Analysis II Flashcards
Wann ist stetiges Vektorfeld f auf U konservativ?
- hängt nur von Anfangs- & Endpunkten ab
- Integral über alle Schleifen = 0
- C1 Potential F existiert mit div(F) = f
- U offen & sternförmig: Integrabilitätsbedingung
Anwendungen Banachscher Fixpunktsatz
Picard Lindelöf
Implizite Funktionen
Beweis Existenz 1/2 (Folge konvergiert) Banachscher Fixpunktsatz
Sei x1 in X beliebig und x(n+1) = T(x(n)). x(n) konvergiert gegen Fixpunkt x0
da gilt: x0 = lim x(n) = lim x(n+1) = lim T[x(n)] = T[lim x(n)] = T(x0)
Wir bemerken: d[x2,x3] = d[T(x1),T(x2)] ≤ λ*d[x1,x2]
Allgemeiner: d[x(n),x(n+1)] ≤ λ^(n-1) * d(x1,x2) (Induktion: n= 1 tautologisch, ang n gilt, zeige n+1)
Beweis Existenz 2/2 (Folge Cauchy) Banachscher Fixpunktsatz
Sei ε > 0, es existiert N mit [λ^(N-1)] / [1-λ] * d(x1,x2) < ε
für n > m ≥ N folgt:
d[x(m), x(n)] ≤ d[x(m), x(m+1)] + d[x(m+1), x(m+2)] + . . . + d[x(n−1), x(n)]
≤ λ^(m−1) * d(x1, x2) + λ^m * d(x1, x2) + . . . + λ^(n−2) * d(x1, x2)
≤ Summe von k = N bis unendlich von λ^(k−1) * d(x1,x2)
= [λ^(N-1)] / [1-λ] * d(x1,x2) < ε
da X vollständig (Cauchyfolgen konvergieren und haben Grenzwert in X) existiert Grenzwert und Fixpunkt x0.
Jede unendliche Teilmenge von X besitzt einen Häufungspunkt ⇒ X ist folgenkompakt (1->2)
Folge x(n) in X mit Bildmenge D. Ist D endlich so hat x(n) eine konstante und konvergente Teilfolge. Sei D unendlich also besitzt D einen HP x0 in X. Nach prop 5.42 reicht es z.z. dass für ε > 0 und natürliches N ein n ≥ N mit x(n) ∈ Bε(x0) existiert.
Sei ε′ > 0 so gewählt, dass
Bε′(x0) \ {x0} ⊆ Bε(x0) \ {x1, . . . , xN }
Da x0 ein HP ist, gibt es ein natürliches n mit x(n) ∈ Bε′(x0) \ {x0} ⊆ Bε(x0), womit n > N.
X ist folgenkompakt ⇒ Jede stetige komplexwertige Funktion auf X ist beschränkt (2->3)
Sei f : X → C stetig. Angenommen f ist nicht beschränkt. Dann gibt es zu jedem n ein x(n) ∈ X mit |f(x(n))| > n. Dies definiert eine Folge x(n) in X welche nach Voraussetzung eine konvergente Teilfoge (x(nk))k mit Grenzwert x ∈ X besitzt. Da f stetig, folgt lim[k→∞] f(x(nk)) = f(x). Somit ist die komplexe Folge (f(x(nk)))k konvergent und unbeschränkt. (Widerspruch) Somit muss f beschränkt sein.
Jede stetige komplexwertige Funktion auf X ist beschränkt ⇒ Jede stetige, reellwertige Funktion auf X nimmt ein Maximum und Minimum an (3->4)
Sei f : X → R stetig. Sei M = sup f(X), wir nehmen an f erreicht kein Maximum.
Somit ist g(x) = 1 / [M − f(x)] wohldefiniert und stetig. Nach Voraussetzung gibt es ein S > 0 mit g(x) ≤ S bzw. f(x) ≤ M − 1/S für alle x ∈ X. Widerspruch zu Definition von M.
Beweis Eindeutigkeit Banachscher Fixpunktsatz
Seien x0, x0’ Fixpunkte, es gilt: d(x0,x0’) = d(T(x0),T(x0’)) ≤ λ*d((x0,x0’)
da λ < 1 gilt d(x0,x0’) = 0 also x0 = x0’
Jede stetige, reellwertige Funktion auf X nimmt ein Maximum und Minimum an ⇒ Jede offene Überdeckung von X besitzt eine Lebesgue-Zahl und X ist total beschränkt (4->5), (2->5)
Nach Prop 10.54 hat jede offene Überdeckung eine Lebesque-Zahl. Z.z. X total beschränkt:
da 2 äquivalent zu 4 ist X folgenkompakt. Sei ε > 0 und angenommen X lässt sich nicht durch endlich viele Bälle vom Radius ε > 0 überdecken (X nicht total beschränkt).
