Elemente Flashcards
Kongruenzsätze für Dreiecke
(5 Stück)
- SSS
- SWS
- WSW
- WWS
- SSW(ggS)
Typen von Kongruenzabbildungen
(6 Stück)
- Identität
- (Achsen- bzw. Geraden) Spiegelung
- Drehung
- Punktspiegelung
- Verschiebung
- Schubspiegelung
(Achsen- bzw. Geraden) Spiegelung
(Kongruenzabbildung)
Definierende Elemente: Spiegelgerade
Eindeutig festgelegt durch: ein Punkt und dessen Bildpunkt
Drehung
(Kongruenzabbildung)
Definierende Elemente: Drehzentrum, Drehwinkel und -orientierung
Eindeutig festgelegt durch: zwei Punkte und deren Bildpunkte
Punktspiegelung
(Kongruenzabbildung)
Definierende Elemente: Spiegelzentrum
Eindeutig festgelegt durch: ein Punkt und desssen Bildpunkt
Verschiebung
(Kongruenzabbildung)
Definierende Elemente: Verschiebungsvektor
Eindeutig festgelegt durch: ein Punkt und dessen Bildpunkt
Schubspiegelung
(Kongruenzabbildung)
Definierende Elemente: Spiegelachse, Verschiebungsvektor
Eindeutig festgelegt durch: Zwei Punkte und deren Bildpunkte
Konstruktionsbeschreibung
Achsenspiegelung
Fälle das Lot von Punkt A auf die Spiegelachse und verdopple es. Am Ende liet der Bildpunkt A’. Verfahre genauso mit den Punkten B und C und verbinde die drei Bildpunkte.
Konstruktionsbeschreibung
Drehung
Zeichne eine Halbgerade vom Drehzentrum Z=(x/y) durch den Punkt A. Zeichne einen Kreisbogen mit Mittelpunkt Z, der durch A verläuft. Trage den Erstschenkel den Winkel …° an. Der Schnittpunkt dieses Zweitschenkels mit dem Kreisbogen ist der Bildpunkt A’. Verfahre genauso mit den Punkten B und C und verbinde die drei Bildpunkte.
Konstruktionsbeschreibung
Punktspiegelung
Zeichne die Strecke von Punkt A zum Spiegelzentrum Z=(x/y) und verdopple sie. Am Ende liegt der Bildpunkt A’. Verfahre genauso mit den Punkten B und C und verbinde die drei Bildpunkte.
Konstruktionsbeschreibung
Verschiebung
Trage den Verschiebungsvektor (“um … nach links/rechts und … nach oben/unten”) am Punkt A an. Am Ende liegt der Bildpunkt A’. Verfahre genauso mit den Puntkten B und C und verbinde die drei Bildpunkte.
Konstruktionsbeschreibung
Schubspiegelung
Fälle das Lot von Punkt A auf die Spiegelachse und verdopple es. An den Punkt am Ende trage den Verschiebungsvekto an. An dessen Ende liegt der Bildpunkt A’. Verfahre genauso mit Punkt B und C und verbinde die drei Bildpunkte.
allgemeingültige Strategie zur Herleitung einer Kongruenzabbildung aus Ur- und Bildpunkt
- Ur- und Bildpunkte verbinden
-> Punktspiegelung und Verschiebung ausschließbar bzw. erkennbar - Mittelsenkrechten (der Ur- und Bildpunktverbindungsstrecken) einzeichnen
-> Drehung und Achsenspiegelung erkennbar oder auszuschließen - Gerade konstruieren die durch die Mittelpunkte der Verbindungsstrecken geht
-> Schubspiegelung?
Eigenschaften von Kongruenzabbildungen
- geradentreu
- längentreu
- winkelmaßtreu
- flächeninhaltstreu
- parallelentreu
- orientierungstreu/orientierungsverkehrend
Fixfigur
Eine Fixfigur bei einer Abbildung ist eine Figur, deren Bildfigur mit ihr übereinstimmt.
-> Alle Punkte einer Figur sind wieder auf dieser Figur abgebildet, aber nicht auf sich selbst
Fixpunktfigur
Eine Fixpunktfigur bei einer Abbildung ist eine Figur, bei der jeder Punkt Fixfigur ist.
-> jeder Punkt einer Abbildung wird wieder auf sich selber abgebildet
Hintereinanderausführung von Kongruenzabbildungen
Eine Hintereinanderausführung/eine Verknüpfung/das Produkt von zwei Abbildungen A1 und A2 (geschrieben A2°A1) bedeutet, dass auf jeden Punkt P der Ebene zunächst die Abbildung A1 angewandt wird und auf den dabei erhaltenen Bildpunkt P’ = A1(P) die Abbildung A2, um den eigentlichen Bildpunkt P’’ = A1(P’)= A2(A1(P)), d.h. A2°A1 = A2(A1(P)).
Dreispiegelungssatz
Jede Kongruenzabbildung der Ebene kann durch ein Produkt von höchstens drei Spiegelungen ersetzt werden
- Zeichne Mittelsenkreche a der Strecke AA’’
- Spiegele das Dreieck ABC -> A°B°C° (A° ist gleich A’’)
- Zeichne die Mittelsenkrechte b der Strecke B°B’’
- Spiegele das Dreieck A°B°C° -> A’B’C’ (A’=A°=A’’ und B’=B’’)
- Zeichne die Mittelsenkrechte c der Strecke C’C’’
- Spiegele das Dreieck A’B’C’ -> A’‘B’‘C’’ (A’=A’’ und B’=B’’)
- Insgesamt ergibt sich S3(S2(S1(ABC)))=A’‘B’‘C’’
Symmetriegruppe
Alle Deckabbildungen/Symmetrieabbildungen einer Figur zusammen bilden die Symmetriegruppe der Figur
Ikosaedergruppe: 60 Deckdrehungen
Oktaedergruppe: 24 Deckdrehungen
Tetraedergruppe: 12 Deckdrehungen
Diedergruppe Prisma, Anti-Prisma Deckdrehungen 2 x n
Grundfigur
(Bandornament & Parkett)
Die Grundfigur eines Bandornaments/Parkettes ist die Fiugur, aus der das Bandornament durch Verschiebung erzeugt werden kann
Welche Symmetrien treten bei Bandornamenten auf?
