BLOC 1 Flashcards
Matrice ligne
Une matrice ligne est une matrice ne comportant qu’une ligne, donc de format 1xn.
Exemple : [1 -1 3. 0] 1x4
Matrice colonne
Une matrice colonne est une matrice ne comportant qu’une colonne, donc de format mx1.
Exemple :
-2
1
0
Matrice carrée
Une matrice carrée est une matrice qui comporte le même nombre de lignes et de colonnes. Une matrice carrée de format nxn est dite d’ordre n.
Matrice d’ordre 3 :
-2 0 4
5 -7 4
6 -1 7
Diagonale principale
La diagonale principale d’une matrice carrée A d’ordre n est formée des éléments aii.
Diagonale principale : a11 = 9, a22 =6, a33 = -4
Trace
La trace d’une matrice carrée A d’ordre n, notée Tr(A) est la somme des éléments de la diagonale principale (aii).
Égalité entre deux matrices
Les matrices A= [aij]mxn et B [bij]pxq sont égales si et seulement si :
- elles ont le même format (m=p et n=q)
- leurs éléments correspondants sont égaux (aij = bij pour tout i et tout j)
Matrice nulle
Une matrice nulle est une matrice dont tous les éléments sont des “0”. La matrice nulle de format mxn est notée par la lettre O de la façon suivante : Omxn.
Matrice triangulaire supérieure
Matrice carrée dont tous les éléments situés en-dessous de la diagonale principale sont nuls. En d’autres termes, le “triangle de nombre” qui n’est pas obligatoirement constitué de “0” est formé par les éléments de la diagonale principale et par ceux au-dessus de celle-ci.
Matrice triangulaire inférieure
Matrice carrée dont tous les éléments situés au-dessus de la diagonale principale sont nuls. En d’autres termes, le “triangle de nombre” qui n’est pas obligatoirement constitué de “0” est formé par les éléments de la diagonale principale et par ceux en dessous de celle-ci.
Matrice diagonale
Matrice carrée dont tous les éléments qui ne sont pas situés sur la diagonale principale sont nuls.
Matrice scalaire
Matrice diagonale dont tous les éléments de la diagonale principale sont égaux.
Matrice identité
Matrice scalaire dont tous les éléments de la diagonale principale sont des “1”. La matrice identité de format nxn est notée par la lettre I de la façon suivante : In.
Matrice symétrique
Matrice carrée telle que aij = aji pour tout i et tout j. En d’autres termes, les éléments situés de chaque côté de la diagonale principale sont égaux.
A = At
Matrice antisymétrique
Matrice carrée telle que aij = -aji pour tout i et tout j. En d’autres termes, les éléments situés de chaque côté de la diagonale principale sont de signes opposés.
NB: On constate que lorsque i = j, pour que l’égalité [aij = aji] soit respectée, il faut que tous les éléments de la diagonale principale d’une matrice antisymétrique soient des “0”.
A = -At
A + B =
B + A
(A + B) + C =
A + (B + C)
A + 0mxn =
A
A + (-A) =
O mxn (Matrice nulle
r (A + B) =
rA + rB
(r + s) A =
rA + sA
(rs) A =
r (sA) (Matrice nulle)
1A =
A
OA =
Omxn
r0mxn =
O mxn (Matrice nulle)
(At)t =
A (Revient à la matrice initiale)
(kA)t =
KAt
(A + B)t
At + Bt
En général, AB ≠
BA
(AB) C =
A (BC)
k (AB) =
(KA) B = A (KB)
AIn =
InB =
A
B
A (B+C) =
(D+E) F =
AB + AC
DF + EF
(AB)t =
Bt At (il faut changer l’ordre)
O mxn A nxp =
A nxp O pxq =
O mxp
O nxq
A mxn Bnxp = Omxp n’implique pas
A mxn = Omxn ou B nxp = Onxp
AB = AC n’implique pas
B = C
Propriété 1 des déterminants :
On peut développer un déterminant selon la ligne ou la colonne que l’on veut. Pour simplifier les calculs, on choisit celle qui contient le plus de ).
Propriété 2 des déterminants :
L’intervention de deux lignes (ou de deux colonnes) dans une matrice carrée amène un changement de signe dans le déterminant.
En d’autres termes, si la matrice B résulte de l’intervention de deux lignes (ou de deux colonnes) de la matrice carrée A, alors det B = -det A.
