Bac Flashcards
Navier Stokes
Claude-Louis Navier (French), George Gabriel Stokes (Irish): 1822
Die Navier-Stokes-Gleichungen regeln die Strömungsgeschwindigkeit, den Druck und die Kräfte, die auf Flüssigkeiten und Gase wirken, und erklären sowohl ruhige als auch chaotische Strömungsformen.
Die Navier-Stokes-Gleichungen bestehen aus einem System partieller Differentialgleichungen. Sie beschreiben die Erhaltung von Masse und Impuls.
Massenerhaltung: Flüssigkeit bleibt im System; es gibt keine Verluste.
Impulserhaltung (Momentum Equation): Die Beschleunigung der Flüssigkeit wird durch Druck, Viskosität und externe Kräfte bestimmt.
Incompressibility: beschreibt eine Eigenschaft von Flüssigkeiten oder Gasen, bei denen sich die Dichte nicht ändert, während sie sich bewegen. Mathematisch ausgedrückt bedeutet das:
CFD verwendet numerische Methoden, um die Navier-Stokes-Gleichungen zu lösen, da diese analytisch oft nicht lösbar sind, insbesondere bei komplexen Strömungen (Turbulenzen). In CFD werden die Gleichungen auf ein Gitter im Raum aufgeteilt und mit numerischen Algorithmen berechnet. So kann man das Verhalten von Flüssigkeiten und Gasen in komplexen Umgebungen simulieren.
Diskretisierung: Die kontinuierlichen Gleichungen werden in eine diskrete Form (z.B. Finite-Differenzen, Finite-Volumen) umgewandelt.
Numerische Lösung: Die Gleichungen werden schrittweise gelöst, um Strömungen über Zeit zu simulieren.
Eine numerische Methode ist eine Technik, um mathematische Probleme durch Näherungen zu lösen, anstatt eine exakte Lösung zu finden. Sie wird oft verwendet, wenn eine analytische Lösung (also eine genaue mathematische Formel) schwer oder unmöglich zu bekommen ist.
Analytische Methode:
Exakte Lösung: Du bekommst eine genaue Formel, die das Problem löst.
Beispiel: Wenn du die Gleichung 𝑥+2=5 löst, bekommst du 𝑥=3 – das ist eine exakte, analytische Lösung.
Funktioniert bei einfachen oder speziellen Problemen gut.
Numerische Methode:
Näherung: Du bekommst eine Lösung, die in der Nähe der exakten Antwort liegt, aber nicht perfekt ist.
Beispiel: Stell dir vor, du willst den Wert von Wurzel2 wissen. Du könntest eine numerische Methode verwenden, um eine Näherung wie 1,414 zu bekommen. Es ist nicht exakt, aber nahe genug.
Wird für komplizierte oder unlösbare Probleme verwendet.
Unterschied:
Analytisch: Du erhältst eine präzise Lösung als Formel.
Numerisch: Du näherst dich der Lösung durch wiederholte Berechnungen, besonders bei komplexen oder nicht lösbaren Gleichungen.
Partielle Ableitung?
Eine partielle Ableitung ist eine Art von Ableitung, die sich mit Funktionen befasst, die von mehreren Variablen abhängen, und beschreibt, wie sich die Funktion ändert, wenn nur eine dieser Variablen geändert wird, während die anderen konstant bleiben.
Einfaches Beispiel:
Stell dir vor, du hast eine Funktion, die die Höhe eines Hügels beschreibt:
𝑓(𝑥,𝑦), wobei 𝑥 die Ost-West-Position ist und 𝑦 die Nord-Süd-Position.
Wenn du jetzt wissen möchtest, wie schnell die Höhe sich ändert, wenn du nur nach Osten (x-Richtung) gehst, ohne in die Nord-Süd-Richtung (y-Richtung) zu gehen, berechnest du die partielle Ableitung nach
𝑥: ∂𝑓/∂𝑥
Umgekehrt, wenn du wissen willst, wie sich die Höhe ändert, wenn du nur nach Norden (y-Richtung) gehst, berechnest du die partielle Ableitung nach
𝑦: ∂𝑓/∂𝑦
Nabla Operator
Der Nabla-Operator (∇), auch Del-Operator genannt, ist ein mathematisches Symbol, das in der Vektoranalysis verwendet wird, um verschiedene Ableitungen in mehreren Dimensionen zu berechnen. Er beschreibt, wie eine Funktion oder ein Feld (z.B. Temperatur, Geschwindigkeit) sich im Raum ändert.
