Analysis I Flashcards
Injektion
für alle x1,x2 ∈ X gilt, dass f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
Surjektion
Funkition von X auf Y , falls es zu jedem y∈Y ein x∈X mit f(x)=y gibt
Bijektion
Surjektiv und Injektiv
Offener Ball
Ist die Menge: Br(z) = {w ∈ C | |z − w| < r} <=> Br(x0)={x∈X |d(x,x0) < r}
Supremum
- s0 ist eine obere Schranke
2a. s0 ist die kleinste obere Schranke
2b. Zahlen kleiner als s0 sind keine oberen Schranken (∃x∈X x> s0- ε)
Rechenregeln Supremum
sup(cA) = c sup(A)
sup(A + B) = sup(A) + sup(B)
Archimedisches Prinzip
(i) Jede nicht-leere, von oben beschränkte Teilmenge von Z hat ein Maximum.
(ii) Für jedes x∈R existiert genau ein n∈Z mit n ≤ x ≤ n+1
(iii) Für jedes ε >0 existiert ein n∈N mit 1\n < ε
Beweis archimedisches Prinzip
I) Da das Supremum existiert gibt es ein x > s0 - 1, daraus folgt m ≤ s0 < x + 1 und m ≤ x ∀m
somit ist x das maximum.
II) Es existiert eine Menge mit maximalem n ≤ x ⇒ n ≤ x < n + 1. Falls x < 0 obigen Fall auf -x anwenden.
Eindeutigkeit: n1≤ x ≤ n1 + 1 ⋀ n2 ≤ x ≤ n2 + 1 ⇒ n1 ≤ x ≤ n2 + 1⇒ n1 ≤ n2 und analog n2 ≤ n1 ⇒ n1 = n 2
III) Aus II) folgt 1/ε < n ==> 1/n < ε
Häufungspunkt einer Menge
x0 ist ein HP falls es für jedes ε > 0 ein a ∈ A gibt mit 0 < |a − x0| < ε
Binomialkoeffizient („n über k“) Formel
(n!) / (k!(n−k)!)
Rechenregeln Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Rechenregeln reelle Funktionen mit Stetigkeit
(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x)
(αf1)(x) = αf1(x)
(f1f2)(x) = f1(x)f2(x)
Kehrwertfunktion
Stetigkeit einer Funktion
∀x0∈D: ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D:
|x−x0|< δ => |f(x)-f(x0)|< ε
Zwischenwertsatz
Sei f stetig auf [a,b] so gibt es ein c element (f(a), f(b)) sodass f(x) = c gilt.
Beweisidee Zwischenwertsatz
Sei X die Menge aller Punkte x wobei f(x) ≤ c.
Sei x0 = sup(X). Mit Stetigkeit wird f(x0) = c gezeigt;
Sei f(x0) < c. Aus Stetigkeit bei x0 findet man ε= c−f(x0)>0 und δ>0. Es existiert ein x zwischen x0 und x0 + δ, dann gilt: f(x) = f(x0) + (f(x) − f(x0)) < f(x0) + c − f(x0) = c.
Es müsste also x element X sein was aber sup(X) = x0 < x widerspricht.
Sei f(x0) > c so folgt f(x) > c.
Somit ist x nicht element X, also wäre x0 - δ obere Schranke von X was x0 = sup(X) widerspricht. Deshalb gilt f(x0) = c und der Satz folgt.
Gleichmässige Stetigkeit / epsilon-delta-Stetigkeit
Unterschied zur Stetigkeit allgemein
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x,y∈D:
|x−y|< δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε
Unterschied: Für alle epsilon, ex. ein delta vor für alle x,y: Wahl von delta hängt nicht mehr vom x (bzw. x0) ab.
LIpschitz-Stetigkeit
|f(x)−f(x0)| < |x−x0|*L
Riemann-Integrierbarkeit
Supremum der Obersummen = Infimum der Untersummen
Jede monotone Funktion Stetige Funktion auf kompaktem Intervall
Regeln Riemann-Integrals
- Integral einer Summe von Funktionen <=> Summe von Integralen der Funktionen
- Konstante kann herausgenommen werden
- Integral von a bis c = Integral von a bis b + Integral von b bis c
- Integral von a bis b = - Integral von b bis a
Sandwich-Kriterium mit stetigen Funktionen
Funktion f auf kompaktem Intervall [a,b] ist R-intbar ⇔ wenn für alle ε f+ und f- existieren mit f- ≤ f ≤ f+ und ∫ₐⁿ f+ - f - < ε
Normen Eigenschaften
Definitheit: für alle Vektoren v gilt ||v|| = 0 <=> v = 0.