Propriété 3 des déterminants :
Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit des éléments de sa diagonale principale.
Propriété 4 des déterminants :
Le déterminant de la transposée d’une matrice carrée est égal au déterminant de la matrice initiale.
Propriété 5 des déterminants :
Le déterminant d’une matrice carrée A qui contient une ligne ou une colonne contenant seulement des 0 vaut 0.
det (A) = 0
Propriété 6 des déterminants :
Si on multiplie UNE ligne ou UNE colonne par une constante, le déterminant sera également multiplié par cette constante.
En d’autres termes, si B est une matrice qu’on obtient en multipliant une ligne ou une colonne d’une matrice carrée A par une constante c, alors det B = cdet A.
Propriété 7 des déterminants :
Si on multiplie UNE matrice carrée par une constante, le déterminant sera multiplié par cette constante “exposant le nombre de lignes”.
det (cA) = cn det (A)
Propriété 9 des déterminants :
Le déterminant d’une matrice A qui contient deux lignes ou deux colonnes identiques vaut 0.
Propriété 10 des déterminants :
det (AB) = (detA) (detB)
det (A+B) ≠ det A + det B
Propriété 11 des déterminants :
Si on veut faire apparaître des zéros dans la première colonne pour simplifier le calcul d’un déterminant d’une matrice de format 4x4 ou plus, on peut effectuer les opérations élémentaires suivantes :
Li –> aLi + bLj où a et b ∈ R
À chaque fois que a ≠ 1, il faut multiplier le déterminant par “1/a” pour contrer le fait que la ligne modifiée a été multipliée par une constante différente de 1 (voir propriété 6).
On calcule ensuite le déterminant en développant selon la première colonne.
Définition de la matrice inverse
La matrice inverse d’une matrice carrée A d’ordre n, si elle existe, est la matrice notée A-1 telle que AA -1 = A -1 A = In
Si det A ≠ 0, alors la matrice régulière A est dite inversible.
Si det A = 0, alors la matrice singulière A est dite non-inversible.
Matrice idempotente
Une matrice carrée A d’ordre n est idempotente si et seulement si A au carré = A
Matrice nilpotente
Une matrice carrée A d’ordre n est nilpotente si et seulement si il existe un entier positif k tel que Ak = Omxn.
On nomme indice de nilpotente, le plus petit entier positif k tel que Ak = Omxn.
Propriété 1 de la matrice inverse
Si on peut isoler une matrice appartenant à un produit matriciel, on doit multiplier de chaque côté par la matrice inverse de la matrice que l’on veut envoyer de l’autre côté de l’égalité.
Exemple :
AC = D => A-1 AC = A-1 D => C = A-1 D
EB = F => EBB-1 = FB-1 => E=FB-1
Propriété 2 de la matrice inverse
La matrice inverse d’une matrice régulière est unique.
Propriété 3 de la matrice inverse
det (A-1) = 1/det A
Propriété 5 de la matrice inverse
(A-1)-1 = A
Inverser et réinventer nous fait revenir à la matrice initiale.
Propriété 6 de la matrice inverse
(AB)-1 = B-1 A-1
Propriété 8 de la matrice inverse
(kA) -1 = 1/K A-1
Matrice échelonnée
Matrice présentant les caractéristiques suivantes :
1) Le pivot de chaque ligne est situé à droite du pivot de la ligne précédente.
2) Si la matrice possède des lignes nulles, elles doivent se situer sous les lignes non nulles.
Matrice échelonnée réduite
Matrice présentant les caractéristiques suivantes :
1) C’est une matrice échelonnée
2) Chaque pivot vaut obligatoirement 1.
3) Tous les éléments d’une colonne contenant un pivot sont nuls (excluant le pivot, bien sûr!).
Addition et soustraction d’une matrice
A + B = [aij + bij]mxn
et
A - B = [aij - bij]mxn
Terme scalaire
Un scalaire “k” est une constante, c’est-à-dire un nombre appartenant à l’ensemble des nombres réels R (K ∈ R)
Multiplication d’une matrice par un scalaire
A = [aij] mxn et k un scalaire, alors kA - [k x aij]mxn
Transposition d’une matrice
A = [aij] mxn, notée At = [aij] nxm, est obtenue en intervertissant les lignes et les colonnes de la matrices.
