Analysis I

Question 1

Injektion

Answer 1

für alle x1,x2 ∈ X gilt, dass f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2

Question 2

Surjektion

Answer 2

Funkition von X auf Y , falls es zu jedem y∈Y ein x∈X mit f(x)=y gibt

Question 3

Bijektion

Answer 3

Surjektiv und Injektiv

Question 4

Offener Ball

Answer 4

Ist die Menge: Br(z) = {w ∈ C | |z − w| < r} <=> Br(x0)={x∈X |d(x,x0) < r}

Question 5

Supremum

Answer 5

1. s0 ist eine obere Schranke
   2a. s0 ist die kleinste obere Schranke
   2b. Zahlen kleiner als s0 sind keine oberen Schranken (∃x∈X x> s0- ε)

Question 6

Rechenregeln Supremum

Answer 6

sup(cA) = c sup(A)

sup(A + B) = sup(A) + sup(B)

Question 7

Archimedisches Prinzip

Answer 7

(i) Jede nicht-leere, von oben beschränkte Teilmenge von Z hat ein Maximum.

(ii) Für jedes x∈R existiert genau ein n∈Z mit n ≤ x ≤ n+1

(iii) Für jedes ε >0 existiert ein n∈N mit 1\n < ε

Question 8

Beweis archimedisches Prinzip

Answer 8

I) Da das Supremum existiert gibt es ein x > s0 - 1, daraus folgt m ≤ s0 < x + 1 und m ≤ x ∀m
somit ist x das maximum.

II) Es existiert eine Menge mit maximalem n ≤ x ⇒ n ≤ x < n + 1. Falls x < 0 obigen Fall auf -x anwenden.
Eindeutigkeit: n1≤ x ≤ n1 + 1 ⋀ n2 ≤ x ≤ n2 + 1 ⇒ n1 ≤ x ≤ n2 + 1⇒ n1 ≤ n2 und analog n2 ≤ n1 ⇒ n1 = n 2

III) Aus II) folgt 1/ε < n ==> 1/n < ε

Question 9

Häufungspunkt einer Menge

Answer 9

x0 ist ein HP falls es für jedes ε > 0 ein a ∈ A gibt mit 0 < |a − x0| < ε

Question 10

Binomialkoeffizient („n über k“) Formel

Answer 10

(n!) / (k!(n−k)!)

Question 11

Rechenregeln Binomialkoeffizient

Answer 11

Question 12

Binomischer Lehrsatz

Answer 12

Question 13

Rechenregeln reelle Funktionen mit Stetigkeit

Answer 13

(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x)

(αf1)(x) = αf1(x)

(f1f2)(x) = f1(x)f2(x)

Kehrwertfunktion

Question 14

Stetigkeit einer Funktion

Answer 14

∀x0∈D: ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D:

|x−x0|< δ => |f(x)-f(x0)|< ε

Question 15

Zwischenwertsatz

Answer 15

Sei f stetig auf [a,b] so gibt es ein c element (f(a), f(b)) sodass f(x) = c gilt.

Question 16

Beweisidee Zwischenwertsatz

Answer 16

Sei X die Menge aller Punkte x wobei f(x) ≤ c.

Sei x0 = sup(X). Mit Stetigkeit wird f(x0) = c gezeigt;

Sei f(x0) < c. Aus Stetigkeit bei x0 findet man ε= c−f(x0)>0 und δ>0. Es existiert ein x zwischen x0 und x0 + δ, dann gilt: f(x) = f(x0) + (f(x) − f(x0)) < f(x0) + c − f(x0) = c. 

Es müsste also x element X sein was aber sup(X) = x0 < x widerspricht. 

Sei f(x0) > c so folgt f(x) > c.

Somit ist x nicht element X, also wäre x0 - δ obere Schranke von X was x0 = sup(X) widerspricht. Deshalb gilt f(x0) = c und der Satz folgt.

Question 17

Gleichmässige Stetigkeit / epsilon-delta-Stetigkeit

Unterschied zur Stetigkeit allgemein

Answer 17

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x,y∈D:
|x−y|< δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε

Unterschied: Für alle epsilon, ex. ein delta vor für alle x,y: Wahl von delta hängt nicht mehr vom x (bzw. x0) ab.