Homogenität: für alle Vektoren v und alle a gilt ||av|| = |a|||v||
Dreiecksungleichung: für alle Vektoren v, w gilt ||v + w|| <= ||v|| + ||w||
Beispiele Normen
Unendlichsnorm: maximale Vektorkomponente 1-Norm: Summe aller Vektorkomponenten Euklidische Norm: Wurzel der Summer der Quadrate aller Vektorkomponenten
Cauchy-Schwarz Ungleichung
Betrag des Skalarproduktes von v, w <= ||v||*||w||
Cauchy-Schwarz Ungleichung Beweis
α = (⟨v,w⟩) / (∥w∥^2)
∥v−αw∥^2 =⟨v−αw,v−αw⟩
= ⟨v, v − αw⟩ − α ⟨w, v − αw⟩
= ⟨v, v⟩ − α ⟨v, w⟩ − α ⟨w, v⟩ + |α|^2∥w∥^2
= ∥v∥^2 − α⟨v,w⟩−α⟨v,w⟩+|α|^2∥w∥^2
= ∥v∥^2 − 2|⟨v,w⟩|^2 / (∥w∥^2) + 2*|⟨v,w⟩|^2 / ∥w∥^4
= ∥v∥^2 - |⟨v,w⟩|^2 / ∥w∥^2
Der letzte Ausdruck ist nicht-negativ (≥ 0) und nach Umformung folgt das z.z.
Metrische Räume Eigenschaften
- Definitheit: für alle x, y gilt d(x, y) = 0 <=> x = y
- Symmetrie: für alle x, y filt d(x, y) = d(y, x)
3. Dreiecksungleichung: für alle x, y, z gilt d(x, z) <= d(x, y) + d(y, z)
Rechenregeln Folgen
(an)n + (bn)n = (an + bn)n
α · (an)n = (αan)n
Definition Konvergenz
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : d(an,A) < ε
Jede konvergente Folge ist beschränkt und hat einen eindeutigen Grenzwert (=A)
Rechenregeln Grenzwerte
Jeweils für n -> ∞:
lim (an + bn) = lim an + lim bn
lim (anbn) = ( lim an)( lim bn)
lim (αan) = α lim an
lim(1/an) = 1/lim an
Monoton wachsend: lim an = sup{an |n∈N} monoton fallend analog
limsup = liminf <=> an konvergent mit lim an = limsup an = liminf an
Folgenstetigkeit
f ist bei x0 folgenstetig falls für jede konvergente Folge mit Grenzwert x0, lim f(xn) = f(x0)
<=> epsilon-delta Stetigkeit
Sandwich für Folgen
Seien an, bn, cn reelle Folgen wobei an <= bn <= cn für alle n gilt. Falls an und cn Konvergent mit Grenzwert A so konvergiert bn auch gegen A.
Cauchy-Folge
Für jedes ε > 0, existiert ein N, für alle m,n >= N gilt: d(am, an) < ε
Cauchy-Kriterium für Folgen
Eine reelle Folge ist genau dann konvergent wenn sie eine Cauchy-Folge ist.
Cauchy-Kriterium für Folgen Beweis
1) Konv. -> Cauchy
2) Cauchy ~> Beschr.
3) Beschr. ~> Konv.
1) Konvergiere an gegen A und sei ε > 0, so existiert N wobei n ≥ N und |an − A| < ε/2 und für m,n ≥ N: |am − an| ≤ |am − A| + |A − an| < ε/2 + ε/2 = ε
=> an ist Cauchy
2) Sei an eine Cauchy-Folge so existiert für ε = 1 ein N wobei |am − an| < 1 und für m,n ≥ N gilt: |an|≤|an −aN|+|aN|<1+|aN| => an beschränkt. (ex. konv Teilfolgen und limsup und liminf sind grenzwerte zu konv teilfolgen.)
