈ E ⇒ ( x, x ) ∉ 𝓡. ou encore
𝐈s ∩ 𝓡 = Ø

Aucun a admet une boucle vers lui même.

Question 34

(Définition) une relation 𝓡 sur un ensemble E est symétrique si

Answer 34

si symétrique si x relié à y entraîne que y est relié à x
∀x,y . ( x, y ) ∈ 𝓡 ⇒ ( y, x ) ∈ 𝓡. ou
∀x,y ∈ E ,\; (x𝓡y) ⇒ (y𝓡x)
Pour chaque relations “aller” x vers y, il y a aussi un “retour” y vers x.

Question 35

(Définition) une relation 𝓡 sur un ensemble E est anti-symétrique si

Answer 35

si x relié à y et y relié à x entraînent x=y
∀x,y . (( x, y ) ∈ R ∧ ( y, x ) ∈ R ⇒ x = y )
∀x . x ∈ E, ((x𝓡y)∧ (y𝓡x)) ⇒ (y𝓡x)

Question 36

(Définition) une relation 𝓡 sur un ensemble E est transitive si

Answer 36

si quand x est relié à y et y à z alors x est relié à z
∀x, y, z . (( x, y ) ∈ R ∧ ( y, z ) ∈ R ⇒ ( x, z ) ∈ R )
∀x, y, z ∈ E, ((x𝓡y)∧ (y𝓡z)) ⇒ (x𝓡z) ou encore
𝓡² ⊆ 𝓡

Question 37

(Définition) une relation 𝓡 sur un ensemble E est une relation d’équivalence si

Answer 37

si elle est réflexive, symétrique et transitive.

Question 38

(Définition) une relation 𝓡 sur un ensemble E est une relation d’ordre si

Answer 38

si elle est réflexive, antisymétrique et transitive.

Question 39

(Définition) Composition de relations

Answer 39

Soient 𝓡 ⊆ E × F et S ⊆ F × G deux relations, la composition de 𝓡 et S , notée 𝓡 ◦ S , est définie comme suit :
𝓡 ◦ S = { ( x, z ) I∃ y ∈ F . (( x, y ) ∈ 𝓡 ∧ ( y, z ) ∈ S ) } .
𝓡 ◦ S = { ( x, z) ∈ LxU I (∃b ∈ T I (a,b) ∈ 𝓡 ∧ (b,c) ∈ S)}
JPM : Une Jointure en fait.

Question 40

(Définition) Fermeture transitive

Answer 40

Soit R ⊆ E × E une relation sur E et n un entier positif. On note R 1 = R et et R = R n − 1 ◦ R . La fermeture transitive est la relation