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Biostatistiques > Bases en probabilité > Flashcards

Bases en probabilité Flashcards

1
Q

Définition dénombrement

A

règle de comptage pour un évènement indénombrable

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Q

Objectif lois de probabilité

A

associer une probabilité à une variable aléatoire

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3
Q

Définition expérience aléatoire

A

action produisant un résultat parmi un ensemble (E) de résultats possible et connu

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Q

Définition évènement

A

un ou plusieurs résultats de l’expérience

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5
Q

Évènement non ambiguë

A

un seul résultat possible = simple

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6
Q

Évènement ambiguë

A

plusieurs résultats possibles = composé

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7
Q

Notation ensemble de tous les évènements possibles

A

ε

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8
Q

Notation évènement impossible

A

Ø

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9
Q

Notation évènement certain

A

E

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10
Q

Notation évènement complémentaire

A

A barre

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11
Q

Définition probabilité

A

mesure numérique de la certitude d’occurence d’un évènement = quantification d’une certitude

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12
Q

Définition axiome

A

proposition que l’on accepte comme vraie tout au long d’un raisonnement

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13
Q

Formule P (A U B)

A

P(A) + P(B) - P (A ∩ B)

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14
Q

Formule P ( B / A )
= B sachant A

A

P ( B / A ) = (B ∩ A) / P(A)

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15
Q

Formule P (A ∩ B)

A

P ( A / B) x P(B)

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16
Q

Définition évènements indépendants

A

évènements dont la probabilité de réalisation de l’un ne dépend pas de la probabilité de réalisation de l’autre

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17
Q

Que doit vérifier un évènement indépendant

A
  • P (A/B) = P(A/Bbarre) = P(A)
  • P (B/A) = P(B/Abarre) = P(B)
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18
Q

Dans le cas d’évènements indépendant, quelle est la formule de P (A ∩ B)

A

P (A ∩ B) = P(A) x P(B)

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19
Q

Formule de Bayes

A

P(Ci|Fj) = [ P (Fj|Ci) x P(Ci) ] / Σ [ P(Fj|C) x P(C) ]

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20
Q

But formule de Bayes

A

exprime une probabilité conditionnelle de la cause Ci sachant le fait Fj

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21
Q

Définition cause en probabilité

A

tout évènement qui en recouvre un autre

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22
Q

Combien existe-t-il de méthode(s) pour déterminer une probabilité

A

2 :
- méthode non-universelle (Laplace)
- méthode basée sur l’expérience (Neyman)

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23
Q

Probabilité en cas d’équiprobabilité

A

P(R) = 1/N

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24
Q

Formule fréquence

A

F(R) = Nk / Nx
=> nombre d’expériences réalisant notre résultat / nombre d’expériences totales

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25
Q

Lorsque N tend vers l’infini, comment évolue F

A

elle se rapproche de la probabilité théorique

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26
Q

Définition prévalence

A

probabilité d’être malade / fréquence de la maladie dans la population

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27
Q

Formule prévalence

A

P(M) = (nbr malade) / (nbr individus total)

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28
Q

Définition sensibilité

A

probabilité qu’une personne malade soit positive au test = aptitude du test à détecter la maladie

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29
Q

Formule sensibilité

A

Se = P (T|M) = VP / (VP + FN)

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30
Q

Définition spécificité

A

probabilité qu’une personne saine soit négative au teste = aptitude du teste à ne détecter QUE les malades

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31
Q

Formule spécificité

A

Sp = (N|S) = VN / (VN + FP)

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32
Q

Idéalement, vers quoi tendent Se et Sp

A

vers 1 mais pas possible en même temps

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33
Q

Définition valeur prédictive négative

A

probabilité qu’une personne négative au test soit saine

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34
Q

Formule VPN

A

VPN = (S|N) = VN / (VN + FN)
= Sp x P(S) / Sp x P(S) + ( 1-Se) x P(M)

