Definizioni Flashcards
funzione integrabile secondo Riemann
una funzione f : [ a, b ] → R limitata si dice integrabile secondo Riemann se data una sua qualsiasi somma di Cauchy - Riemann Sn,
lim ( n → ∞ ) Sn
esiste, è finito e tale limite non dipende da come ho scelto i punti ξ j
in tal caso si pone :
lim (n → ∞ ) Sn = ∫(a,b) f(x) dx
F primitiva di f
si dice che una F : [ a, b ] → R è una primitiva di
f : [ a, b ] → R se F è derivabile in [ a, b ] e
F’ ( x ) = f ( x ) ∀x ∈ [ a, b ]
tutte e sole le primitive di f sono della forma F ( x ) + c dove F ( x ) è una fissata primitiva di x e c ∈ R
vettore
un vettore nel piano o nello spazio è individuato assegnando:
- norma
- direzione
- verso
vettore somma
dati due vettori v e w, il vettore somma v + w si costruisce con la regola del parallelogrammo
prodotto per uno scalare
dati v e t ∈ R si definisce prodotto tra il vettore v e lo scalare t ( prodotto per uno scalare ) e si indica con tv il vettore che ha norma = | t | || v ||, stessa direzione v, stesso verso di v se t > 0, verso opposto se t < 0
versore
un vettore di norma unitaria si chiama versore. dato v diverso da O ( vettore nullo ), posso costruire a partire da v un versore moltiplicando v per 1 / || v ||. ( processo di normalizzazione )
versori fondamentali dello spazio
i versori fondamentali dello spazio sono:
i = ( 1, 0, 0 )
j = ( 0, 1, 0 )
k = ( 0, 0, 1 )
ogni vettore v = ( x, y, z ) può essere scritto:
v = xi + yj + zk
combinazione lineare
siano v1, v2, ... , vk vettori dati α1, α2 , ... , αk ∈ R si chiama combinazione lineare di v1, ... , vk con coefficienti α1, ... , αk il vettore α1 v1 + α2 v2 + ... + αk vk (oppure sommatoria di (αi vi) )
vettori linearmente dipendenti
v1, … , vk si dicono linearmente dipendenti ( L. D. ) se almeno uno di essi si può scrivere come combinazione lineare degli altri
in caso contrario i vettori si dicono linearmente indipendenti ( L. I )
geometricamente due vettori v1 e v2 NEL PIANO sono L. D. se e solo se si trovano sulla stessa retta: hanno stessa direzione
prodotto scalare
dati v e w si chiama prodotto scalare fra v e w e si indica con v ∙ w
il numero reale || v || || w || cos α, dove α ∈ [ 0 , π ] è l’angolo formato da v e w
prodotto vettoriale nello spazio ( non si può fare nel piano )
dati v e w vettori nello spazio, il prodotto vettoriale tra v e w, indicato con v × w , è il vettore caratterizzato dalle seguenti proprietà:
- || v × w || = || v || || w || sen α dove α ∈ [ 0 , π ] è l’angolo formato da v e w
- v × w è perpendicolare al piano in cui vivono v e w
- v, w e v × w nell’ordine formano una terna destrorsa
geometricamente: v × w è l’area del parallelogrammo costruito su v e w
prodotto misto nello spazio ( non si può fare nel piano )
dati u, v, w vettori nello spazio, si chiama prodotto misto tra u, v, w il numero reale u ∙ ( v × w )
( occhio che vale la propr. distributiva, ma ( u ∙ v ) × w non ha senso in quanto u ∙ v non è un vettore )
il prodotto misto è nullo se e solo se u giace nel piano individuato da v e w, dunque solo se i vettori sono complanari pertanto L. D.
geometricamente: u ∙ ( v × w ) è il volume del parallelepipedo costruito su u, v, w
retta nel piano e nello spazio
una retta nel piano è il luogo geometrico dei punti
{ ( x, y ) : ax + by = c } con a, b, c ∈ R e a, b non entrambi nulli
condizioni di parallelismo ed ortogonalità
due rette sono parallele se i loro vettori direzione sono paralleli ( cioè L. D. )
due rete si dicono perpendicolari se i loro vettori direzione sono perpendicolari ( cioè se il loro prodotto scalare = 0 )
( due rette perpendicolari non sono necessariamente incidenti )
piani paralleli e ortogonali
due piani si dicono paralleli se lo sono i loro vettori normali
due piani sono ortogonali se lo sono i loro vettori normali
spazio Rn
dato n >= 1 chiamiamo Rn l’insieme di tutte le n-uple ordinate di numeri reali
Rn = { ( x1, x2, x3, … , xn ) : xi ∈ R }
x = ( x1, x2, x3, … , xn ) si dice vettore
xi sono le componenti del vettore
somma di vettori
dati i vettori x = ( x1, x2, x3, ... , xn ) e y = ( y1, y2, y3, ... , yn ) si definisce somma tra x e y il vettore x + y = ( x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, ... , xn + yn )
prodotto per uno scalare
dati il vettore x = ( x1, x2, x3, … , xn ) e λ ∈ R si definisce prodotto tra x e λ ( prodotto per uno scalare )
λx = ( λx1, λx2, λx3, … , λxn )
(sul quaderno se vuoi ci sono tutte le proprietà )
spazio vettoriale su K
si dice spazio vettoriale su K ( R o C ) un insieme V per il quale sono definite due operazioni:
- somma : associa a ogni coppia di elementi di V un unico elemento di V denotato con V1 + V2
- prodotto per uno scalare : che associa ad ogni elemento di V e t ∈ K un unico elemento di V denotato con tV
( Gli elementi di V si chiamano vettori, gli elementi di K si chiamano scalari )
sottospazio
sia V uno spazio vettoriale e sia V1 ⊆ V sottoinsieme.
se V1 è munito delle stesse operazioni definite in V è anch’esso uno spazio vettoriale e diciamo che V1 è sottospazio di V
combinazione lineare
si dice combinazione lineare di n vettori v1, v2, … , vn con coefficienti α1, α2, …, αn ∈ K il vettore
α1 v1 + α2 v2 + … + αn vn
sommatoria ( αi vi ) ∈ V
vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti
si dice che v1, … , vn sono linearmente dipendenti se ∃ una loro combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli che produce il vettore nullo
si dicono linearmente indipendenti se non sono linearmente dipendenti
Base di uno spazio vettoriale
sia V uno spazio vettoriale su K.
supponiamo che esistono n vettori e1, e2, … , en tali che :
- e1, e2, … , en sono Linearmente indipendenti
- ogni vettore di V può essere scritto come combinazione lineare di e1, e2, … , en
allora l’insieme { e1, e2, … , en } si dice base di V
