Differenzialrechnung

Question 1

Wie berechnet man den Anstiegswinkel einer Funktion?

Answer 1

tan a = delta y / delta x

Question 2

Wie wird die Funktion verschoben:

y = x² + a

Answer 2

• a > 0: in y-Richtung nach oben
• a < 0: in y-Richtung nach unten

Question 3

Wie wird die Funktion verschoben:

y = a * x²

Answer 3

• 0 < |a| < 1: Stauchung in y-Richtung
• |a| > 0: Streckung in y-Richtung
• zusätzlich bei a < 0: Spiegelung an der x-Achse

Question 4

Wie wird die Funktion verschoben:

y = (x + a)²

Answer 4

• a > 0: Verschiebung entlang der x-Achse nach links
• a < 0: Verschiebung entlang der x-Achse nach rechts

Question 5

Wie berechnet man den Grenzwert bei gebrochenrationalen Funktionen?

Answer 5

• man klammert die höchste Potenz aus und kürzt sie
• danach Limes davor schreiben

Question 6

Wie bekommt man die schräge Asymptote einer Funktion?

Answer 6

Grenzwertberechnung von gebrochenrationalen Funktionen => alle Teile wo x unter dem Bruchstrich steht (oben und unter dem großen Bruchstricht) weglassen, was übrig bleibt ist die Funktion der schrägen Asymptote

Question 7

Was ist das für eine Funktion?

Answer 7

1/x

Question 8

Was ist das für eine Funktion?

Answer 8

1/x²

Question 9

Was ist das für eine Funktion?

Answer 9

cos x

Question 10

Was ist das für eine Funktion?

Answer 10

e^x

Question 11

Was ist das für eine Funktion?

Answer 11

e^-x

Question 12

Was ist das für eine Funktion?

Answer 12

ln x

Question 13

Was ist das für eine Funktion?

Answer 13

sin x

Question 14

Was ist das für eine Funktion?

Answer 14

√x

Question 15

Was ist das für eine Funktion?

Answer 15

x

Question 16

Was ist das für eine Funktion?

Answer 16

x²

Question 17

Was ist das für eine Funktion?

Answer 17

x³

Question 18

Wie sieht diese Funktion aus:

1 / x

Answer 18

Question 19

Wie sieht diese Funktion aus:

1 / x²

Answer 19

Question 20

Wie sieht diese Funktion aus:

cos x

Answer 20

Question 21

Wie sieht diese Funktion aus:

e^x

Answer 21

Question 22

Wie sieht diese Funktion aus:

e^-x

Answer 22

Question 23

Wie sieht diese Funktion aus:

ln x

Answer 23

Question 24

Wie sieht diese Funktion aus:

sin x

Answer 24

Question 25

Wie sieht diese Funktion aus:

√x

Answer 25

Question 26

Wie sieht diese Funktion aus:

x

Answer 26

Question 27

Wie sieht diese Funktion aus:

x²

Answer 27

Question 28

Wie sieht diese Funktion aus:

x³

Answer 28

Question 29

Wie gibt man zusammengesetzte Funktionen im TR ein?

Answer 29

y₁ = x²,[0,1]

y₂ = x,[1,4]

Question 30

Was meint man mit:

lim

x ^ x_o

Answer 30

Limes von links gegen x₀

Question 31

Was meint man mit:

lim

x v x₀

Answer 31

Limes von rechts gegen x₀

Question 32

Wann ist eine Funktion stetig?

Answer 32

• wenn der Grenzwert bei x₀ existiert
• Wenn dieser Wert auch der Funktionswert an dieser Stelle ist

Question 33

Wann hat eine Funktion eine Sprungstelle?

Answer 33

Wenn der Grenzwert von links und rechts an x₀ nicht gleich ist.

Question 34

Wann hat eine Funktion eine Lücke?

Answer 34

Wenn der Grenzwert gegen x₀ nicht existiert.

Question 35

Was gilt für die Stetigkeit einer Funktion, wenn diese eine Polstelle besitzt?

Answer 35

Trotzdem stetig über dem Definitionsbereich.

Question 36

Was ist der Anstieg der Sekante in einem s-t-Diagramm?

Answer 36

Die Durchschnittsgeschwindigkeit

Question 37

Wie berechnet man den Tangentenanstieg aus dem Sekantenanstieg?

Answer 37

Question 38

Leite folgende Funktion ab:

x²

Answer 38

2x

Question 39

Leite folgende Funktion ab:

mx+n

Answer 39

m

Question 40

Leite folgende Funktion ab:

√x

Answer 40

1 / (2√x)

Question 41

Leite folgende Funktion ab:

1 / x

Answer 41

-1 / x²

Question 42

Leite folgende Funktion ab:

e^x

Answer 42

e^x

Question 43

Leite folgende Funktion ab:

ln x

Answer 43

1 / x

Question 44

Leite folgende Funktion ab:

log₂x

Answer 44

log₂x = ln x / ln 2 = (1 / ln 2) * ln x

==> (1 / ln 2) * 1 / x

Question 45

Leite folgende Funktion ab:

sin x

Answer 45

cos x

Question 46

Leite folgende Funktion ab:

cos x

Answer 46

-sin x

Question 47

Leite folgende Funktion ab:

-sin x

Answer 47

-cos x

Question 48

Leite folgende Funktion ab:

-cos x

Answer 48

sin x

Question 49

Wie leitet man nach der Produktregel ab?

