Chapitre 1: Introduction Flashcards
Soit F de la primitive f
L’ensemble de toutes les primitives de f est l’intégrale indéfinie de f par rapport à x
∫f(x)dx=F(x)+C
Où C = constante d’intégration
Estimations à l’aide de sommes finies
Estimations à l’aide de sommes finies
Considérons un intervalle [a,b]
1)Une longueur de l’intervalle [a,b] est donnée par b-a
Estimations à l’aide de sommes finies
Estimations à l’aide de sommes finies
Considérons un intervalle [a,b]
2)Une partition P de l’intervalle est une suite de nb réel
x_0, x_1, x_2,x_3,x_4,x_5… x_n
tels que
a = x_0 < x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5< … 〖< x〗_n= b
Estimations à l’aide de sommes finies
Estimations à l’aide de sommes finies
Considérons un intervalle [a,b]
Avec la partition, on forme n** sous-intervalles** [x_0,x_1 ], [x_1,x_2 ], [x_2,x_3 ],…,[x_(n-1),x_n ]
Estimations à l’aide de sommes finies
Estimations à l’aide de sommes finies
Considérons un intervalle [a,b]
La longueur d’un sous intervalle [x_(i-1),x_1 ] est donnée par Δ_xi=x_1 〖-x〗_(i-1)
Estimations à l’aide de sommes finies
Estimations à l’aide de sommes finies
Considérons un intervalle [a,b]
Si les n sous-intervalles ont tous la même longueur, on a;
Δ_(x_1 )= Δ_(x_2 )= Δ_(x_3 )= … = Δx_(i-1)= Δ_(x_1 )=⋯ Δ_(x_(n-1) )= Δ_(x_n )
On dit alors que la partition et on a
Δ_x= (b-a)/n
Somme de Riemann et intégrale définie
Définition :Soit f une fonction définie sur [a,b]. Soit P = {x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5… x_n } une partition de [a,b].
Soit C_i choisis arbitrairement [x_(i-1),x_1 ] où i varie de 1 à n
L’intégrale définie de f sur [a,b] est définie comme (ex; p.25 => transformer indice (i, k, n … en x)
∫a^bf(x)dx= (lim)┬(max Δ_xi→0 )∑(i=1)^n f(c_i ) Δ_xi
Si la limite existe. On dit alors que f est intégrable sur [a,b]. Le résultat d’une intégrale définie est un nombre
Somme de Riemann et intégrale définie
Définition : y = f(x) est une fonction non-négative (c’est-à-dire f(x) ≥ 0) intégrable sur [a,b] , alors l’aire sous la courbe y = f(x) entre a et b est
A=∫_a^b〖f(x)dx〗
Théorème fondamental du calcul
Définition
Une fonction F(x) telle que F’(x)= f’(x) est une primitive de f
Théorème fondamental du calcul
Théorème (fondamental du calcul)
#1
)Si f est continue sur [a,b], alors la fonction A est définie par :
∫_a^x▒〖f(t)dt où a ≤x≤b〗
est continue sur [a,b] et dérivable sur ├]a,b┤[ . De plus, A est une primitive de F, c’est-à-dire :
A^’ (x)=dA/dx=d/dx (∫_a^x▒〖f(t)dt=f(x)〗
Théorème fondamental du calcul
Théorème (fondamental du calcul)
#2
Si f est une fonction continue sur [a,b] et si F est une primitive de f sur alors
∫_a^b▒〖f(x)dx=├ F(x)┤| 〗
b¦a=F(b)-F(a)
