Définitions examen 1 Flashcards
Ensemble dont tous les morceaux sont semblables à l’objet initial
Ensemble autosimilaire
Soit E un ensemble autosimilaire pouvant être décomposé en n ensembles semblables à E de telle sorte que les rapports de similitudes sont tous les mêmes soit k. La dimension d de similitude de E se trouve par l’équation…
n = k^d
Soit E un ensemble autosimilaire pouvant être décomposé en n ensembles semblables à E ayant des rapports de similitudes différents. La dimension d de similitude de E se trouve par la …
sommation de ses rapports^d = 1
(k1)^d + (k2)^d + … = 1
fonction tq il existe une constante k dans l’intervalle [0,1[ tq d( f(P), f(Q)) = k*d(P,Q)
Définition d’une contraction
Matrice de réflexion selon l’axe des x
( 1 0)
( 0 -1)
Matrice de réflexion selon l’axe des y
( -1 0 )
( 0 1 )
Un espace métrique E vérifie les 4 propriétés suivantes:
1) d(x,y) >= 0 pour tout x,y e E
2) si d(x,y) = 0 alors x = y
3) d(x,y) = d(y,x) pour tout x,y e E
4) d(x,y) =< d(x,z) + d(z,y) pour tout x,y,z e E
Soit (E, d) un espace métrique et x_n une suite d’élément de E
On dira que la suite x_n tend vers une certaine limite t e E si pour tout epsilom>0 il existe un N élément des naturel tq d(x, t) < epsilom pour tout n>N
Définition de convergence
Soit (E, d) un espace métrique quelconque et soit x_n une suite d’éléments de E. On dira que x_n est une suite de Cauchy si ….
Pour tout epsilom > 0, on peut trouver un N, élément des naturels, tq d( x_n, x_m) < epsilom pour tout m, n > N (donc N est le naturel à partir duquel la distance entre x_n et x_m est inférieur à epsilom)
Soit (E, d) un espace métrique dans lequel toutes les suites de Cauchy convergent. On dit que (E, d) est….
Un espace métrique complet
Définition d’une boule ouverte
B (Centre, Rayon) = {P e R^2 : d(P, C) < r } où P est un point du plan ou de l’ensemble donné
Définition d’ensemble ouvert
Soit (E,d) un espace métrique et un ensemble A contenu dans E. A est ouvert si pour tout point de A, il existe un r >0 tq la Boule ouverte B(a,r) est contenue dans A. (ensembles avec bornes ouvertes genre…)
Définition d’ensemble fermé
Soit (E,d) un espace métrique et A un ensemble contenu dans E. A est fermé si son complément est ouvert.
Définition d’ensemble borné
Un ensemble est borné s’il existe un point P et un r>0 tq l’ensemble est contenu dans la boule ouverte B(P,r)
Définition d’ensemble compacte
ensemble borné et fermé
Plus petite valeur de epsilom entre E et F tq E est compris dans F_epsilom ET tq F est compris dans E_epsilom
Distance de Hausdorff
Définition d’une contraction sur un espace métrique
Soit (E,d) un espace métrique et soit f: E –> E. S’il existe une constante k comprise dans [0, 1[ tq d( f(x), f(y) ) =< k * d(x,y) pour tout x, y élément de E, on dira que f est une contraction de rapport k.
Définition d’une point fixe
Soit f: E –> E et x e E, on dira que x est un point fixe de f si f(x) = x
SOit (E, d) un espace métrique complet et f: E –> E une contraction de rapport k. Il existe un seul et unique x e E tq f(x) = x. De plus, pour tout x_0 e E, les éléments de la suite x_n définit par x_n = f°^n (x_0) vérifient d(x_n, x) =< (k^n)/(1-k)* d (x_0, x_1)
THM du point fixe de Banach
Définit un système itératif de fonctions
S = {w1, w2, w3… wn}
Wn(ensemble attracteur) = morceau n
Définit un rapport de contraction d’un SIF
max{k1, k2, k3, k4…kn} où ki est le rapport de contraction des wi
Fx f: R^2 –> R^2 tq il existe une constante k e [0, infini[ tq d( f(P), f(Q) ) = k * d( P, Q)
Définition d’une similitude
