Bases en probabilité Flashcards
Définition dénombrement
règle de comptage pour un évènement indénombrable
Objectif lois de probabilité
associer une probabilité à une variable aléatoire
Définition expérience aléatoire
action produisant un résultat parmi un ensemble (E) de résultats possible et connu
Définition évènement
un ou plusieurs résultats de l’expérience
Évènement non ambiguë
un seul résultat possible = simple
Évènement ambiguë
plusieurs résultats possibles = composé
Notation ensemble de tous les évènements possibles
ε
Notation évènement impossible
Ø
Notation évènement certain
E
Notation évènement complémentaire
A barre
Définition probabilité
mesure numérique de la certitude d’occurence d’un évènement = quantification d’une certitude
Définition axiome
proposition que l’on accepte comme vraie tout au long d’un raisonnement
Formule P (A U B)
P(A) + P(B) - P (A ∩ B)
Formule P ( B / A )
= B sachant A
P ( B / A ) = (B ∩ A) / P(A)
Formule P (A ∩ B)
P ( A / B) x P(B)
Définition évènements indépendants
évènements dont la probabilité de réalisation de l’un ne dépend pas de la probabilité de réalisation de l’autre
Que doit vérifier un évènement indépendant
- P (A/B) = P(A/Bbarre) = P(A)
- P (B/A) = P(B/Abarre) = P(B)
Dans le cas d’évènements indépendant, quelle est la formule de P (A ∩ B)
P (A ∩ B) = P(A) x P(B)
Formule de Bayes
P(Ci|Fj) = [ P (Fj|Ci) x P(Ci) ] / Σ [ P(Fj|C) x P(C) ]
But formule de Bayes
exprime une probabilité conditionnelle de la cause Ci sachant le fait Fj
Définition cause en probabilité
tout évènement qui en recouvre un autre
Combien existe-t-il de méthode(s) pour déterminer une probabilité
2 :
- méthode non-universelle (Laplace)
- méthode basée sur l’expérience (Neyman)
Probabilité en cas d’équiprobabilité
P(R) = 1/N
Formule fréquence
F(R) = Nk / Nx
=> nombre d’expériences réalisant notre résultat / nombre d’expériences totales
Lorsque N tend vers l’infini, comment évolue F
elle se rapproche de la probabilité théorique
Définition prévalence
probabilité d’être malade / fréquence de la maladie dans la population
Formule prévalence
P(M) = (nbr malade) / (nbr individus total)
Définition sensibilité
probabilité qu’une personne malade soit positive au test = aptitude du test à détecter la maladie
Formule sensibilité
Se = P (T|M) = VP / (VP + FN)
Définition spécificité
probabilité qu’une personne saine soit négative au teste = aptitude du teste à ne détecter QUE les malades
Formule spécificité
Sp = (N|S) = VN / (VN + FP)
Idéalement, vers quoi tendent Se et Sp
vers 1 mais pas possible en même temps
Définition valeur prédictive négative
probabilité qu’une personne négative au test soit saine
Formule VPN
VPN = (S|N) = VN / (VN + FN)
= Sp x P(S) / Sp x P(S) + ( 1-Se) x P(M)
Définition valeur prédictive positive
probabilité qu’une personne positive au test soit malade
Formule VPP
VPP = (M|T) = VP / (VP + FP)
= Se x P(M) / Se x P(M) + (1-Sp) x P(S)
Définition efficience
probabilité de conclure juste ‘après les résultats d’un test
Formule efficience
Eff = P(VP) + P(VN)
= Se x P(M) + Sp x P(S)
= P (T ∩ M) + P (N ∩ S)
Objectif indice de Youden
renseigne sur le caractère utile/informatif du test
Formule indice de Youden
Y = Se + Sp - 1
Dans quel intervalle de Y le test est-il informatif ?
