Capítulo II - 6. Subconjuntos

Question 1

1. Um conjunto A é subconjunto de um
   conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B.

Answer 1

Em símbolos, a definição fica assim:
A ⊂ B ⇔ (∀ x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

Question 2

2. Com a notação A ⊂ B indicamos que

Answer 2

“A está contido em B” ou
“A é subconjunto de B” ou
“A é parte de B”.

O símbolo usado para indicar um subconjunto (⊂) é denominado sinal de inclusão.

Quando A ⊂ B, também podemos escrever B ⊃ A, que se lê “B contém A”.

Question 3

3. Exemplos de subconjuntos

Answer 3

1º) {a, b} ⊂ {a, b, c, d}
2º) {a} ⊂ {a, b}
3º) {a, b} ⊂ {a, b}
4º) {x / x é inteiro e par} ⊂ {x / x é inteiro}

Question 4

4. Com a notação A Ȼ B indicamos que

Answer 4

“A não está contido em B”, isto é, a negação de A ⊂ B.

É evidente que A Ȼ B somente se
existe ao menos um elemento de A que não pertence a B.

Assim, por exemplo, temos:
1º) {a, b, c} Ȼ {b, c, d}
2º) {a, b} Ȼ {c, d}
3º) {x / x é inteiro e par} Ȼ {x / x é inteiro e primo}

Question 5

5. Vimos anteriormente o conceito de igualdade de conjuntos:
   A B ⇔ (∀ x) (x ∈ A ⇔ x ∈ B)
   Nessa definição está explícito que

Answer 5

todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, isto é, A ⊂ B e B ⊂ A; portanto, podemos escrever:

A = B ⇔ (A ⊂ B e B ⊂ A)

Assim, para provarmos que A = B, devemos provar que A ⊂ B e B ⊂ A.

Question 6

6. Teoria dos conjuntos
   Propriedades da inclusão

Answer 6

Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, valem as seguintes propriedades:

1ª) Ø ⊂ A
2ª) A ⊂ A (reflexiva)
3ª) (A ⊂ B e B ⊂ A) ⇒ A = B (antissimétrica)
4ª) (A ⊂ B e B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C (transitiva)

A demonstração dessas propriedades é imediata, com exceção da 1ª, que
passamos a provar.

Para todo x, a implicação
x ∈ Ø ⇒ x ∈ A

é verdadeira, pois x ∈ Ø é falsa. Então, por definição de subconjunto, Ø ⊂ A.

Question 7

7. Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A aquele que é formado por todos os subconjuntos de A.

– notação 𝒫 (A) –

Answer 7

𝒫 (A) = { X / X ⊂ A }

Exemplos:
1º) Se A = {a}
𝒫 (A) = { Ø , {a} }
2°) Se B = {a,b}
𝒫 (B) = { Ø, {a} , {b} , {a,b} }
3°) Se C = {a,b,c}
𝒫 (C) = { Ø , {a} , {b} , {c} , {a,b} , {a,c} , {b,c} , {a,b,c} }

Question 8

Quais são as sete perguntas sobre subconjuntos em teoria dos conjuntos?

Answer 8

1. Um conjunto A é subconjunto de um
   conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B.
2. Com a notação A ⊂ B indicamos que
3. Exemplos de subconjuntos
4. Com a notação A Ȼ B indicamos que
5. Vimos anteriormente o conceito de igualdade de conjuntos:
   A B ⇔ (∀ x) (x ∈ A ⇔ x ∈ B)
   Nessa definição está explícito que
6. Teoria dos conjuntos
   Propriedades da inclusão
7. Conjunto das partes
   Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A – notação 𝒫 (A) –
   aquele que é formado por todos os subconjuntos de A.