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Question 1

Derivadas parciais

Answer 1

lim (delta_x -> 0) = [ f (xo + delta_x) - f ( xo, yo) ] / delta_x

na prática, calcula-se fixando uma das variáveis

Question 2

Derivadas Parciais - Teorema de Cloerout

Answer 2

Se as derivadas segundas cruzadas forem contínuas no disco D[(xo,yo), E], então elas são iguais:
F xy = F yx

Question 3

Equação do Plano Tangente

Answer 3

z - zo = Fx (xo, yo) (x - xo) + Fy (xo, yo) (y-yo)

Question 4

Linearização / Aproximação Linear

Answer 4

z = L (x,y) = f (xo, yo) + Fx (xo, yo) (x - xo) + Fy (xo, yo) (y - yo)

Question 5

Diferenciabilidade - conceito

Answer 5

Cálculo I > existência da reta tangente
Cálculo II&raquo_space; existência do PLANO TANGENTE

f(xo + dx, yo + dy) = f (xo, yo) + Fx (xo, yo) dx+ Fy (xo, yo) dy + E1 dx + E2 dy
> tal que E1, E2 > 0 quando dx, dy > 0 (aproximação é válida)

E = erro

Question 6

Diferenciabilidade - Teorema

Answer 6

Se Fx e Fy EXISTEM e são CONTÍNUAS numa vizinhança de (xo, yo), então a função f(x,y) é DIFERENCIÁVEL em (xo, yo)

Question 7

Regra da cadeia - Caso 1 [ f (x (t), y (t) ) ]

Answer 7

Caso 1 [ f (x (t), y (t) ) ]

dz / dt = del_z/del_x del_x/del_t + del_z/del_y del_y/del_t

Question 8

Regra da cadeia - Caso 2 —> z (s,t) = x(s,t), y(s,t)

Answer 8

Caso 2 —> z (s,t) = x(s,t), y(s,t)

del_z/del_s =  [del_z/del_x    del_x/del_s] +  [del_z/del_y    del_y/del_s]
del_z/del_t =  [del_z/del_x    del_x/del_t] +  [del_z/del_y    del_y/del_t]

Question 9

Derivação implícita - 2 variáveis [ F(x,y) = k ]

k > curva de nível

Answer 9

[ F(x,y) ]

dy/dx = (- del_F/del_x ) / ( del_F/del_y ) = - Fx / Fy

Question 10

Derivação implícita - 3 variáveis [ F(x,y,z) = k ]

k > curva de nível

Answer 10

dz/dx = (- del_F/del_x ) / ( del_F/del_z ) = - Fx / Fz

dz/dy = (- del_F/del_y ) / ( del_F/del_z ) = - Fy / Fz

Question 11

Derivada direcional - Teorema

Answer 11

> > Se f(x,y) é DIFERENCIÁVEL no ponto (xo, yo), então a DERIVADA DIRECIONAL EXISTE, seja qual for a direção escolhida
(obs -> diferenciabilidade = a função será diferenciável nos pontos em que as derivadas parciais forem contínuas)

D_u  f(xo, yo) = lim_t->0 [ (f (xo + ta) yo + tb) - f (xo, yo)) / t ] = del_f/del_x (xo,yo) a + del_f/del_y (xo,yo) b 
D_u  f(xo, yo) = Fx (xo,yo) a + Fy (xo,yo) b 

(Definimos a derivada direcional de f(x,y) no ponto (xo,yo) e na direção do UNITÁRIO U da forma acima, sempre que o limite existir

Question 12

Vetor gradiente

Answer 12

gradiente_f (x,y) = Fx (x,y) l^ + Fy (x,y) j^

Du f(x,y) = gradiente_f (x,y) u 
   (derivada direcional = produto escalar do gradiente pelo vetor diretor unitário

Vetor gradiente sempre NORMAL (ortogonal) à superfície > pode ser utilizado para determinar a EQUAÇÃO da SUPERFÍCIE

Question 13

Derivada direcional máxima

Answer 13

quando o vetor unitário û está na MESMA DIREÇÃO ( o = 0)

Question 14

Máximos e Mínimos - Teoremas

Answer 14

• As DERIVADAS PARCIAIS PRIMEIRAS se ANULAM nos pontos de MÁXIMO E MÍNIMO
• Dizemos que (a,b) é PONTO CRÍTICO de f(x,y) quando o VETOR GRADIENTE SE ANULA
  [ Fx (a,b) = 0 = Fy (a,b) ]

Question 15

Teste da DERIVADA SEGUNDA

Answer 15

Teste da DERIVADA SEGUNDA
D (x,y) = determina da Matriz Hessiana = Fxx (x,y) Fyy (x,y) - F²xy (x,y)

• supondo (a,b) sendo ponto crítico (Fx (a,b) = 0 = Fy (a,b) ):I ) Se D (a,b) > 0 e Fxx (a,b) > 0 —–> (a,b) = MÍNIMO LOCAL
  II ) Se D (a,b) > 0 e Fxx (a,b) < 0 —–> (a,b) = MÁXIMO LOCAL
  III ) Se D (a,b) < 0 —–> (a,b) = PONTO DE SELA
  O.B.S.: Se D (a,b) < 0 —–> ??

Question 16

Fronteiras de conjuntos - Conjuntos abertos/fechados e limitados/ilimitados

Answer 16

• LIMITADO = existe um círculo que o contém

- FECHADO = o conjunto é fechado se ele contém suas fronteiras

Question 17

Método dos MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Answer 17

Fx (xo, yo) = LAMBDA Gx (xo, yo)
Fy (xo, yo) = LAMBDA Gy (xo, yo)
g (x,y) = k

Question 18

Diferencial total

Answer 18

dz = Fx dx + Fy dy

Question 19

Vetor unitário [ u> ]

Answer 19

u> = ( v> ) /  || v> ||
u> = < cos o , sen o >

Question 20

taxa de variação máxima de f(x,y) no ponto (a,b)

Answer 20

grad_f(a,b) |