- Verschiebungssymmetrie (Verschiebung in Richtung der Mittelachse)
- Drehsymmetrie (Punktsymmetrie zu Punkten auf der Mittelachse)
- Querspiegelungssymmetrie (Achsensymmetrie zu Loten auf die Mittelachse)
- Längsspiegelungssymmetrie (Achsensymmetrie zur Mittelachse des Streifens)
- Schubspiegelungssymmetrie (Schubspiegelungen längs der Mittelachse entstehen)
Parkettierung (parkett)
Definition
Eine Parkettierung ist eine verschiebungssymmetrische Figur in der Ebene, unter deren Symmetrieverschiebungen es zwei kürzeste in zwei verschiedene Richtungen gibt, mit denen alle andere Symmetrieverschiebunden erzeugt werden können
- überlappungsfrei & lückenlos
Polygon
Definition
Vielecke/Punkte auf der Ebene, die sich durch Strecken verbinden lassen
- mind. 3 Punkte
- regelmäßige Polygone: alle Strecken sind gleich lang, alle Innenwinkel sind gleich groß
- unregelmäßige Polygone: Strecken & Winkel sind unterschiedlich
Typen von Abbildungen (Symmetrien) bei Parketten
- Translation (Verschiebung)
- Halbdrehung um 180°
- Dritteldrehung um 120°
- Vierteldrehung um 90°
- Sechsteldrehung um 60°
- Achsenspiegelung
- Schubspiegelung
Parkettierungen mit (regelmäßigen) n-Ecken
Eine Parkettierung aus Polygonen ist nur dann realisierbar, wenn die Summer der Innenwinkel der Polygone an jeder Ecke jeweils 360° beträgt.
- an jeder Ecke stoßen mind. 3 und max. 6 Polygone zusammen
Wie groß sind die Innenwinkel in regelmäßigen Polygonen?
w= 180° - 360°/n ; n E N
Penrose “Parkette”
- in jede Richtung umfasst die gesamte Ebene
- keine Grundfigur
- nicht verschiebbar
archimedische Parkettierung
Definition
- regelmäßige n-Ecke
- nur Eckpunkt an Eckpunkt
- Eckenkranz ist immer derselbe
platonische Parkettierung
Definition
- nur paarweise kongruente, regelmäßige n-Ecke
- sonderfall der archimedischen parkettierung
- zB nur Dreiecke
Platonische Körper (5)
- Tetraeder
- Hexaeder
- Oktaeder
- Dodekaeder
- Ikosaeder
-> konvex
Tetraeder
(platonischer Körper)
Ecken: 4
Flächen: 4 (Dreiecke)
Kanten: 6
Eckenkranz: 3,3,3
Deckabbildungen: 12
Hexaeder
(platonischer Körper)
Würfel
Ecken: 8
Flächen: 6 (Quadrate)
Kanten: 12
Eckenkranz: 4,4,4
Deckabbildungen: 24
Oktaeder
(platonischer Körper)
Ecken: 6
Flächen: 8 (Dreiecke)
Kanten: 12
Eckenkranz: 3,3,3,3
Deckabbildungen: 24
Dodekaeder
(platonischer Körper)
Ecken: 20
Flächen: 12 (Fünfecke)
Kanten: 30
Eckenkranz: 5,5,5
Deckabbildungen: 60
Ikosaeder
(platonischer Körper)
Ecken: 12
Flächen: 20 (Dreiecke)
Kanten: 30
Eckenkranz: 3,3,3,3,3
Deckabbildungen: 60
archimedische Körper
(die wir kennen müssen, 5)
- Prisma
- Anti-Prisma
- Kuboktaeder
- Oktaederstumpf
- Rhombenkuboktaeder
Prisma
(archimedischer Körper)
Eckenkranz: n,4,4
Deckabbildungen: n x 2
Anti-Prisma
(archimedischer Körper)
Eckenkranz: n,3,3,3
Deckabbildungen: n x 2
Kuboktaeder
(archimedischer Körper)
Ecken: 12
Flächen: 14 (6 Quadrate, 8 Dreiecke)
Kanten: 24
Eckenkranz: 3,4,3,4
Deckabbildungen: 24
Oktaederstumpf
(archimedischer Körper)
Ecken: 24
Flächen: 14 (6 Quadrate, 8 Sechsecke)
Kanten: 36
Eckenkranz: 6,6,4
Deckabbildungen: 24
Rhombenkuboktaeder
(archimedischer Körper)
Ecken: 24
Flächen: 26 (8 Dreiecke, 18 Quadrate)
Kanten: 48
Eckenkranz: 4,4,4,3
Deckabbildungen: 24
Eulersche Zahl
Eulersche Polyederformal
e = Anzahl der Ecken
k = Anzahl der Kanten
f = Anzahl der Flächen
z= eulersche zahl (-> für jedes Polyeder ohne Löcher ist die eulersche Zahl z=2)
z = e-k+f
