Dugga2vikt5

Question 1

Formulera Reynolds likformighetslag

Answer 1

Dim 3: “Strömningen vid geometriskt likformiga kroppar blir likformig om Reynolds tal är lika.”

“Detta innebär att man kan genomföra modellförsök för att bestämma krafterna som verkar på en kropp. Kravet är att Reynolds tal är det samma som i verkligheten. Man kan med andra ord variera kroppsstorlek, strömningshastighet, temperatur, tryck, mm.”

”

Question 2

Härled likformighetslagen för inkompressibel strömning utan fri vätskeyta. Utgå ifrån Navier-Stokes ekvationer. Gör detta för
kontinuitetsekvationen och impulsekvationen i x-riktningen.

Answer 2

Dim 4: Se block.

Question 3

Definiera Reynolds tal vid rörströmning. Vad menas med kritiskt Reynoldstal?

Answer 3

R 1:

R_e = (rhoVD_h)/my

V= Q/A = Medelhastigheten

D_h= 4A/p = 4 * tvärsnittsarean/Vätta omkretsen (Vanliga diametern vid cirkulära rör)

Kritiska Reynoldstalet anger vid vilket Reynoldstal omslag ger.

R_e Laminärt
R_e > R_ecrit => Turbulent
R_ecrit ~2300 för rörströmning

Question 4

Vad menas med inloppssträcka vid rörströmning? Beskriv vad som händer med hastighetsfältet i inloppssträckan. Vad menas med fullt utbildad strömning?

Answer 4

R 2:

• Inloppssträckan är sträckan det tar för att flödet ska bli fullt utbildad. => Under inloppssträckan bromsas fluiden utmed väggarna och accelereras i mitten (konstant flöde). Därmed erhålls en parabelformad hastighetsprofil.
• Fullt utbildad strömning innebär att hastigheten är konstant i flödesriktningen.

Question 5

Skissa en laminär och en turbulent hastighetsprofil vid fullt utbildad rörströmning. Vilken av profilerna ger högst väggskjuvspänning vid ett givet massflöde? Motivera.

Answer 5

R 7:

• Laminärt går i en kurva, turbulent blir rakt efter ett tag. Turbulent har lägre u_max.
• I det turbulenta fallet går den turbulenta delen av skjuvspänningen mot noll nära väggen. Väggskjuvspänningen kan därför definieras enligt nedan för både laminärt och turbulent:

tao_w=my(abs(du/dr)r=R)

• Man kan se på avbildning att derivatan vid väggen (då r=R) är större vid det turbulenta flödet än vid det laminära. Vilket leder till att väggskjuvspänning är större vid det turbulenta flödet än vid det laminära flödet.

Question 6

Skissa det principella utseendet av ett Moodydiagram.

Answer 6

R 8: Se fig 6.3 och tänk på att det kritiska Reynoldstalet är 2300.

Question 7

Förklara hur man mäter hastigheten med ett Prandtlrör (“Pitot-Static-Tube”).

Answer 7

R 12:
Ett Prandtlrör mäter hastigheten i ett rör genom att utnyttja tryckskillnader. Röret har en öppning mot strömningsriktningen som fångar upp fluiden och stannar den så att dess hastighet blir noll. Där mäts stagnationstrycket p0. Det har dessutom ett antal små hål på sidorna i vilka det statiska trycket p0 mäts.

För att lösa ut hastigheten så används Bernoullis ekvation:

p +1/2(rho V^2) + rhogz = p0 +1/2(rho V0^2) + rhogz0

där V_2 är noll och z=z0. Detta leder till att V kan lösas ut på formeln:

V= ((2(p0-p)/rho)^(1/2)

Question 8

Beskriv hur det går till att mäta hastighet med en venturimeter samt härled den ekvation du behöver
använda för att bestämma hastigheten.

Answer 8

R 13:

Se block.