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35
Q

Définition valeur prédictive positive

A

probabilité qu’une personne positive au test soit malade

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36
Q

Formule VPP

A

VPP = (M|T) = VP / (VP + FP)
= Se x P(M) / Se x P(M) + (1-Sp) x P(S)

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37
Q

Définition efficience

A

probabilité de conclure juste ‘après les résultats d’un test

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38
Q

Formule efficience

A

Eff = P(VP) + P(VN)
= Se x P(M) + Sp x P(S)
= P (T ∩ M) + P (N ∩ S)

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39
Q

Objectif indice de Youden

A

renseigne sur le caractère utile/informatif du test

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40
Q

Formule indice de Youden

A

Y = Se + Sp - 1

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41
Q

Dans quel intervalle de Y le test est-il informatif ?

A

Y ∈ [0 ; 1]

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42
Q

Définition intrinsèque

A

ne changent pas selon le contexte d’utilisation du test

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43
Q

Définition extrinsèque

A

changent selon le contexte d’utilisation du test

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44
Q

Se et Sp sont

A

intrinsèques

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45
Q

VPN et VPP sont

A

extrinsèques

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46
Q

Taux de FP

A

1 - Sp

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47
Q

Taux de VP

A

Se

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48
Q

Taux de FN

A

1 - Se

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49
Q

Taux de VN

A

Sp

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50
Q

Test en série caractéristiques

A
  • positif si A+ et B+
  • négatif si A- ou B-
  • Se diminue : on détecte moins de positifs
  • Sp augmente : on détecte moins de FP
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51
Q

Test en parallèle caractéristiques

A
  • positif si A+ ou B+
  • négatif si A- et B-
  • Se augmente : on détecte plus de positif
  • Sp diminue : on détecte plus de FP
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52
Q

Compromis Se/Sp

A

Quand Se augmente, Sp diminue et inversement

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53
Q

Compromis pour les maladies graves

A
  • curable avec FP non traumatisant = Se (+VP, -FN)
  • curable avec FP et FN à lourdes conséquences = eff
  • incurable = Sp (+VN, -FP)
  • traitement = VPP
54
Q

Conditions à l’utilisation du dénombrement

A
  • équiprobabilité
  • comptage direct impossible
55
Q

formule nombre total de résultats possibles

A

S = Π ni

avec ni : résultats à une épreuve

56
Q

définition permutation

A

mise en ordre des objets

57
Q

formule permutation

A

N! = Π i

58
Q

0! =

A

1

59
Q

Formule permutation avec répétition

A

N! / Σnk!

nk = famille d’objets identiques

60
Q

Définition arrangement

A

Soit N objets distincts : on en choisit r et on les range

61
Q

Formule arrangement

A

A = N! / (N-r)!

62
Q

Définition combinaison

A

Soit N objets distincts : on en choisit sans ordre précis

63
Q

Formule combinaison

A

C = N! / r! x (N-r)!

64
Q

Définition variable aléatoire X

A

association d’une valeur numérique réelle à un évenement simple

65
Q

À chaque évènement A est associé …

A

un ensemble de valeurs telles que chacune de ces valeurs correspondent à un évènement simple

66
Q

Que fait la Loi de probabilité L ?

A

Elle associe une probabilité à chaque valeur que prend la VA X

67
Q

Définition Loi de distribution

A

fonction qui associe une valeur de la variable aléatoire à une probabilité

68
Q

Définition fonction de répartition

A

fonction qui représente un tableau d’effectif cumulés croissant

69
Q

Comment est définie la Loi de distribution ?

A

par l’ensemble des couples (xi ; pi)
avec xi : valeur numérique réelle
pi : probabilité de xi

70
Q

Comment est définie la fonction de répartition ?

A

par l’ensemble des couples (xi ; F(xi) )
avec xi : valeur numérique réelle
F(xi) : Σ pi

71
Q

Si E est un ensemble continu d’événements, comment est définie la loi de distribution ?

A

par une fonction de densité f(x) telle que f(x)dx = P( a < X < b )

72
Q

Quelle est la probabilité de tomber sur un point précis sur une courbe ?