Question 18

LIpschitz-Stetigkeit

Answer 18

|f(x)−f(x0)| < |x−x0|*L

Question 19

Riemann-Integrierbarkeit

Answer 19

Supremum der Obersummen = Infimum der Untersummen


Jede monotone Funktion
Stetige Funktion auf kompaktem Intervall

Question 20

Regeln Riemann-Integrals

Answer 20

1. Integral einer Summe von Funktionen <=> Summe von Integralen der Funktionen

2. Konstante kann herausgenommen werden

3. Integral von a bis c = Integral von a bis b + Integral von b bis c

4. Integral von a bis b = - Integral von b bis a

Question 21

Sandwich-Kriterium mit stetigen Funktionen

Answer 21

Funktion f auf kompaktem Intervall [a,b] ist R-intbar ⇔ wenn für alle ε f+ und f- existieren mit f- ≤ f ≤ f+ und ∫ₐⁿ f+ - f - < ε

Question 22

Normen Eigenschaften

Answer 22

Definitheit: für alle Vektoren v gilt ||v|| = 0 <=> v = 0.
Homogenität: für alle Vektoren v und alle a gilt ||av|| = |a|||v||

Dreiecksungleichung: für alle Vektoren v, w gilt ||v + w|| <= ||v|| + ||w||

Question 23

Beispiele Normen

Answer 23

Unendlichsnorm: maximale Vektorkomponente
1-Norm: Summe aller Vektorkomponenten
Euklidische Norm: Wurzel der Summer der Quadrate aller Vektorkomponenten

Question 24

Cauchy-Schwarz Ungleichung

Answer 24

Betrag des Skalarproduktes von v, w <= ||v||*||w||

Question 25

Cauchy-Schwarz Ungleichung Beweis

Answer 25

α = (⟨v,w⟩) / (∥w∥^2)
∥v−αw∥^2 =⟨v−αw,v−αw⟩
= ⟨v, v − αw⟩ − α ⟨w, v − αw⟩
= ⟨v, v⟩ − α ⟨v, w⟩ − α ⟨w, v⟩ + |α|^2∥w∥^2
= ∥v∥^2 − α⟨v,w⟩−α⟨v,w⟩+|α|^2∥w∥^2
= ∥v∥^2 − 2|⟨v,w⟩|^2 / (∥w∥^2) + 2*|⟨v,w⟩|^2 / ∥w∥^4
= ∥v∥^2 - |⟨v,w⟩|^2 / ∥w∥^2
Der letzte Ausdruck ist nicht-negativ (≥ 0) und nach Umformung folgt das z.z.

Question 26

Metrische Räume Eigenschaften

Answer 26

1. Definitheit: für alle x, y gilt d(x, y) = 0 <=> x = y

2. Symmetrie: für alle x, y filt d(x, y) = d(y, x)
   
3. Dreiecksungleichung: für alle x, y, z gilt d(x, z) <= d(x, y) + d(y, z)

Question 27

Rechenregeln Folgen

Answer 27

(an)n + (bn)n = (an + bn)n


α · (an)n = (αan)n

Question 28

Definition Konvergenz

Answer 28

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : d(an,A) < ε

Jede konvergente Folge ist beschränkt und hat einen eindeutigen Grenzwert (=A)

Question 29

Rechenregeln Grenzwerte

Answer 29

Jeweils für n -> ∞: 

lim (an + bn) = lim an + lim bn

lim (anbn) = ( lim an)( lim bn)

lim (αan) = α lim an

lim(1/an) = 1/lim an

Monoton wachsend: lim an = sup{an |n∈N} monoton fallend analog

limsup = liminf <=> an konvergent mit lim an = limsup an = liminf an

Question 30

Folgenstetigkeit

Answer 30

f ist bei x0 folgenstetig falls für jede konvergente Folge mit Grenzwert x0, lim f(xn) = f(x0)

<=> epsilon-delta Stetigkeit

Question 31

Sandwich für Folgen

Answer 31

Seien an, bn, cn reelle Folgen wobei an <= bn <= cn für alle n gilt. Falls an und cn Konvergent mit Grenzwert A so konvergiert bn auch gegen A.

Question 32

Cauchy-Folge

Answer 32

Für jedes ε > 0, existiert ein N, für alle m,n >= N gilt: d(am, an) < ε

Question 33

Cauchy-Kriterium für Folgen

Answer 33

Eine reelle Folge ist genau dann konvergent wenn sie eine Cauchy-Folge ist.

Question 34

Cauchy-Kriterium für Folgen Beweis

1) Konv. -> Cauchy
2) Cauchy ~> Beschr.
3) Beschr. ~> Konv.

