Differenzialrechnung Flashcards
Wie berechnet man den Anstiegswinkel einer Funktion?
tan a = delta y / delta x
Wie wird die Funktion verschoben:
y = x2 + a
- a > 0: in y-Richtung nach oben
- a < 0: in y-Richtung nach unten
Wie wird die Funktion verschoben:
y = a * x2
- 0 < |a| < 1: Stauchung in y-Richtung
- |a| > 0: Streckung in y-Richtung
- zusätzlich bei a < 0: Spiegelung an der x-Achse
Wie wird die Funktion verschoben:
y = (x + a)2
- a > 0: Verschiebung entlang der x-Achse nach links
- a < 0: Verschiebung entlang der x-Achse nach rechts
Wie berechnet man den Grenzwert bei gebrochenrationalen Funktionen?
- man klammert die höchste Potenz aus und kürzt sie
- danach Limes davor schreiben
Wie bekommt man die schräge Asymptote einer Funktion?
Grenzwertberechnung von gebrochenrationalen Funktionen => alle Teile wo x unter dem Bruchstrich steht (oben und unter dem großen Bruchstricht) weglassen, was übrig bleibt ist die Funktion der schrägen Asymptote
Was ist das für eine Funktion?
1/x
Was ist das für eine Funktion?
1/x²
Was ist das für eine Funktion?
cos x
Was ist das für eine Funktion?
ex
Was ist das für eine Funktion?
e-x
Was ist das für eine Funktion?
ln x
Was ist das für eine Funktion?
sin x
Was ist das für eine Funktion?
√x
Was ist das für eine Funktion?
x
Was ist das für eine Funktion?
x2
Was ist das für eine Funktion?
x3
Wie sieht diese Funktion aus:
1 / x
Wie sieht diese Funktion aus:
1 / x2
Wie sieht diese Funktion aus:
cos x
Wie sieht diese Funktion aus:
ex
Wie sieht diese Funktion aus:
e-x
Wie sieht diese Funktion aus:
ln x
Wie sieht diese Funktion aus:
sin x
Wie sieht diese Funktion aus:
√x
Wie sieht diese Funktion aus:
x
Wie sieht diese Funktion aus:
x2
Wie sieht diese Funktion aus:
x3
Wie gibt man zusammengesetzte Funktionen im TR ein?
y1 = x2,[0,1]
y2 = x,[1,4]
Was meint man mit:
lim
x ^ xo
Limes von links gegen x0
Was meint man mit:
lim
x v x0
Limes von rechts gegen x0
Wann ist eine Funktion stetig?
- wenn der Grenzwert bei x0 existiert
- Wenn dieser Wert auch der Funktionswert an dieser Stelle ist
Wann hat eine Funktion eine Sprungstelle?
Wenn der Grenzwert von links und rechts an x0 nicht gleich ist.
Wann hat eine Funktion eine Lücke?
Wenn der Grenzwert gegen x0 nicht existiert.
Was gilt für die Stetigkeit einer Funktion, wenn diese eine Polstelle besitzt?
Trotzdem stetig über dem Definitionsbereich.
Was ist der Anstieg der Sekante in einem s-t-Diagramm?
Die Durchschnittsgeschwindigkeit
Wie berechnet man den Tangentenanstieg aus dem Sekantenanstieg?
Leite folgende Funktion ab:
x2
2x
Leite folgende Funktion ab:
mx+n
m
Leite folgende Funktion ab:
√x
1 / (2√x)
Leite folgende Funktion ab:
1 / x
-1 / x2
Leite folgende Funktion ab:
ex
ex
Leite folgende Funktion ab:
ln x
1 / x
Leite folgende Funktion ab:
log2x
log2x = ln x / ln 2 = (1 / ln 2) * ln x
==> (1 / ln 2) * 1 / x
Leite folgende Funktion ab:
sin x
cos x
Leite folgende Funktion ab:
cos x
-sin x
Leite folgende Funktion ab:
-sin x
-cos x
Leite folgende Funktion ab:
-cos x
sin x
Wie leitet man nach der Produktregel ab?
f(x) = u(x) * v(x)
f’(x) = u’(x) ∗ v(x) + u(x) ∗ v’(x)
Wie leitet man nach der Kettenregel ab?