3) Für alle ε > 0 existiert ein N sodass |am−an|< ε und für alle m,n ≥ N mit m = N: am − ε < an < am + ε
Betrachtet man liminf und limsup von an
am- ε ≤ liminf(an) ≤ limsup(an) ≤ am + ε
so folgt | limsup(an) - liminf(an) | ≤ 2ε
Da aber ε>0 beliebig war: Gleichheit von Limes Superior und Limes Inferior und daher Konvergenz der Folge
Delta-Umgebungen
Uδ(x0) = (x0 −δ,x0 +δ)
Punktierte: U ̇δ(x0) = (x0 −δ,x0 +δ){x0}
Riemann-Summe
Für eine gegebene Zerlegung der Intervalls bildet man die Summe durch Auswertung der Funktion an beliebigem Punkt in der Zerlegung und Multiplikation mit der Breite des Balken. Lässt man die Maschenweite gegen 0 streben so strebt die Summe gegen das Integral.
Reihen Rechenregeln
Konvergiert die Reihe so ist die Folge eine Nullfolge
Für konvergente Reihen gilt:
Addiert man zwei oder multipliziert mit einer Konstante so ist die resultierende Reihe auch konvergent.
Ist eine kleinere Folge divergent so ist eine grössere es auch, ist die grössere konvergent so ist die kleinere es auch.
Bedingte / absolute Konvergenz
Konvergiert Folge und konvergieren die Beträge so ist die Reihe absolut konvergent ansonsten bedingt konvergent.
Cauchy-Kriterium für Reihen
Cauchy-Wurzelkriterium
Ist der limsup der n-ten Wurzel der Beträge der Folgenglieder < 1 so ist die Reihe absolut konvergent. Ansonsten divergent und keine Nullfolge
Quotientenkriterium
Sei an eine komplexe Folge und nicht die Nullfolge falls der lim von a(n+1)/a(n) < 1 so ist die Reihe konvergent ansonsten divergent.
Punktweise / gleichmässige Konvergenz
Punktweise: ∀x∈X∀ε>0∃N∈N∀n∈N:(n≥N =⇒ |fn(x)−f(x)|0∃N∈N∀n∈N:(n≥N =⇒ (∀x∈X:|fn(x)−f(x)|
Gleichmässig ∀ε>0∃N∈N∀n∈N:(n≥N =⇒ |fn(x)−f(x)|0∃N∈N∀n∈N:(n≥N ∀x∈X =⇒ (∀x∈X:|fn(x)−f(x)|
∀x∈X nachdem wir N bereits definiert haben
Gleichmässige Konvergenz & Riemann-Integrierbarkeit
Sei fn eine Funktionenfolge Riemann-integrierbarer Funktionen auf [a,b], konvergiert fn gleichmässig gegen f so ist f Riemann-Integrierbar.
Potenzreihe
Summe von 0 bis unendlich von an*z^n
Konvergenzradius
R = 1 / (limsup der n-ten Wurzel des Betrags von an)
Ist der Betrag von z kleiner R so konvergiert die Reihe absolut sonst divergiert sie absolut.
Alternativ lim von 1 über Quotientenkriterium
Exponentialabbildung
exp(z) = Summe von 0 bis unendlich von 1/k! * z^k
Mit dem Quotientenkriterium ergibt sich unendlicher Konvergenzradius
Exponentialabbildung Rechenregeln
exp(z + w) = exp(z)*exp(w) |exp(z)| = exp(Re(z)) |exp(iy)| = 1 a^z = exp(z*log(a)) (exp(z))* = exp(z*) |exp(z)|^2 = exp(z) exp(z)* = exp(2Re(z)) = exp(Re(z))^2
Trigonometrische Funktionen
Sinus: z - z^3 / 3! + z^5 / 5! … = Summe von n = 0 bis unendlich von (-1)^n / (2n + 1)! * z^(2n+1) = (e^(iz) - e^(-i * z)) / (2i)
Kosinus: 1 - z^2 / 2! + z^4 / 4! = Summe von n = 0 bis unendlich von (-1)^n / (2n)! * z^(2n) = (e^(iz) + e^(-i * z)) / 2
exp(iz) = cos(z) + i*sin(z)
Trigonometrische Funktionen Rechenregeln
sin(2z) = 2sin(z)cos(z) cos(2z) = cos^2(z)-sin^2(z) = 1-2sin^2(z) = 2cos^2(z) -1
Pi
e^2πi = 1 e^πi = -1 e^πi/2 = i e^3πi/2 = -I e^πi/4 = 1/Wurzel(2) + i/Wurzel(2)
Tangens
sin(z) / cos(z)
cotan(z) = cos(z) / sin(z)
Hyperbolische Funktionen
Gleich wie trigonometrische Funktionen ohne i / ohne -Ableitung / Stammfunktion ist jeweils die andere Funktion
Additionsformeln auch gleich
Differenzierbarkeit
f differenzierbar bei a:
Grenzwert lim h->0 (f(a+h) - f(a)) / h existiert.=> Stetigkeit
Rechenregeln Ableitung
(f + g)′(a) = f′(a) + g′(a) (fg)′(a) = f′(a)g(a) + f(a)g′(a) (g ◦ f)′(x0) = g′(f(x0))*f′(x0) (f/g)‘(a) = (f′(a)*g(a) − f(a)*g′(a)) / g(a)^2 (f^(-1))‘ = 1 / f‘
Extremum
D⊆R Teilmenge und x0∈D
Eine Funktion f:D→R
nimmt ein lokales Maximum in x0 an, falls es eine Umgebung U von x0 auf D gibt in der f durch f(x0) beschränkt ist:
Es gibt δ>0, s.d. für alle
x∈D∩(x0−δ,x0+δ): f(x)≤f(x0).
