Aula 02: Diagramas Lógicos Flashcards
Como transformar sentenças abertas em proposições?
1) Atribuir um valor para a variável: “x+10=50” é uma sentença aberta e “20+10=50” é uma sentença fechada (Falsa)
2) Usar quantificadores: Os quantificadores são palavras e/ou expressões que, ao serem usados em sentenças abertas, permitem transformá-las em proposições. Essas proposições passam a ser chamadas de proposições quantificadas. Existem dois tipos: o Quantificador Universal e o Existencial
Transformação de sentenças abertas em proposições com o Quantificador Universal - ∀
- ∀ = para todo, para qualquer,
qualquer que seja - ∀𝒙, 𝑥 + 10 = 50 (qualquer que seja 𝒙, x mais dez é igual a cinquenta): agora é possível atribuir um valor lógico para a proposição quantificada (falso)
- ∀𝒙, 𝑥 ≤ π (qualquer que seja x, x é menor ou igual a pi)
- Todo homem é careca (Substituímos “aquele” na expressão original pelo quantificador universal “todo”)
Transformação de sentenças abertas em proposições com o Quantificador Existencial - ∃
- ∃: existe, algum, pelo menos um, há
- ∃𝒙 ∶ 𝑥 + 10 = 50 (existe 𝒙 tal que 𝑥 mais dez é igual a cinquenta): de fato, existe (40)! Proposição quantificada de valor verdadeiro
- ∃𝒙 ∶ 𝑥 ≤ π (existe 𝒙 tal que 𝑥 é menor ou igual a pi)
- Algum homem é careca (“aquele” substituído pelo quantificador existencial “algum”)
Quais são as proposições fundamentais?
- Proposição Universal Afirmativa: É toda proposição iniciada por um quantificador universal e cujo predicado é uma afirmação.
- Todo marinheiro é pescador.
- Toda profissão é digna.
- Proposição Universal Negativa: É toda proposição iniciada por um quantificador universal e cujo predicado é uma negação (inclusive - nenhum).
- Todo brasileiro não é mentiroso.
- Nenhuma estudante é preguiçosa.
Obs.: A expressão “todo… não…” pode ser trocada por “nenhum”, sem mundança de sentido - Proposição Particular Afirmativa: É toda proposição iniciada por um quantificador existencial e cujo predicado é uma afirmação.
- Existe um matemático que é engenheiro.
- Pelo menos uma empresa é honesta.
- Algum advogado é médico.
- Proposição Particular Negativa: É toda proposição iniciada por um quantificador existencial e cujo predicado é uma negação.
- Existe um matemático que não é engenheiro.
- Algum advogado não é médico.
- Pelo menos uma empresa não é honesta.
Como negar Proposições Quantificadas?
- Precisamos substituir o seu
quantificador por outro e negar sempre o predicado da oração.
p: Todo brasileiro gosta de futebol. (basta um não gostar para negar)
¬p: Pelo menos um brasileiro não gosta de futebol.
r: Qualquer pessoa consegue passar.
¬r: Alguma pessoa não consegue passar.
s: Todos os empregados foram demitidos.
¬s: Algum empregado não foi demitido.
p: Existem pessoas que não pegaram Covid-19.
¬p: Todas as pessoas pegaram Covid-19.
r: Pelo menos uma pessoa participou do congresso.
¬r: Nenhuma pessoa participou do congresso. - Com proposições quantificadas negativas:
p: Todo brasileiro não gosta de música clássica.
~p: Existe um brasileiro que gosta de música clássica.
q: Nenhum investidor quer perder dinheiro.
~q: Pelo menos um investidor quer perder dinheiro.
O que são proposições caegóricas?
Um tipo especial de proposição quantificada. Essas proposições vão estabelecer uma relação entre termos de categorias distintas.
Ex.: todo cachorro é obediente, (estabelecida uma relação de inclusão entre a categoria dos cachorros e a categoria dos obedientes)
Nomeclatura nova (formas) das classificações das proposições quantificadas no contexto das proposições categóricas.
- Proposição Universal Afirmativa - Forma A
Todo S é P.