Answer 34

1) Konvergiere an gegen A und sei ε > 0, so existiert N wobei n ≥ N und |an − A| < ε/2 und für m,n ≥ N: |am − an| ≤ |am − A| + |A − an| < ε/2 + ε/2 = ε
=> an ist Cauchy

2) Sei an eine Cauchy-Folge so existiert für ε = 1 ein N wobei |am − an| < 1 und für m,n ≥ N gilt: |an|≤|an −aN|+|aN|<1+|aN| => an beschränkt. (ex. konv Teilfolgen und limsup und liminf sind grenzwerte zu konv teilfolgen.)

3) Für alle ε > 0 existiert ein N sodass |am−an|< ε und für alle m,n ≥ N mit m = N: am − ε < an < am + ε
Betrachtet man liminf und limsup von an

am- ε ≤ liminf(an) ≤ limsup(an) ≤ am + ε

so folgt | limsup(an) - liminf(an) | ≤ 2ε
Da aber ε>0 beliebig war: Gleichheit von Limes Superior und Limes Inferior und daher Konvergenz der Folge

Question 35

Delta-Umgebungen

Answer 35

Uδ(x0) = (x0 −δ,x0 +δ)


Punktierte: U ̇δ(x0) = (x0 −δ,x0 +δ){x0}

Question 36

Riemann-Summe

Answer 36

Für eine gegebene Zerlegung der Intervalls bildet man die Summe durch Auswertung der Funktion an beliebigem Punkt in der Zerlegung und Multiplikation mit der Breite des Balken. 
Lässt man die Maschenweite gegen 0 streben so strebt die Summe gegen das Integral.

Question 37

Reihen Rechenregeln

Answer 37

Konvergiert die Reihe so ist die Folge eine Nullfolge

Für konvergente Reihen gilt:

Addiert man zwei oder multipliziert mit einer Konstante so ist die resultierende Reihe auch konvergent.

Ist eine kleinere Folge divergent so ist eine grössere es auch, ist die grössere konvergent so ist die kleinere es auch.

Question 38

Bedingte / absolute Konvergenz

Answer 38

Konvergiert Folge und konvergieren die Beträge so ist die Reihe absolut konvergent ansonsten bedingt konvergent.

Question 39

Cauchy-Kriterium für Reihen

Answer 39

Question 40

Cauchy-Wurzelkriterium

Answer 40

Ist der limsup der n-ten Wurzel der Beträge der Folgenglieder < 1 so ist die Reihe absolut konvergent. Ansonsten divergent und keine Nullfolge

Question 41

Quotientenkriterium

Answer 41

Sei an eine komplexe Folge und nicht die Nullfolge falls der lim von a(n+1)/a(n) < 1 so ist die Reihe konvergent ansonsten divergent.

Question 42

Punktweise / gleichmässige Konvergenz

Answer 42

Punktweise: ∀x∈X∀ε>0∃N∈N∀n∈N:(n≥N =⇒ |fn(x)−f(x)|0∃N∈N∀n∈N:(n≥N =⇒ (∀x∈X:|fn(x)−f(x)|
Gleichmässig ∀ε>0∃N∈N∀n∈N:(n≥N =⇒ |fn(x)−f(x)|0∃N∈N∀n∈N:(n≥N ∀x∈X =⇒ (∀x∈X:|fn(x)−f(x)|

∀x∈X nachdem wir N bereits definiert haben

Question 43

Gleichmässige Konvergenz & Riemann-Integrierbarkeit

Answer 43

Sei fn eine Funktionenfolge Riemann-integrierbarer Funktionen auf [a,b], konvergiert fn gleichmässig gegen f so ist f Riemann-Integrierbar.

Question 44

Potenzreihe

Answer 44

Summe von 0 bis unendlich von an*z^n

Question 45

Konvergenzradius

Answer 45

R = 1 / (limsup der n-ten Wurzel des Betrags von an)
Ist der Betrag von z kleiner R so konvergiert die Reihe absolut sonst divergiert sie absolut.