A

nulle

73
Q

Sur quel graphique est visualisable la fonction de densité ?

A

un histogramme

74
Q

Quel est le moment d’ordre 1?

A

l’espérance E(X)

75
Q

Quel est le moment d’ordre 2 ?

A

La variance var

76
Q

A quoi correspond la racine carré du moment centré d’ordre 2 ?

A

à l’écart type : σ = √(var)

77
Q

Formule moment de distribution pour une VA discrète

A

E(X) = μ1 = Σ pi x (xi)^2

78
Q

Formule moment de distribution pour une VA continue

A

μn = ∫ (x^n) x f(x)dx

sur [-∞ ; + ∞]

79
Q

Formule moments centrés pour une VA discrète

A

μ cn = Σ pi x (xi -μ1 )^n

80
Q

Formule moments centrés pour une VA continu

A

μn = ∫ (x-μn)^n x f(x)dx

81
Q

A quoi correspond μ

A

à l’espérance

82
Q

Formule coefficient d’asymétrie et d’aplatissement

A

Y1 = μc3/ σ3
Y2 = μc4 /σ4

83
Q

Propriétés E(X)

A
  • E(a) = a
  • E(aX + by) = aE(X) + bE(Y)
  • E(XY) = E(X)xE(Y)
84
Q

Propriétés var(X)

A
  • var(a) = 0
  • var(aX + bX) = a^2.var(X) + b^2.var(Y) + 2abcov(X,Y)
85
Q

Qu’est-ce que cov ?

A

c’est un indicateur de liaison entre 2 VA, il est dépendant des unités

86
Q

Qu’est-ce que la corrélation?

A

c’est un indicateur de liaison entre 2 VA, il est indépendant des unités

87
Q

Formule corrélation ρ

A

ρ = cov (XY)/σX.σY

88
Q

Formule cov

A

cov(X,Y) = E(XY) - E(X).E(Y)

89
Q

A quoi sert l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

A

à s’assurer que l’estimation d’une moyenne converge vers la moyenne quand on augmente la taille de l’échantillon

90
Q

Comment s’exprime l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

A

P( /X-μ/ ⩾ λσ) ≤ 1/λ^2

λ : constante
μ : espérance de la VA
σ : écart-type de la VA

91
Q

Variable aléatoire de bernoulli

A

expérience aléatoire à deux résultats Ra et Rb auxquels on associe respectivement 0 et 1

92
Q

Quelle est la probabilité d’obtenir Ra ?

A

P(Ra) = L(0) = q = 1-p

93
Q

Quelle est la probabilité d’obtenir Rb ?

A

P(Rb) = L(1) = p = 1-q

94
Q

Qu’est-ce qu’une densité uniforme U(X) ?

A

une densité constante sur [0 ; 1]

95
Q

À quoi sert une densité uniforme

A

elle sert a produire des distributions de nombres aléatoires suivant une VAX lorsqu’on connait la fonction de répartition inverse (Fx^-1) de sorte à ce que X = (Fx^-1) x U

96
Q

Définition variable de survie exponentielle

A

expérience aléatoire consistant à observer la survie d’un atome radioactif. On a un ensemble E infini non dénombrable

97
Q

VA continue (S) d’une variable de survie exponentielle

A

elle associe à chaque survie une valeur s

98
Q

à quoi correspond s pour une VA continue (S)

A

à la durée de survie en unités u depuis une origine t0

99
Q

Quelle est la probabilité de désintégration

A

P = k . dt
=> constante

100
Q

P(s) =

A

P(s) = ce^-ks

101
Q

dP/P =

A

dP/P = -kds

102
Q

Fonction de répartition F(s)

A

F(s) = 1- (c/k)e-ks

103
Q

Variable centrée

A

VA dont on a enlevé l’espérance
Xc = X - E(X)

104
Q

Variable centrée réduite

A

VA centrée, divisée par l’écart type de VA
Xcr = Xc / σx
= (X-E(X)) / σx

105
Q

Principe loi de Bernoulli (=loi binomiale)

A

expérience consistant à répéter N fois une épreuve dont le résultat est binaire

106
Q

Que donne la loi de Bernoulli ?