Todo engenheiro é responsável. - Proposição Universal Negativa - Forma E
Todo S não é P / Nenhum S é P
Nenhum engenheiro é responsável. - Proposição Particular Afirmativa - Forma I
Algum S é P
Algum engenheiro é responsável. - Proposição Particular Negativa - Forma O
Algum S não é P
Algum engenheiro não é responsável.
Obs.: AfIrmo e nEgO
Propriedades das proposições
categóricas
- Propiedade da quantidade: Diz a respeito de uma proposição em universal ou particular;
- Propiedade da qualidade: Diz a respeito de uma proposição ser negativa ou afirmativa.
O que são Proposições contrárias?
- São proposições universais que possuem qualidades distintas, isto é, todo par afirmativo-negativo de proposições universais.
Ex.: Todo marinheiro é pescador. [Forma A]
Ex.: Todo marinheiro não é pescador. [Forma E] - Proposições categóricas de forma A e E serão contrárias.
Obs.: Linha de cima do quadrado das oposições
O que são Proposições subcontrárias?
- São proposições particulares que possuem qualidades distintas, isto é, todo par afirmativo-negativo de proposições particulares.
Ex.: Algum empresário é rico. [Forma I]
Ex.: Algum empresário não é rico. [Forma O] - Proposições categóricas de forma I e O serão sempre subcontrárias.
Obs.: Linha de baixo do quadrado das oposições
O que são Proposições subalternas?
São proposições que, apesar de possuírem a mesma qualidade, diferem pela quantidade.
- Qualidade afirmativa
A: Todo estudante é preparado.
I: Algum estudante é preparado.
- Qualidade negativa
E: Nenhum cachorro é feio
O: Algum cachorro não é feio.
- As proposições categóricas de forma A e I são subalternas entre si, bem como as proposições de forma E e O.
Obs.: Linhas laterais do quadrado das oposições
O que são Proposições contraditórias?
São proposições que diferem, simultaneamente, em qualidade e quantidade.
- Universal afirmaiva e Particular negativa
A: Todo animal é dócil.
O: Algum animal não é dócil.
- Universal negativa e Particular afirmativa
E: Nenhum jogador é amigável.
I: Algum jogador é amigável.
Obs.: Linhas centrais perpendiculares
O avô de Luciano disse: “Com óculos, todas as fotos são nítidas.”
Se essa frase é FALSA é correto concluir que
a) sem óculos todas as fotos são nítidas.
b) com óculos todas as fotos não são nítidas.
c) sem óculos há fotos que não são nítidas.
d) com óculos há, pelo menos, uma foto que não é nítida.
e) com óculos nenhuma foto é nítida.
Problema de negação de proposição quantificada
Substituir o quantificador e negar o predicado. O resto não muda!!!
“Com” não vira “sem”!
“Quente” não vira “frio”!
“Bom” não vira “ruim”!
“Noite” não vira “dia”!
“Esquerda” não vira “direita”!
Como nos exemplos:
p: À noite, todas as estrelas aparecem no céu.
¬p: À noite, alguma estrela não aparece no céu.
q: Todo dia quente agrada aos turistas.
¬q: Algum dia quente não agrada aos turistas.
r: Quando virou à esquerda, todos os semáforos estavam verdes.
¬r: Quando virou à esquerda, algum semáforo não estava verde.
Letra C
Considere a afirmação: “Todo baiano é um homem feliz”. Uma afirmação logicamente equivalente é:
A) Todo homem feliz é baiano;
B) Um homem que não é feliz não é baiano;
C) Quem não é baiano não é feliz;
D) Um homem é baiano ou é feliz;
Se “Todo baiano é feliz”, sabemos imediatamente que é equivalente dizer: “se é baiano então é feliz”. Normalmente, essa equivalência imediata não é o suficiente para marcarmos a alternativa correta e devemos ir mais fundo, revisitando a aula de Equivalências Lógicas para lembrar que: 𝑝 ⟹ 𝑞 ⇔ ~𝑞 ⟹ ~𝑝
Logo, a condicional “se é baiano então é feliz” é equivalente a: “se não é feliz, então não é baiano”. Essa conclusão está disfarçada na alternativa B: “um homem que não é feliz, não é baiano.’
Gabarito: Letra B.