Falls es sogar ein
δ>0 gibt, s.d
f(x) < f(x0) für alle x∈D∩(x0−δ,x0+δ){x0}, dann nimmt f in x0 ein isoliertes lokales Maximum an.
Der Wert f(x0) wird auch ein lokales Maximum von f genannt.
Ein lokales Minimum und ein isoliertes lokales Minimum wird analog definiert.
Des Weiteren sagen wir, dass f in x0 ein lokales Extremum annimmt und f(x0) ein lokaler Extremwert von f
ist, falls f ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum in x0 annimmt.
Stetige Differenzierbarkeit
Ist f stetig diffbar so ist f‘ stetig.
Satz von Rolle
Sei f stetig und differenzierbar auf (a,b) falls f(a) = f(b) so existiert ein k mit f‘(k) = 0
Beweis Satz von Rolle EDIT
Nach Extremwertsatz nimmt f auf [a.b] max und min an. Falls die entsprechenden xmin / xmax element (a,b) so ist dort f‘ = 0, mit ξ = xmin / xmax. Sind xmin / xmax die Endpunkte so ist die Funktion konstant und f‘ = 0 überall.
Mittelwertsatz
Sei f auf [a, b] (kompaktes Intervall) stetig, die auf offenem Intervall (a,b) stetig diff.bar,
so existiert ein k ∈ (a,b) mit
f(k)= (f(b) - f(a)) / (b-a)
= durchschnittlicher Steigung zwischen f(a) und f(b)
Beweis Mittelwertsatz
Sei F(x) = f(x) - (f(b) − f(a)) * (x-a) / (b - a). Setzt man a oder b ein so ergibt sich f(a). Somit sind die Endpunkte gleich und aus dem Satz von Rolle folgt das Theorem.
Konvexität EDIT
Sei I ein Intervall und f eine Funktion auf I.
f ist konvex falls für alle x0, x1 und t element (0,1) f(1 - tx0 + tx1) <= (1 - t)f(x0) + tf(x1)
F konvex wenn f‘ (streng) monoton wachsend
Erweiterter Mittelwertsatz
Seien f, g stetig auf [a,b] und auf (a,b) diffbar so existiert ein ξ ∈ (a, b) mit g′(ξ)(f(b) − f(a)) = f′(ξ)(g(b) − g(a))
Beweis erweiterter Mittelwertsatz
Sei F(x) = g(x)*(f(b) − f(a)) − f(x)*(g(b) − g(a)). Es folgt F(a) = F(b) und nach dem Satz von Rolle folgt die Existenz von ξ ∈ (a, b) mit F‘(ξ) = 0.
Regel von de l‘Hopital
Ist der Grenzwert von f(x) / g(x) = 0 / 0 oder unendlich durch unendlich so ist er gleich dem Grenzwert f‘(x) / g‘(x)
Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung
Ableitung des Integrals
Berechnung des Integrals
Integral der Ableitung
Theorem Ableitung des Integrals & Beweis
Sei f auf [a,b] R-intbar, bei x0 stetig und sei F(x) das Integral von a nach x von f so ist F‘(x0) = f(x0).
Beweis:
Sei ε > 0. Es existiert ein δ > 0 mit |f(x) − f(x0)| < ε.
(F(x) - F (x0)) / (x - x0) - f(x0) nach Umformung ergibt sich <= 1/(x - x0) * Integral von x0 bis x von ε = ε. Dies führt man einmal für x ∈ (x0, x0 + δ) ∩ [a, b] und einmal für ∈ (x0 - δ, x0) ∩ [a, b]. Da epsilon beliebig war folgt der Satz.