Y ∈ [0 ; 1]
Définition intrinsèque
ne changent pas selon le contexte d’utilisation du test
Définition extrinsèque
changent selon le contexte d’utilisation du test
Se et Sp sont
intrinsèques
VPN et VPP sont
extrinsèques
Taux de FP
1 - Sp
Taux de VP
Se
Taux de FN
1 - Se
Taux de VN
Sp
Test en série caractéristiques
- positif si A+ et B+
- négatif si A- ou B-
- Se diminue : on détecte moins de positifs
- Sp augmente : on détecte moins de FP
Test en parallèle caractéristiques
- positif si A+ ou B+
- négatif si A- et B-
- Se augmente : on détecte plus de positif
- Sp diminue : on détecte plus de FP
Compromis Se/Sp
Quand Se augmente, Sp diminue et inversement
Compromis pour les maladies graves
- curable avec FP non traumatisant = Se (+VP, -FN)
- curable avec FP et FN à lourdes conséquences = eff
- incurable = Sp (+VN, -FP)
- traitement = VPP
Conditions à l’utilisation du dénombrement
- équiprobabilité
- comptage direct impossible
formule nombre total de résultats possibles
S = Π ni
avec ni : résultats à une épreuve
définition permutation
mise en ordre des objets
formule permutation
N! = Π i
0! =
1
Formule permutation avec répétition
N! / Σnk!
nk = famille d’objets identiques
Définition arrangement
Soit N objets distincts : on en choisit r et on les range
Formule arrangement
A = N! / (N-r)!
Définition combinaison
Soit N objets distincts : on en choisit sans ordre précis
Formule combinaison
C = N! / r! x (N-r)!
Définition variable aléatoire X
association d’une valeur numérique réelle à un évenement simple
À chaque évènement A est associé …
un ensemble de valeurs telles que chacune de ces valeurs correspondent à un évènement simple
Que fait la Loi de probabilité L ?
Elle associe une probabilité à chaque valeur que prend la VA X
Définition Loi de distribution
fonction qui associe une valeur de la variable aléatoire à une probabilité
Définition fonction de répartition
fonction qui représente un tableau d’effectif cumulés croissant
Comment est définie la Loi de distribution ?
par l’ensemble des couples (xi ; pi)
avec xi : valeur numérique réelle
pi : probabilité de xi
Comment est définie la fonction de répartition ?
par l’ensemble des couples (xi ; F(xi) )
avec xi : valeur numérique réelle
F(xi) : Σ pi
Si E est un ensemble continu d’événements, comment est définie la loi de distribution ?
par une fonction de densité f(x) telle que f(x)dx = P( a < X < b )
Quelle est la probabilité de tomber sur un point précis sur une courbe ?
nulle
Sur quel graphique est visualisable la fonction de densité ?
un histogramme
Quel est le moment d’ordre 1?
l’espérance E(X)
Quel est le moment d’ordre 2 ?
La variance var
A quoi correspond la racine carré du moment centré d’ordre 2 ?
à l’écart type : σ = √(var)
Formule moment de distribution pour une VA discrète
E(X) = μ1 = Σ pi x (xi)^2
Formule moment de distribution pour une VA continue
μn = ∫ (x^n) x f(x)dx
sur [-∞ ; + ∞]
Formule moments centrés pour une VA discrète
μ cn = Σ pi x (xi -μ1 )^n
Formule moments centrés pour une VA continu
μn = ∫ (x-μn)^n x f(x)dx
A quoi correspond μ
à l’espérance
Formule coefficient d’asymétrie et d’aplatissement
Y1 = μc3/ σ3
Y2 = μc4 /σ4
Propriétés E(X)
- E(a) = a
- E(aX + by) = aE(X) + bE(Y)
- E(XY) = E(X)xE(Y)
Propriétés var(X)
- var(a) = 0
- var(aX + bX) = a^2.var(X) + b^2.var(Y) + 2abcov(X,Y)
Qu’est-ce que cov ?
c’est un indicateur de liaison entre 2 VA, il est dépendant des unités
Qu’est-ce que la corrélation?
c’est un indicateur de liaison entre 2 VA, il est indépendant des unités
Formule corrélation ρ
ρ = cov (XY)/σX.σY
Formule cov
cov(X,Y) = E(XY) - E(X).E(Y)
A quoi sert l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
à s’assurer que l’estimation d’une moyenne converge vers la moyenne quand on augmente la taille de l’échantillon
Comment s’exprime l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
P( /X-μ/ ⩾ λσ) ≤ 1/λ^2
λ : constante
μ : espérance de la VA
σ : écart-type de la VA
Variable aléatoire de bernoulli
expérience aléatoire à deux résultats Ra et Rb auxquels on associe respectivement 0 et 1
Quelle est la probabilité d’obtenir Ra ?
P(Ra) = L(0) = q = 1-p
Quelle est la probabilité d’obtenir Rb ?