f(x) = u(x) * v(x)

Answer 49

f’(x) = u’(x) ∗ v(x) + u(x) ∗ v’(x)

Question 50

Wie leitet man nach der Kettenregel ab?

f(x) = u(v(x))

Answer 50

f’(x) = u’(v(x)) ∗ v’(x)

äußere Ableitung ∗ innere Ableitung

Question 51

Leite folgende Funktion ab:

sin x * cos x

Answer 51

u(x) = sin x | v(x) = cos x

cos x ∗ cos x + sin x ∗ (-sin x)

Question 52

Leite folgende Funktion ab:

x⁵ ∗ ln x

Answer 52

u(x) = x⁵ | v(x) = ln x

5x⁴ ∗ ln x + x⁵ ∗ (1 / x)

vereinfacht: 5x⁴ ∗ ln x + x⁴

Question 53

Leite folgende Funktion ab:

(4x + 2)²

Answer 53

u(x) = z² | v(x) = 4x+2

2(4x + 2) ∗ 4

Question 54

Wie berechnet man den Anstieg einer Normalen?

Answer 54

m_n = -1 / m_t

m_t - Anstieg der Tangente an der Stelle = f’(x)

Question 55

Wie erstellt man eine Tangentengleichung einer Tangente an der Funktion f(x) und der Stelle x₀?

Answer 55

• Zielfunktion: y=mx+n
• Man leitet die Funktion ab und setzt x₀ ein => m
• man setzt das m in die Zielfunktion ein und nimmt für x & y => x₀ & f(x₀)
• nach n umstellen => n
• m und n in die Zielfunktion einsetzen => Tangentengleichung

Question 56

Wie berechnet man den Steigungswinkel einer Tangentengleichung?

Answer 56

tan^-1(m)

Question 57

Wie berechnet man die Tangente von einem Punkt außerhalb der Funktion?

Answer 57

• man setzt das Steigungsdreieck (siehe Bild) mit der ersten Ableitung f’(a) gleich
• für x und y setzt man die Koordinaten des Punktes ein
• danach Solver oder nach a umstellen
• die a-Werte sind dann die x-Koordinaten der Punkte, an der die Tangenten auf die Funktion treffen
• zum Schluss Anstiege der Tangenten berechnen => Rest wie gewohnt

Question 58

Wie findet man die Anschlussstelle zweier Funktionen?

Answer 58

Man setzt die erste Ableitung beider Funktionen gleich.

Im gemeinsamen Punkt haben beide Funktionen logischerweise den gleichen Anstieg

Question 59

Wann ist ein Graph achsensymmetrisch zur y-Achse?

Answer 59

f(-x) = f(x)

Question 60

Wann ist ein Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung?

Answer 60

f(-x) = -f(x)

Question 61

Wann ist ein Graph achsensymmetrisch zu einer parallelen zur y-Achse

für die Parallele gilt: x = a

Answer 61

f(a-x) = f(a+x)

im Bild ist x₀ = a

Question 62

Wann ist ein Graph punksymmetrisch zu einem beliebigen Punkt?

Für den Punkt gilt: P(a/b)

Answer 62

f(a-x)-b = -[f(a+x)+b]

Auf dem Bild ist x₀ = a

Question 63

Welche Bedingungen gelten für einem Extrempunkt?

Answer 63

• f’(x) = 0 (notwendige Bedingung)
• f’‘(x) ≠ 0 (beides zusammen: hinreichende Bedingung)

Question 64

Welche Bedingungen gelten für ein Minimum?

Answer 64

• muss Extrempunkt sein
• f’‘(x) > 0

Question 65

Welche Bedingungen gelten für ein Maximum?

Answer 65

• f’(x) = 0
• f’‘(x) < 0

Question 66

Welche Bedingungen gelten für einen Wendepunkt?

Answer 66

• f’‘(x) = 0 (notwendige Bedingung)
• f’’‘(x) ≠ 0 (beides zusammen: hinreichende Bedingung)

Question 67

Wann ist ein Wendepunkt ein Sattelpunkt?

Answer 67

Wenn f’(x) = 0

Question 68

Wie rekonstruiert man Funktionen?

Answer 68

• Man schaut sich die Eigenschaften der Zielfunktion an, die durch die Aufgabe vorgegeben sind (müssen bei Funktionen n-ten Grades insgesamt n+1 Eigenschaften sein)
• Die erste und zweite Ableitung der Funktion aufstellen (bei 3. Grad ist die Funktion ax³+bx²+cx+d, etc.)
• Die nötigen Eigenschaften mit den aufgestellten Funktionen beschreiben und in ein Gleichungssystem setzen
• Gleichungssystem lösen (Equa-Menü)

Question 69

Wie löst man Extremwertprobleme?

Answer 69

• Zielfunktion aufstellen (was soll extremal werden?)
• Nebenbedingungen finden, sodass nur noch 1 Unbekannte rechts in der Zielfunktion steht
• Extremum in der Funktion finden (je nach Operator)
• Auf lokale Extrema und Nebenbedingungen achten (Intervall, etc.)

Question 70

Wie berechnet man eine Ortskurve?

Answer 70

• Koordinaten des besonderen Punktes in Abhängigkeit des Parameters berechnen
• x-Koordinaten nach Parameter umstellen
• Parameter in y-Koordinate einsetzen => fertig

(nochmal im Hefter anschauen)

Question 71

Leite folgende Funktion ab:

e^-x

Answer 71

-e^-x