Chapitre 3 Flashcards
Quel est l’objectif principal de la tarification bayésienne ?
Estimer 𝜃 ou une fonction de 𝜃 à partir de l’expérience dans l’année (sinistre ou non : 0 ou 1), où 𝑆 ∼ Bernoulli(𝜃).
Quelle est l’approche classique pour l’estimation de 𝜃 ?
L’estimation classique utilise un critère objectif, comme l’absence de biais ou le maximum de vraisemblance. Par exemple : 𝜃MLE = 1/n * ∑(𝑡=1 to 𝑛) 𝑆𝑡.
Qu’est-ce qui distingue l’approche bayésienne de l’approche classique ?
L’approche bayésienne prend en compte l’incertitude sur la valeur de 𝜃 en modélisant 𝜃 comme une variable aléatoire Θ, avec une distribution à priori révisée selon les données accumulées.
Comment est définie la distribution à priori pour 𝜃 dans l’exemple donné ?
Pr[Θ = 𝜃] = { 1/3 si 𝜃 = 0,3; 1/3 si 𝜃 = 0,5; 1/3 si 𝜃 = 0,8 }.
Quelle est la prime idéale dans un modèle bayésien ?
La prime idéale est la prime de risque 𝜇(𝜃) = 𝐸[𝑆|Θ = 𝜃], mais elle est inconnue.
Quelle est la solution pour la première année dans un modèle bayésien ?
Utiliser une prime collective :
m = 𝐸[𝜇(Θ)] = ∑ 𝜃 𝜇(𝜃) Pr[Θ = 𝜃].
Cependant, cette solution n’est pas équitable à long terme (antisélection).
Quelle est la meilleure solution à long terme dans la tarification bayésienne ?
La solution consiste à utiliser les données accumulées pour obtenir la « meilleure » approximation de la prime de risque à partir des observations des assurés :
𝐵𝑛+1 = 𝐸[𝜇(Θ)|𝑆1 = 𝑥1, …, 𝑆𝑛 = 𝑥𝑛].
= ∑ 𝜇(𝜃)Pr[Θ=𝜃|𝑆1=𝑥1,…,𝑆𝑛=𝑥𝑛]
Quel est le modèle de crédibilité bayésienne linéaire (ou exacte) ?
a prime bayésienne peut être réécrite sous la forme :
𝐵𝑛+1 = (𝑎 + ∑𝑛 𝑡=1 𝑆𝑡) / (𝑎 + 𝑏 + 𝑛)
= 𝑛 / (𝑎 + 𝑏 + 𝑛)𝑆 + (𝑎 + 𝑏) / (𝑎 + 𝑏 + 𝑛) * 𝑎 / (𝑎 + 𝑏)
= 𝑧𝑆 + (1−𝑧)m
Cela donne une prime de crédibilité :
𝜋𝑛+1 = 𝑧𝑆 + (1 − 𝑧)𝑚,
où 𝑧 = 𝑛 / (𝑛 + 𝐾) et 𝐾 = 𝑎 + b.
Qu’est-ce qu’une prime de crédibilité (formule) ?
Une prime de crédibilité est une prime de la forme :
𝜋𝑛+1 = 𝑧𝑆 + (1 − 𝑧)𝑚,
où 𝑧 est le facteur de crédibilité, avec 0 ≤ 𝑧 ≤ 1.
Comment interpréter le facteur de crédibilité 𝑧 dans le modèle bayésien linéaire ?