Er kann entweder den Gradient, die Divergenz oder die Rotation angeben
Gradient (∇f): Zeigt die Richtung des steilsten Anstiegs einer Funktion an.
Divergenz (∇·f): Misst, wie viel von einer Größe (z.B. Fluid) in einen Punkt hinein- oder herausströmt.
Rotation (∇×f): Zeigt die Drehung oder Wirbelbewegung eines Vektorfeldes an.
Numerische Dissipation
Entsteht durch:
Diskretisierung: Die kontinuierlichen Gleichungen werden in diskrete Form umgewandelt (z.B. durch Finite-Differenzen oder Finite-Volumen-Methoden). Diese Umwandlung kann kleine Details der Strömung verlieren.
Numerische Stabilisatoren: Um die Berechnungen stabil zu halten, werden oft zusätzliche künstliche Dämpfungseffekte eingeführt. Diese Dämpfung kann dazu führen, dass Energie und feine Details verloren gehen.
Gittergröße: Ein grobes Gitter kann nicht alle feinen Strukturen der Strömung erfassen, was zu einem Verlust an Genauigkeit und Detail führt.
Gegenmaßnahmen:
AMR (Adaptive Mesh Raffinement)
Höhere Res (Feineres Gitter)
Vector Felder
Stellt die Richtung und Stärke einer Größe (wie Geschwindigkeit) an jedem Punkt in einem Raum dar. Zum Beispiel zeigt ein Vektorfeld in einem Windfeld, wie stark der Wind weht und in welche Richtung.
Divergence
Divergence und Curl sind zwei Möglichkeiten, um Vektorfelder zu analysieren und zu verstehen, wie sich Dinge in einem Raum verhalten.
Misst, wie stark sich etwas ausbreitet oder zusammenzieht.
Curl
Divergence und Curl sind zwei Möglichkeiten, um Vektorfelder zu analysieren und zu verstehen, wie sich Dinge in einem Raum verhalten.
Misst, wie stark und in welche Richtung sich etwas dreht oder wirbelt.
Boundary Conditions
Boundary Conditions geben vor, wie sich die Strömung an den Rändern des Simulationsgebiets verhalten soll, und sind entscheidend für die Genauigkeit der Simulation.
Dirichlet-Bedingung: Bestimmt einen festen Wert für eine Variable an der Grenze.
Beispiel: Die Temperatur an einer Wand ist immer 100°C.
Neumann-Bedingung: Gibt die Änderung oder den Fluss der Variable an der Grenze an.
Beispiel: Der Wärmestrom durch eine Wand ist konstant.
Robin-Bedingung: Eine Kombination aus Dirichlet- und Neumann-Bedingungen, die sowohl den Wert als auch den Fluss der Variable an der Grenze festlegt.
Beispiel: Der Wärmefluss an einer Wand ist abhängig von der Temperaturdifferenz zur Umgebung.
Die Cauchy-Bedingung spezifiziert an den Grenzen eines Simulationsgebiets sowohl den Wert als auch die Änderungsrate einer Größe und ist nützlich, wenn eine detailliertere Beschreibung der Randbedingungen erforderlich ist.
Unterschied zu anderen Bedingungen:
Dirichlet-Bedingung: Legt nur den Wert der Größe fest.
Neumann-Bedingung: Legt nur die Änderung oder den Fluss der Größe fest.
Cauchy-Bedingung: Legt sowohl den Wert als auch die Änderung (Ableitung) fest.
Euler und Lagrange
Euler-Methode und Lagrange-Methode sind zwei Ansätze zur Analyse von Strömungen und Bewegungen in der Fluiddynamik:
Euler:
Ansatz: Betrachte die Strömung aus einer festen Raumansicht (fester Ort im Raum).