A

une probabilité de k succès de n épreuves

107
Q

Qu’est-ce que B(k+1)

A

c’est une formule de récurrence
> si on connait B(k) il est plu facile de la calculer

108
Q

Qu’arrive-t-il lorsqu’on change la variable aléatoire k par F=k/N

A

l’espérance et la variance changent

109
Q

A quoi arrive-t-on lorsqu’on applique l’inégalité de Tchebychev à F

A

on arrive à la loi des grands nombres

110
Q

Principe Loi des Grands Nombres

A

> plus la taille de l’échantillon augmente, plus la fréquence observée se stabilise (vers p)
plus on augmente le nombre d’expériences élémentaires, plus on connait la probabilité car l’écart-type diminue

111
Q

Principe de la loi hypergéométrique

A

une urne contenant N boules :
n1 = rouge
n2 = bleues
> tirage sans remise

112
Q

Quel genre de tirage fait-on pour une loi hypergéométrique ?

A

un tirage exhaustif : on vient épuiser la population

113
Q

Quelle loi suit-on pour un tirage avec remise

A

une loi binomiale

114
Q

Dans le cadre d’une loi hypergéométrique, vers quoi tend-t-on lorsque N devient très grand ?

A

vers une loi binomiale

115
Q

Qu’est-ce que la loi hypergéométrique par rapport à la loi binomiale ?

A

son analogue

116
Q

Principe de la loi de poisson

A

très grand nombre d’essais avec peu de chances de succès
> N tend vers l’infini et p tend vers 0

117
Q

Vers quoi tend la loi de Poisson lorsque μ augmente

A

vers une loi de Gauss de moyenne et de variance

118
Q

Quelles sont les lois de probabilités des variables discrètes ?

A
  • Loi de Bernoulli
  • Loi hypergéométrique
  • Loi de Poisson
119
Q

Qu’est-ce que la loi de Gauss

A
  • une limite pour d’autres lois de probabilités (= loi de poisson, loi binomiale)
  • une fonction de densité symétrique en forme de cloche
120
Q

Quels paramètres admet la loi de Gauss

A
  • la moyenne μ donne la position de la cloche sur l’axe des abscisses
  • l’écart-type σ donne la largeur de la cloche
121
Q

Pour quelles variables s’applique la loi de Gauss

A

pour des variables aléatoires continues
ex. variables utilisées pour des expériences de mesure ou des phénomènes aléatoires à grand nombre de cause additives indépendantes

122
Q

Quand est utilisée la Loi de Gauss centrée réduite ?

A

sur les ordinateurs
=> tabulée avec σ=1 et μ=0

123
Q

Loi de Galton

A

> décrit des phénomènes à grand nombre de causes multiplicatives indépendantes
caractérisée par une faible moyenne et une grande dispersion
valeurs supérieures à 0

124
Q

Pour quelles valeurs de v la loi de Student converge-t-elle vers une Loi de Gauss

A

pour v [30:50]

125
Q

A quoi sert la loi de student

A

à l’estimation et la comparaison de moyennes avec de petits échantillons

126
Q

Variable aléatoire de la Loi de Student

A

(v+1) qui suit une loi normale Xi (i compris entre 0 et v)
avec μ = 0 et même σ

127
Q

Loi de Pearson

A
  • densité uniondale qui dépend du nombre de degrés de liberté
  • converge vers Gauss lorsque v croit
128
Q

A quoi sert la loi de Pearson ?

A

à la comparaison de proportions et à l’estimation/comparaison de variances

129
Q

Variable aléatoire de la Loi de Pearson

A

VA à la loi normale Xi (i allant de 1 à v)
σ = 1 et μ = 0
> centrées réduites

130
Q

Loi de Snedecor

A
  • unimodale
  • dissymétrique
131
Q
A

Biostatistiques (2 decks)

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