f(x) = u(v(x))
f’(x) = u’(v(x)) ∗ v’(x)
äußere Ableitung ∗ innere Ableitung
Leite folgende Funktion ab:
sin x * cos x
u(x) = sin x | v(x) = cos x
cos x ∗ cos x + sin x ∗ (-sin x)
Leite folgende Funktion ab:
x5 ∗ ln x
u(x) = x5 | v(x) = ln x
5x4 ∗ ln x + x5 ∗ (1 / x)
vereinfacht: 5x4 ∗ ln x + x4
Leite folgende Funktion ab:
(4x + 2)2
u(x) = z2 | v(x) = 4x+2
2(4x + 2) ∗ 4
Wie berechnet man den Anstieg einer Normalen?
mn = -1 / mt
mt - Anstieg der Tangente an der Stelle = f’(x)
Wie erstellt man eine Tangentengleichung einer Tangente an der Funktion f(x) und der Stelle x0?
- Zielfunktion: y=mx+n
- Man leitet die Funktion ab und setzt x0 ein => m
- man setzt das m in die Zielfunktion ein und nimmt für x & y => x0 & f(x0)
- nach n umstellen => n
- m und n in die Zielfunktion einsetzen => Tangentengleichung
Wie berechnet man den Steigungswinkel einer Tangentengleichung?
tan-1(m)
Wie berechnet man die Tangente von einem Punkt außerhalb der Funktion?
- man setzt das Steigungsdreieck (siehe Bild) mit der ersten Ableitung f’(a) gleich
- für x und y setzt man die Koordinaten des Punktes ein
- danach Solver oder nach a umstellen
- die a-Werte sind dann die x-Koordinaten der Punkte, an der die Tangenten auf die Funktion treffen
- zum Schluss Anstiege der Tangenten berechnen => Rest wie gewohnt
Wie findet man die Anschlussstelle zweier Funktionen?
Man setzt die erste Ableitung beider Funktionen gleich.
Im gemeinsamen Punkt haben beide Funktionen logischerweise den gleichen Anstieg
Wann ist ein Graph achsensymmetrisch zur y-Achse?
f(-x) = f(x)
Wann ist ein Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung?
f(-x) = -f(x)
Wann ist ein Graph achsensymmetrisch zu einer parallelen zur y-Achse
für die Parallele gilt: x = a
f(a-x) = f(a+x)
im Bild ist x0 = a
Wann ist ein Graph punksymmetrisch zu einem beliebigen Punkt?
Für den Punkt gilt: P(a/b)
f(a-x)-b = -[f(a+x)+b]
Auf dem Bild ist x0 = a
Welche Bedingungen gelten für einem Extrempunkt?
- f’(x) = 0 (notwendige Bedingung)
- f’‘(x) ≠ 0 (beides zusammen: hinreichende Bedingung)
Welche Bedingungen gelten für ein Minimum?
- muss Extrempunkt sein
- f’‘(x) > 0
Welche Bedingungen gelten für ein Maximum?
- f’(x) = 0
- f’‘(x) < 0
Welche Bedingungen gelten für einen Wendepunkt?
- f’‘(x) = 0 (notwendige Bedingung)
- f’’‘(x) ≠ 0 (beides zusammen: hinreichende Bedingung)
Wann ist ein Wendepunkt ein Sattelpunkt?
Wenn f’(x) = 0
Wie rekonstruiert man Funktionen?
- Man schaut sich die Eigenschaften der Zielfunktion an, die durch die Aufgabe vorgegeben sind (müssen bei Funktionen n-ten Grades insgesamt n+1 Eigenschaften sein)
- Die erste und zweite Ableitung der Funktion aufstellen (bei 3. Grad ist die Funktion ax3+bx2+cx+d, etc.)
- Die nötigen Eigenschaften mit den aufgestellten Funktionen beschreiben und in ein Gleichungssystem setzen
- Gleichungssystem lösen (Equa-Menü)
Wie löst man Extremwertprobleme?
- Zielfunktion aufstellen (was soll extremal werden?)
- Nebenbedingungen finden, sodass nur noch 1 Unbekannte rechts in der Zielfunktion steht
- Extremum in der Funktion finden (je nach Operator)
- Auf lokale Extrema und Nebenbedingungen achten (Intervall, etc.)
Wie berechnet man eine Ortskurve?
- Koordinaten des besonderen Punktes in Abhängigkeit des Parameters berechnen
- x-Koordinaten nach Parameter umstellen
- Parameter in y-Koordinate einsetzen => fertig
(nochmal im Hefter anschauen)
Leite folgende Funktion ab:
e-x
-e-x
