Definitionen

Question 1

Primzahl

Answer 1

Eine natürliche Zahl n ≥ 2 heißt eine Primzahl, wenn die
einzigen natürlichen Teiler von ihr 1 und n sind.

Question 2

Produktmenge

Answer 2

Es seien zwei Mengen L und M gegeben. Dann nennt man
die Menge
L × M = {(x, y) | x ∈ L, y ∈ M}
die Produktmenge der beiden Mengen.

Question 3

Abbildung

Answer 3

Seien L und M Mengen. Eine Abbildung F von L nach M
ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge L genau ein Element der
Menge M zugeordnet wird. Das zu x ∈ L eindeutig bestimmte Element wird
mit F(x) bezeichnet. Die Abbildung druckt man als Ganzes häufig durch
F : L −→ M, x −→ F(x),
aus.

Question 4

Injektivität

Answer 4

Es seien L und M Mengen und es sei
F : L −→ M, x −→ F(x),
eine Abbildung. Dann heißt F injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente x, x′ ∈ L auch F(x) und F(x′) verschieden sind.

Question 5

Surjetivität

Answer 5

Es seien L und M Mengen und es sei
F : L −→ M, x −→ F(x),
eine Abbildung. Dann heißt F surjektiv, wenn es für jedes y ∈ M mindestens ein Element x ∈ L mit
F(x) = y gibt.

Question 6

Umkehrabbildung

Answer 6

Es sei F : L → M eine bijektive Abbildung. Dann heißt
die Abbildung G: M → L,
die jedes Element y ∈ M auf das eindeutig bestimmte Element x ∈ L mit F(x) = y abbildet, die Umkehrabbildung zu F.

Question 7

Bijektivität

Answer 7

Es seien M und L Mengen und es sei
F : M → L, x 7−→ F(x),
eine Abbildung. Dann heißt F bijektiv, wenn F sowohl injektiv als auch
surjektiv ist.

Question 8

Hintereinanderschaltung

Answer 8

Es seien L, M und N Mengen und
F : L→ M, x → F(x), und G: M → N, y → G(y), Abbildungen. Dann heißt die Abbildung G ◦ F : L → N, x → G(F(x)), die Hintereinanderschaltung der Abbildungen F und G.

Question 9

Verknüpfung

Answer 9

Eine Verknüpfung ◦ auf einer Menge M ist eine Abbildung ◦: M × M → M, (x, y) → ◦(x, y) = x ◦ y.

Question 10

Körper & Axiome

Answer 10

Eine Menge K heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)
+ : K × K → K und · : K × K → K
und zwei verschiedene Elemente 0, 1 ∈ K gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

(1) Axiome der Addition
(a) Assoziativgesetz: Für alle a, b, c ∈ K gilt: (a+b)+c = a+(b+c).
(b) Kommutativgesetz: Für alle a, b ∈ K gilt a + b = b + a.
(c) 0 ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle a ∈ K ist
a + 0 = a.
(d) Existenz des Negativen: Zu jedem a ∈ K gibt es ein Element
b ∈ K mit a + b = 0.

(2) Axiome der Multiplikation
(a) Assoziativgesetz: Für alle a, b, c ∈ K gilt: (a · b) · c = a · (b · c).
(b) Kommutativgesetz: Für alle a, b ∈ K gilt a · b = b · a.
(c) 1 ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle a ∈ K
ist a · 1 = a.
(d) Existenz des Inversen: Zu jedem a ∈ K mit a ̸= 0 gibt es ein Element c ∈ K mit a · c = 1.
(3) Distributivgesetz: Für alle a, b, c ∈ K gilt a ·(b+c) = (a · b) + (a · c)

Question 11

Fakultät

Answer 11

Zu einer natürlichen Zahl n nennt man die Zahl n! := n(n − 1)(n − 2)… 3 · 2 · 1 die Fakultät von n (sprich n Fakultät).
Man setzt 0! = 1

Question 12

Binomialkoeffizient

Answer 12

Es seien k und n naturliche Zahlen mit ¨ k ≤ n. Dann nennt
man
n
k := n!/ (k!(n − k)!)
den Binomialkoeffizienten ”n über k“.