Calculus 1 - Theorems

Question 1

НДУ за схоидмост на редици Коши

Answer 1

Една числова редица от реални числа е сходяща тстк е фундаментална.

Question 2

От диференциремост - >

От непрекъснатост ->

Answer 2

От диференциремост - > непрекъснатост

От непрекъснатост НЕ -> диференцируемост

Question 3

1-ва TH на Лопитал

Question 4

Th на Кантор

Answer 4

Ако f:[a,b]->R е непрекъсната, то тя е рвномерно непрекъсната.

Question 5

Th на Ферма

Answer 5

Ако функцията f има локален екстремум в точка x0 и е диференцируема в x0, то f`(x0)=0.

Question 6

TH на Рол

Answer 6

Нека функция f е непрекъсната в затворения интервал [a,b] и диференцируема в отворения интервал (a,b) и f(a)=f(b). Тогава съществува e в интервала (a,b), такова, че f`(e)=0.

Question 7

TH на Лагранж(за крайните нараствания)

Answer 7

Нека f:[a,b]->R. Нека f изпълнява следните условия:
1. f e непрекъсната в [a,b]
2. f е диференцируема в (a,b)
Тогава съществува точка е в интервала (a,b), за която е изпълнено, че
f`(e)=(f(b)-f(a))/(b-a)
Доказва се с помощна функция: g(x)=f(x)-kx;

Question 8

Принцип на константност

Answer 8

Нека f:делта->R, където делта е отворен интервал. При това е дифурунцирума в делта. Казваме, че f e const тстк f`(x)=0 за всяко x, принадлежащо на делта.

Question 9

Принцип за монотонност

Answer 9

Нека f:делта->R, където делта е отворен интервал и функцията е диференцируема в делта.

1. f е растяща в делта тстк f`(x)>=0 за всяко x от делта.
2. f e намаляваща в делта тстк f`(x)<=0 за всяко x от делта

Question 10

TH на Вайерщрас

Answer 10

Нека f:[a,b]->R e непрекъсната. Тогава f e ограничена и достига най-малка и най-голяма стойност.

Question 11

Th на Болцано-Вайерщрас(Принцип за компактност)

Answer 11

Всяка ограничена редица има точка на сгъстяване. Всяка ограничена редица има сходяща подредица.

Question 12

Диференцируемост на функция в точка и производна

Answer 12

Нека f:делта->R, където делта е отворен интервал и нека й принадлежи на делта. Казваме, че f e диференцирума в x, ако съществува граница от диференчното й частно. Ако тази граница съществува, нейната стойност се нарича производна на функцията f. Означаваме я с f`(x).

Question 13

Локален екстремум на функция