Question 9

Ange tre egenskaper som karakteriserar turbulent strömning

Answer 9

T 1:

• Turbulens är ingen egenskap hos fluider utan ett sätt på vilket fluider kan strömma
• Strömningen är instationär
• Strömningen har stor virvelintensitet
• Höga Reynoldstal

Question 10

Förklara begreppet Reynolds dekomposition samt varför man gärna vill tidsmedelvärdera
ekvationerna vid turbulent strömning. Förklara också “The closure problem” (problemet att sluta
ekvationssystemet) som då uppstår.

Answer 10

T 3:

• Reynolds dekomposition innebär att man definierar hastigheten vid turbulent strömning som summan av medelhastigheten och avvikelserna från medelhastigheten (hastighetsfluktrationerna). Detta görs även för trycket.
• Man vill tidmedelvärdera hastigheterna för att slippa utföra till exempel Navier-Stokes ekvationer för extremt korta tids- och avständsintervall
• När man tidsmedelvärderar N-S ekvationer uppstår extra termer med okända variabler i form av hastighetsfluktationerna. Vi har dock inte fått fler ekvationer och har då fler okända variabler än ekvationer. Detta kallas för ett closure-problem.

Question 11

Härled kontinuitetsekvationen för det tidsmedelvärderade hastighetsfältet för inkompressibel strömning, utgående från den allmänna formen: deltap/deltat + delta(rhou)/deltax + delta(rhov)/deltay+delta(rho*w)/deltaz=0.

Answer 11

T 6:

Se block

Question 12

Härled Navier-Stokes ekvation i x-riktningen för turbulent strömning. Under vilka förutsättningar
gäller denna ekvation? Tolka de ingående termerna fysikaliskt.

Answer 12

T 7:

se block.

Question 13

Definiera friktionshastigheten u*.

Answer 13

T 10:

Friktionshastigheten definieras enligt nedan och är konstant i gränsskiktets normalriktning (y-led).

u* = roten ur (t_w/rho)

Question 14

Hur förhåller sig den turbulenta viskositeten 𝜈𝑡
(även kallad 𝜀𝑚 i Turbulenskompendiet)
storleksmässigt till den kinematiska viskositeten 𝜈 i det viskösa underskiktet respektive i det fullt
turbulenta området? Hur varierar totala skjuvspänningen
tao
med y-koordinaten i dessa områden? Vilken
matematisk form har hastighetsprofilen i de bägge områdena?

Answer 14

T 12:

Viskösa underskiktet:

• 𝜀_m &laquo_space;𝜈
• Hastighetsprofilen är linjär
• Den totala skjuvspänningen är konstant i y-led

Fullt turbulenta området:

• 𝜀_m&raquo_space; 𝜈
• Hastighetsprofilen är logaritmisk
• Den totala skjuvspänningen avtar med y

Question 15

. Skissa hastigheten u* som funktion av y* för ett turbulent gränsskikt. Vad kallas de olika
delområdena?

Answer 15

T 13:

Se block

Question 16

Skissa hastighetsprofilens utseende och det viskösa områdets utsträckning för en tangentiellt
anströmmad plan platta vid R_eL = 10 och R_eL = 10^7
. Hur förhåller sig det viskösa områdets utsträckning, delta, till kroppens karakteristiska dimension, L , för de båda Reynoldstalen? Markera det som brukar kallas
laminärt och turbulent gränsskikt samt omslagspunkten.

Answer 16

G 1:

Se block

Question 17

Skissa strömningen runt en vinkelrätt anströmmad cylinder vid R_ed = 10^5
. Markera främre
stagnationspunkt, avlösningspunkter och vakområde.

Answer 17

G 2:

Se block

Question 18

Vad skiljer den turbulenta gränsskiktsekvationen från den laminära? På vad sätt påverkas
lösningsmöjligheterna?

Answer 18

G 9:

• I de turbulenta ekvationerna är storheterna tidsmedelvärderade
• Den turbulenta skjuvspänningen orsakar en extra term som omöjliggöra direkt lösning av ekvationssystemet. Ytterligare ekvationer eller antaganden behövs, t.ex: att uttrycka turbulenstermen i medelströmningen. Behövs data från experiment.
• Se block för ekvationer.