P(Rb) = L(1) = p = 1-q
Qu’est-ce qu’une densité uniforme U(X) ?
une densité constante sur [0 ; 1]
À quoi sert une densité uniforme
elle sert a produire des distributions de nombres aléatoires suivant une VAX lorsqu’on connait la fonction de répartition inverse (Fx^-1) de sorte à ce que X = (Fx^-1) x U
Définition variable de survie exponentielle
expérience aléatoire consistant à observer la survie d’un atome radioactif. On a un ensemble E infini non dénombrable
VA continue (S) d’une variable de survie exponentielle
elle associe à chaque survie une valeur s
à quoi correspond s pour une VA continue (S)
à la durée de survie en unités u depuis une origine t0
Quelle est la probabilité de désintégration
P = k . dt
=> constante
P(s) =
P(s) = ce^-ks
dP/P =
dP/P = -kds
Fonction de répartition F(s)
F(s) = 1- (c/k)e-ks
Variable centrée
VA dont on a enlevé l’espérance
Xc = X - E(X)
Variable centrée réduite
VA centrée, divisée par l’écart type de VA
Xcr = Xc / σx
= (X-E(X)) / σx
Principe loi de Bernoulli (=loi binomiale)
expérience consistant à répéter N fois une épreuve dont le résultat est binaire
Que donne la loi de Bernoulli ?
une probabilité de k succès de n épreuves
Qu’est-ce que B(k+1)
c’est une formule de récurrence
> si on connait B(k) il est plu facile de la calculer
Qu’arrive-t-il lorsqu’on change la variable aléatoire k par F=k/N
l’espérance et la variance changent
A quoi arrive-t-on lorsqu’on applique l’inégalité de Tchebychev à F
on arrive à la loi des grands nombres
Principe Loi des Grands Nombres
> plus la taille de l’échantillon augmente, plus la fréquence observée se stabilise (vers p)
plus on augmente le nombre d’expériences élémentaires, plus on connait la probabilité car l’écart-type diminue
Principe de la loi hypergéométrique
une urne contenant N boules :
n1 = rouge
n2 = bleues
> tirage sans remise
Quel genre de tirage fait-on pour une loi hypergéométrique ?
un tirage exhaustif : on vient épuiser la population
Quelle loi suit-on pour un tirage avec remise
une loi binomiale
Dans le cadre d’une loi hypergéométrique, vers quoi tend-t-on lorsque N devient très grand ?
vers une loi binomiale
Qu’est-ce que la loi hypergéométrique par rapport à la loi binomiale ?
son analogue
Principe de la loi de poisson
très grand nombre d’essais avec peu de chances de succès
> N tend vers l’infini et p tend vers 0
Vers quoi tend la loi de Poisson lorsque μ augmente
vers une loi de Gauss de moyenne et de variance
Quelles sont les lois de probabilités des variables discrètes ?
- Loi de Bernoulli
- Loi hypergéométrique
- Loi de Poisson
Qu’est-ce que la loi de Gauss
- une limite pour d’autres lois de probabilités (= loi de poisson, loi binomiale)
- une fonction de densité symétrique en forme de cloche
Quels paramètres admet la loi de Gauss
- la moyenne μ donne la position de la cloche sur l’axe des abscisses
- l’écart-type σ donne la largeur de la cloche
Pour quelles variables s’applique la loi de Gauss
pour des variables aléatoires continues
ex. variables utilisées pour des expériences de mesure ou des phénomènes aléatoires à grand nombre de cause additives indépendantes
Quand est utilisée la Loi de Gauss centrée réduite ?
sur les ordinateurs
=> tabulée avec σ=1 et μ=0
Loi de Galton
> décrit des phénomènes à grand nombre de causes multiplicatives indépendantes
caractérisée par une faible moyenne et une grande dispersion
valeurs supérieures à 0
Pour quelles valeurs de v la loi de Student converge-t-elle vers une Loi de Gauss
pour v [30:50]
A quoi sert la loi de student
à l’estimation et la comparaison de moyennes avec de petits échantillons
Variable aléatoire de la Loi de Student
(v+1) qui suit une loi normale Xi (i compris entre 0 et v)
avec μ = 0 et même σ
Loi de Pearson
- densité uniondale qui dépend du nombre de degrés de liberté
- converge vers Gauss lorsque v croit
A quoi sert la loi de Pearson ?
à la comparaison de proportions et à l’estimation/comparaison de variances
Variable aléatoire de la Loi de Pearson
VA à la loi normale Xi (i allant de 1 à v)
σ = 1 et μ = 0
> centrées réduites
Loi de Snedecor
- unimodale
- dissymétrique