Partikuläre Integral + Korollare (Ableitung des Integrals, Form der Stammfunktion, Berechnung und Integral der Ableitung)
Sei f auf [a, b] (kompaktes Intervall in ℝ mit Endpunkten a < b) eine R-Intbar Funktion.
Das partikuläre Integral bzw. Das Integral mit veränderlicher oberer Grenze ist:
x ∈ [a, b]→ ∫ₐˣ f(t) dt (*)
Falls f bei x₀∈ [a, b] stetig so ist (*) bei x₀ diff‘bar und F‘(x₀) = f(x₀)
Falls f ∈ C([a, b]) stetig, dann ist (*) eine Stammfunktion von f und jede Stammfunktion
F: [a, b] → ℝ von f hat die Form
F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt + C
∀x ∈ [a, b] und eine Konstante C ∈ ℝ
Falls F: [a, b] → ℝ Stammfunktion von f:
∫ₐˣ f(t) dt = F(b) - F(a)
Falls F ∈ C¹([a, b]) stetig diff‘bar dann
F(x) = F(a) + ∫ₐˣ F‘(t) dt
Korollar Berechnung des Integrals
Sei f auf [a,b] stetig, ist F auf [a,b] eine Stammfunktion von f so ist das Integral von a nach b von f = F(b) - F(a).
Korollar Integral der Ableitung
Sei F auf [a,b] stetig diffbar so gilt F(x) = F(a) + Integral von a nach x von F‘
Taylor-Approximation / -Reihe
Summe von k=0 bis n (oder unendlich) der k-ten Ableitung von f bei x0 mal (x - x0)^k durch k!.
Theorem Taylor
Sei f auf [a,b] eine (n+1)-mal stetig diffbare Funktion und sei x0 ∈ (a, b), so gilt für alle x ∈ (a, b):
f(x) = P (x) + R (x). dabei ist P die n-te Taylor-Approximation und R der Fehlerterm gegeben durch:
Integral von x0 nach x von der (n+1)-ten Ableitung von f bei t * (x-t)^n durch n!.
Theorem Taylor Beweis
Induktion
n = 0; Fundamentalsatz der Diff- und Intrechnung:
f(x) = f(x0) + Integral von x0 nach x von f‘ = P1(x) + R1(x).
n = 0; Partielle Integration auf obiges Integral mit u(t) = f′(t) und v(t) = t − x ergibt sich:
f(x) = f(x0) + [f‘(t)(t-x)] von x0 bis x - Integral von x0 nach x von f‘‘(t) * (t-x) dt
= f(x0) + f‘(x0)(x−x0) + Integral von x0 nach x von f‘‘(t) + (x-t)^1 / 1!
= P1(x) + R1(x)
Aus Induktionsvoraussetzung folgt:
f(x) = Summe von k=0 bis n-1 von der k-ten Ableitung von f(x0) + (x-x0)^k / k! + Integral von x0 nach x von der n-ten Ableitung von f(t) + (x-t)^n-1 / (n-1)! dt für x element (a,b)
Mit u(t) = n-te Ableitung von f(t) und v(t) = -(x-t)^n / n!, ist v‘(t) = (x-t)^n-1 / (n-1)! und mit partieller Integral ergibt sich:
f(x) = Summe von k=0 bis n-1 von der k-ten Ableitung von f(x0) + (x-x0)^k / k! - [n-te Ableitung von f(t) + (x-t)^n / n!] x0 nach x + Integral von x0 nach x von der n+1-ten Ableitung von f(t) * (x-t)^n / n! dt
= Summe von k=0 bis n von der k-ten Ableitung von f(x0) + (x-x0)^k / k! + Integral von x0 nach x von der n+1-ten Ableitung von f(t) * (x-t)^n / n! dt
Cauchy-Schwarz Ungleichung
Cauchy-Schwarz Ungleichung Beweis
Skizzieren Sie in 1-2 Sätzen einen Beweis für die Überabzählbarkeit des Intervalles [0, 1].
Wäre {xn : n ∈ N} eine Abzählung von [0, 1], so definiert man sich ein (abgeschlossenes) Intervall I(1) (mit nicht-leerem Inneren), welches x1 nicht enthält, ein Intervall I(2), welches in I(1) liegt und x2 nicht enthält und so weiter. Nach dem Intervallschachtelungsprinzip enthält der Schnitt von j= 1 bis ∞ der I(j) dann Punkte, welche widersprüchlicherweise nicht von der Form
xn sind für ein n ∈ N.