Question 19

10. Visa utförligt att tryckgradienten för en tangentiellt anströmmad plan platta endast beror på
    derivatan av friströmshastigheten och friströmshastigheten själv: (𝜌𝑈( 𝑑𝑈/𝑑𝑥))

Answer 19

G 10:

deltap/deltay ~ 0 => p ~ p(x), deltap/deltax ~ dp/dx

• Bernoullis ekvation applicerad precis vid gränsskiktets ytterrand (vet att trycket är detsamma i y-led genom hela gränsskiktet) med z1 ~ z2
  p + 1/2 (rho * U^2) = konstant
• Derivering med avseende på x (båda storheterna är bara beroende av x) ger:

dp/dx + rhoU (dU/dx ) = 0 => dp/dx = - rho U (dU/dx)

• Eftersom en plan platta inte är krökt kommer friströmshastigheten U inte att ändras, dvs:

dU/dx = 0 => dp/dx = 0

Question 20

För laminär strömning längs en plan platta är hastighetsprofilen självlikformig. Vad betyder det?

Answer 20

G 12:

• Att hastighetsprofilen är självlikformig innebär att hur mycket gränsskiktet än växer så kommer hastighetsprofilen hela tiden att ha samma form. Detta leder till att man kan skriva:

u/U=funk(nambla) där nambla är ett dimensionlöst tal.

Question 21

Ange tre faktorer som påverkar omslagspunktens läge, samt beskriv kortfattat hur läget påverkas

Answer 21

G 18:

• Turbulens i den omströmmande fluiden (mer turbulens ger tidigare omslagspunkt)
• Ytans skrovlighet (mer skrovlighet ger tidigare omslagspunkt)
• Tryckgradienten, ”adverse” tryckgradient gör att omslagspunkten hamnar tidigare.

Question 22

Visa hur hastighetsprofilen, dess första- och andraderivata samt tryckgradienten förändras i ett
gränsskikt utefter en krökt yta vid avlösning.

Answer 22

G 19:

• Den omströmmande fluiden accelererar utefter en krökt yta. Går från högt till lågt tryck, när den senare parallelliseras med övriga strömlinjer går den från lågt tryck till högt tryck. En motriktad (adverse) tryckgradient bildas.
• Andraderivatan av hastighetsprofilen med avseende på y är positiv invid väggen och negativ närmare friströmmen. En inflektionspunkt fås däremellan som klättrar allt lägre ut i gränsskiktet ju större mottrycket blir.

Question 23

Varför är golfbollar ”dimplade” och inte släta?

Answer 23

G 22:

• Golfbollar är dimplade och inte släta för att minska strömningsmotståndet genom att försena avlösningen.
• Dimplarna trippar gränsskiktet in till turbulens vilket leder till senare avlösning.
• Turbulensens fluktuationer gör att utbyten av fluid i tjockleksriktningen (y-led) sker. Nära väggen ersätts en del av den långsamma fluiden mot snabbare fluid, vilket tillför rörelsemängd nära väggen och gör att den kan klara högre mottryck.Därmed sker avlösningen senare.

Question 24

Förklara uppkomsten av von Kármáns virvelgata.

Answer 24

G 23:
• Von Karmans virvelgata utgörs av ett upprepande mönster av turbulenta återcirkulerande virvlar bakom ett objekt i flödets riktning.
• Fenomenet uppstår bara vid vissa Reynoldstal
• Det som händer är att avlösningen blir instabil, vilket leder till tryckskillnader i den omströmmande fluiden på respektive sida. Detta gör att en oscillerande avlösning uppstår bakom objektet i flödets riktning.
• Oscillationsmönstret upprätthålls genom tryckskillnader som uppstår mellan sidorna på objektet. Den omströmmande fluiden går en kortare väg på sidan där avlösningen sker tidigt (Lägre hastighet, Högre tryck), virveln med tidig avlösning pressas bakåt i vaken samtidigt som virveln med sen avlösning trycks nedåt och orsakar tidig avlösning på andra sidan osv.