Sei x1 ∈ X beliebig. Wir wählen rekursiv xn ∈ X \ (Bε(x1)∪…∪Bε(xn−1))
für alle n ≥ 2 (was nach der indirekten Annahme jeweils möglich ist). Somit erhalten wir eine Folge (xn)n mit d(xm, xn) ≥ ε für alle m, n ∈ N mit m ≠ n. Sei (xnk)k eine konvergente Teilfolge von (xn)n. Da aber jede konvergente Folge auch eine Cauchy-Folge ist, erhalten wir mit d(xnk , xnl) ≥ ε für k ≠ l einen Widerspruch. Also lässt sich X doch durch endlich viele Bälle vom Radius ε > 0 überdecken. Da ε > 0 beliebig war, ist X total beschränkt.
Jede offene Überdeckung von X besitzt eine Lebesgue-Zahl und X ist total beschränkt ⇒ X ist überdeckungskompakt (5->6)
Sei O eine beliebige offene Überdeckung von X und r > 0 die Lebesgue-Zahl.
Totale Beschränktheit: Es existieren x1, . . . , xn ∈ X mit X = Vereinigung aller Br(xk).
Lebesgue-Zahl: Für alle Br(xk) existiert Ok ∈ O mit Br(xk) ⊆ Ok. Es gilt also X = Vereinigung aller Ok, womit {O1, . . . , On} eine endliche Teilüberdeckung von O darstellt.
X ist überdeckungskompakt ⇒ X erfüllt das Schachtelungsprinzip (6->7)
Sei A Kollektion abgeschlossener Teilmengen mit Schnitt aller Ak = ∅. Z.z.: endlich viele Ak ∈ A existieren mit Schnitt = ∅. Nach Definition von A ist O = {X \ Ak | Ak ∈ A} eine offene Überdeckung von X, womit nach (6) O1 = X\A1,…,ON =X\AN in O existieren mit X = Vereinigung On von 1 bis N. Also ist (De Morgan) Schnitt An 1 bis N = ∅.
X erfüllt das Schachtelungsprinzip ⇒ X ist total beschränkt und vollständig (7->8) (Check)
Zuerst, z.z. X total beschränkt: Sei ε > 0 und A = {X \ Bε(x) | x ∈ X}. Dann ist Schnitt aller Ak = ∅, womit nach Schachtelungsprinzip x1,…,xn ∈X mit Schnitt 1 bis n von (X \ Bε(xk)) = ∅ oder in anderen Worten mit Vereinigung 1 bis n von Bε(xk) = X existieren müssen.
Z.z. Vollständigkeit: Sei (xn)n Cauchy-Folge und nicht konvergent. Da Cauchy-Folge genau dann konvergiert, wenn sie eine konvergente Teilfolge besitzt, hat (xn)n keine konv. Teilfolge und für jedes n ∈ N ist die Teilmenge Dn = {xk | k ≥ n} abgeschlossen.
Weiter gilt für alle n ∈ N Schnitt 1 bis n von Dk = Dn ≠ ∅ womit nach Schachtelungsprinzip Schnitt aller Dk ≠ ∅ ⇒ Widerspruch.
Kugelkoordinaten
det = r^2 * sin(θ)
Beweis Heine Borel
Ist K kompakt, dann ist K nach Lemma 10.47 abgeschlossen und beschränkt.
Für die Umkehrung zeigen wir, dass K folgenkompakt ist. Sei also (xn)n eine Folge in K. Da K beschränkt ist, ist die Folge beschränkt. Wir konstruieren nun iterativ eine konvergente Teilfolge von (xn)n. Da (xn)n beschränkt ist, ist auch die Folge der Komponenten π1(xn))n beschränkt und besitzt somit nach Satz 6.15 eine konvergente Teilfolge π1(xnk))k. Nach demselben Argument besitzt die Folge der Komponenten π2(xnk))k eine konvergente Teilfolge; um die Notation zu vereinfachen bezeichnen wir diese wieder mit π2(xnk))k.
Setzt man dieses Argument fort, erhält man eine Teilfolge (xnk)k mit der Eigenschaft, dass für alle j ∈ {1,…,d} die Folge der Komponenten πj(xnk))k (konvergiert). Nach Proposition 5.44 ist somit auch (xnk)k konvergent. Der Grenzwert x ∈ Rd dieser Teilfolge muss in K liegen, da K abgeschlossen ist (Lemma 10.7). Dies beweist, dass jede Folge in K eine konvergente Teilfolge besitzt; also ist K kompakt.
Ist (xn)n eine beschränkte Folge in R^d, so kann man (xn)n als Folge in einem abgeschlos-
senen Ball auffassen, womit auch die letzte Aussage des Satzes folgt.
Polarkoordinaten
det = r
Zylinderkoordinaten
det = r
Lokale Darstellbarkeit von graphen
Definition Teilmannigfaltigkeit
Satz der inversen Abbildung Beweis
Fläche Kurve
Homotopie
Glatte Partition der Eins
DO NO LEARN Satz über den Konstanten Rang
Satz von Green
Satz von Stokes
Satz von Gauss
Divergenzsatz