Fokus: Untersucht, wie sich die Strömungsparameter (wie Geschwindigkeit) an festen Punkten im Raum ändern.
Fester Raumansatz, verfolgt, wie sich Strömungen an festen Punkten ändern.
Lagrange:
Ansatz: Betrachte die Strömung aus der Sicht eines sich bewegenden Teilchens (Teilchenverfolgung).
Fokus: Untersucht, wie sich die Strömungsparameter für ein einzelnes, sich bewegendes Teilchen ändern.
Bewegender Teilchenansatz, verfolgt, wie sich Partikel in der Strömung bewegen und ändern.
FDM
Beschreibung: Diskretisiert die Differentialgleichungen auf einem regelmäßigen Gitter, indem sie Ableitungen durch Differenzenquotienten (Eine Methode, um herauszufinden, wie schnell sich etwas wie Temperatur oder Geschwindigkeit ändert, indem du die Unterschiede in den Werten an benachbarten Punkten verwendest) ersetzt.
Unterschiede: Einfach zu implementieren, aber nur auf regelmäßige Gitter anwendbar. Gut für Probleme mit einfachen Geometrien.
Ersetzt die Ableitungen durch die Differenzenquotienten, kein komplexes Integralverständnis und so
FDM: Einfach, regelmäßige Gitter, gut für einfache Geometrien.
FVM
Beschreibung: Diskretisiert das Rechengebiet in Kontrollvolumen und berechnet die Flüsse durch die Zelloberflächen. Erhält die physikalischen Gesetze wie die** Erhaltung von Masse, Impuls und Energie**.
Unterschiede: Flexibel bei der Behandlung von unregelmäßigen Gitterstrukturen und komplexen Geometrien. Besonders gut geeignet für die Simulation von Fluiden und Festkörperinteraktionen.
FVM: Flexibel, geeignet für** komplexe Geometrien** und Flüsse.
FEM
Beschreibung: Unterteilt das Gebiet in kleinere, einfachere Elemente und löst die Differentialgleichungen über diese Elemente hinweg. Verwendet Gewichtungs- und Approximationsmethoden.
Unterschiede: Sehr flexibel und anpassungsfähig an komplexe Geometrien und Materialeigenschaften. Oft in der Strukturmechanik und für nichtlineare Probleme verwendet.
FEM: Sehr anpassungsfähig, ideal für komplexe Materialverhalten und Geometrien.
LBM
Beschreibung: Nutzt ein Gitter, auf dem die Bewegung von Partikeln simuliert wird. Es basiert auf der statistischen Mechanik und modelliert die Fluiddynamik durch Partikelkollisionen und -bewegungen.
Unterschiede: Besonders gut für komplexe Grenzflächen und Mehrphasenströmungen geeignet. Einfache Implementierung für komplexe Geometrien, jedoch oft rechenintensiv.
LBM: Nutzt Partikeldynamik, gut für Mehrphasen- und komplexe Grenzflächen.
SPH
Beschreibung: Ein Lagrange-basiertes Partikelsystem, das Flüssigkeiten und Gase durch eine Sammlung von Partikeln modelliert, die miteinander interagieren.
Unterschiede: Ideal für die Simulation von freien Oberflächen und Mehrphasenströmungen. Flexibel bei der Handhabung von deformierbaren und komplexen Geometrien, jedoch kann es zu höherem Rechenaufwand kommen.
SPH: Partikel-basierte Methode, gut für freie Oberflächen und deformierbare Geometrien.
Wesentliche Unterschiede der Methoden?
Im Grunde Unterscheiden sich die Methoden anhand ihrer Aufteilung der Domain in verschiedene Gitter und wie welche Parameter berechnet werden (Grid oder Particles)
FDM: Regelmäßiges Gitter, direkte Differenzen.
FVM: Kontrollvolumen, flexible Gitter, Erhaltungsprinzipien.
FEM: Kleine Elemente, flexible Gitter, Approximationsmethoden.
LBM: Regelmäßiges Gitter, Partikeldynamik.
SPH: Partikelbasiert, keine feste Gitterstruktur.
