Analysis I Flashcards
Injektion
für alle x1,x2 ∈ X gilt, dass f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
Surjektion
Funkition von X auf Y , falls es zu jedem y∈Y ein x∈X mit f(x)=y gibt
Bijektion
Surjektiv und Injektiv
Offener Ball
Ist die Menge: Br(z) = {w ∈ C | |z − w| < r} <=> Br(x0)={x∈X |d(x,x0) < r}
Supremum
- s0 ist eine obere Schranke
2a. s0 ist die kleinste obere Schranke
2b. Zahlen kleiner als s0 sind keine oberen Schranken (∃x∈X x> s0- ε)
Rechenregeln Supremum
sup(cA) = c sup(A)
sup(A + B) = sup(A) + sup(B)
Archimedisches Prinzip
(i) Jede nicht-leere, von oben beschränkte Teilmenge von Z hat ein Maximum.
(ii) Für jedes x∈R existiert genau ein n∈Z mit n ≤ x ≤ n+1
(iii) Für jedes ε >0 existiert ein n∈N mit 1\n < ε
Beweis archimedisches Prinzip
I) Da das Supremum existiert gibt es ein x > s0 - 1, daraus folgt m ≤ s0 < x + 1 und m ≤ x ∀m
somit ist x das maximum.
II) Es existiert eine Menge mit maximalem n ≤ x ⇒ n ≤ x < n + 1. Falls x < 0 obigen Fall auf -x anwenden.
Eindeutigkeit: n1≤ x ≤ n1 + 1 ⋀ n2 ≤ x ≤ n2 + 1 ⇒ n1 ≤ x ≤ n2 + 1⇒ n1 ≤ n2 und analog n2 ≤ n1 ⇒ n1 = n 2
III) Aus II) folgt 1/ε < n ==> 1/n < ε
Häufungspunkt einer Menge
x0 ist ein HP falls es für jedes ε > 0 ein a ∈ A gibt mit 0 < |a − x0| < ε
Binomialkoeffizient („n über k“) Formel
(n!) / (k!(n−k)!)
Rechenregeln Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Rechenregeln reelle Funktionen mit Stetigkeit
(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x)
(αf1)(x) = αf1(x)
(f1f2)(x) = f1(x)f2(x)
Kehrwertfunktion
Stetigkeit einer Funktion
∀x0∈D: ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D:
|x−x0|< δ => |f(x)-f(x0)|< ε
Zwischenwertsatz
Sei f stetig auf [a,b] so gibt es ein c element (f(a), f(b)) sodass f(x) = c gilt.
Beweisidee Zwischenwertsatz
Sei X die Menge aller Punkte x wobei f(x) ≤ c.
Sei x0 = sup(X). Mit Stetigkeit wird f(x0) = c gezeigt;
Sei f(x0) < c. Aus Stetigkeit bei x0 findet man ε= c−f(x0)>0 und δ>0. Es existiert ein x zwischen x0 und x0 + δ, dann gilt: f(x) = f(x0) + (f(x) − f(x0)) < f(x0) + c − f(x0) = c.
Es müsste also x element X sein was aber sup(X) = x0 < x widerspricht.
Sei f(x0) > c so folgt f(x) > c.
Somit ist x nicht element X, also wäre x0 - δ obere Schranke von X was x0 = sup(X) widerspricht. Deshalb gilt f(x0) = c und der Satz folgt.
Gleichmässige Stetigkeit / epsilon-delta-Stetigkeit
Unterschied zur Stetigkeit allgemein
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x,y∈D:
|x−y|< δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε
Unterschied: Für alle epsilon, ex. ein delta vor für alle x,y: Wahl von delta hängt nicht mehr vom x (bzw. x0) ab.
LIpschitz-Stetigkeit
|f(x)−f(x0)| < |x−x0|*L
Riemann-Integrierbarkeit
Supremum der Obersummen = Infimum der Untersummen
Jede monotone Funktion Stetige Funktion auf kompaktem Intervall
Regeln Riemann-Integrals
- Integral einer Summe von Funktionen <=> Summe von Integralen der Funktionen
- Konstante kann herausgenommen werden
- Integral von a bis c = Integral von a bis b + Integral von b bis c
- Integral von a bis b = - Integral von b bis a
Sandwich-Kriterium mit stetigen Funktionen
Funktion f auf kompaktem Intervall [a,b] ist R-intbar ⇔ wenn für alle ε f+ und f- existieren mit f- ≤ f ≤ f+ und ∫ₐⁿ f+ - f - < ε
Normen Eigenschaften
Definitheit: für alle Vektoren v gilt ||v|| = 0 <=> v = 0.
Homogenität: für alle Vektoren v und alle a gilt ||av|| = |a|||v||
Dreiecksungleichung: für alle Vektoren v, w gilt ||v + w|| <= ||v|| + ||w||
Beispiele Normen
Unendlichsnorm: maximale Vektorkomponente 1-Norm: Summe aller Vektorkomponenten Euklidische Norm: Wurzel der Summer der Quadrate aller Vektorkomponenten
Cauchy-Schwarz Ungleichung
Betrag des Skalarproduktes von v, w <= ||v||*||w||