Alternativ lim von 1 über Quotientenkriterium

Question 46

Exponentialabbildung

Answer 46

exp(z) = Summe von 0 bis unendlich von 1/k! * z^k

Mit dem Quotientenkriterium ergibt sich unendlicher Konvergenzradius

Question 47

Exponentialabbildung Rechenregeln

Answer 47

exp(z + w) = exp(z)*exp(w)
|exp(z)| = exp(Re(z))
|exp(iy)| = 1 
a^z = exp(z*log(a))
(exp(z))* = exp(z*) 
|exp(z)|^2 = exp(z) exp(z)* = exp(2Re(z)) = exp(Re(z))^2

Question 48

Trigonometrische Funktionen

Answer 48

Sinus: z - z^3 / 3! + z^5 / 5! … = Summe von n = 0 bis unendlich von (-1)^n / (2n + 1)! * z^(2n+1) = (e^(iz) - e^(-i * z)) / (2i)
Kosinus: 1 - z^2 / 2! + z^4 / 4! = Summe von n = 0 bis unendlich von (-1)^n / (2n)! * z^(2n) = (e^(iz) + e^(-i * z)) / 2
exp(iz) = cos(z) + i*sin(z)

Question 49

Trigonometrische Funktionen Rechenregeln

Answer 49

sin(2z) = 2sin(z)cos(z)
cos(2z) = cos^2(z)-sin^2(z) = 1-2sin^2(z) = 2cos^2(z) -1

Question 50

Pi

Answer 50

e^2πi = 1
e^πi = -1
e^πi/2 = i
e^3πi/2 = -I
e^πi/4 = 1/Wurzel(2) + i/Wurzel(2)

Question 51

Tangens

Answer 51

sin(z) / cos(z)

cotan(z) = cos(z) / sin(z)

Question 52

Hyperbolische Funktionen

Answer 52

Gleich wie trigonometrische Funktionen ohne i / ohne -Ableitung / Stammfunktion ist jeweils die andere Funktion
Additionsformeln auch gleich

Question 53

Differenzierbarkeit

Answer 53

f differenzierbar bei a:

Grenzwert lim h->0 (f(a+h) - f(a)) / h existiert.=> Stetigkeit

Question 54

Rechenregeln Ableitung

Answer 54

(f + g)′(a) = f′(a) + g′(a)

(fg)′(a) = f′(a)g(a) + f(a)g′(a)

(g ◦ f)′(x0) = g′(f(x0))*f′(x0)

(f/g)‘(a) = (f′(a)*g(a) − f(a)*g′(a)) / g(a)^2

(f^(-1))‘ = 1 / f‘

Question 55

Extremum

Answer 55

D⊆R Teilmenge und x0∈D
Eine Funktion f:D→R
nimmt ein lokales Maximum in x0 an, falls es eine Umgebung U von x0 auf D gibt in der f durch f(x0) beschränkt ist:

Es gibt δ>0, s.d. für alle
x∈D∩(x0−δ,x0+δ): f(x)≤f(x0).

Falls es sogar ein
δ>0 gibt, s.d
f(x) < f(x0) für alle x∈D∩(x0−δ,x0+δ){x0}, dann nimmt f in x0 ein isoliertes lokales Maximum an.
Der Wert f(x0) wird auch ein lokales Maximum von f genannt.
Ein lokales Minimum und ein isoliertes lokales Minimum wird analog definiert.

Des Weiteren sagen wir, dass f in x0 ein lokales Extremum annimmt und f(x0) ein lokaler Extremwert von f
ist, falls f ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum in x0 annimmt.

Question 56

Stetige Differenzierbarkeit

Answer 56

Ist f stetig diffbar so ist f‘ stetig.

Question 57

Satz von Rolle

Answer 57

Sei f stetig und differenzierbar auf (a,b) falls f(a) = f(b) so existiert ein k mit f‘(k) = 0

Question 58

Beweis Satz von Rolle EDIT

Answer 58

Nach Extremwertsatz nimmt f auf [a.b] max und min an. Falls die entsprechenden xmin / xmax element (a,b) so ist dort f‘ = 0, mit ξ = xmin / xmax. Sind xmin / xmax die Endpunkte so ist die Funktion konstant und f‘ = 0 überall.

Question 59

Mittelwertsatz

Answer 59

Sei f auf [a, b] (kompaktes Intervall) stetig, die auf offenem Intervall (a,b) stetig diff.bar,
so existiert ein k ∈ (a,b) mit

f(k)= (f(b) - f(a)) / (b-a)

= durchschnittlicher Steigung zwischen f(a) und f(b)

Question 60

Beweis Mittelwertsatz

Answer 60

Sei F(x) = f(x) - (f(b) − f(a)) * (x-a) / (b - a). Setzt man a oder b ein so ergibt sich f(a). Somit sind die Endpunkte gleich und aus dem Satz von Rolle folgt das Theorem.

Question 61

Konvexität EDIT

Answer 61

Sei I ein Intervall und f eine Funktion auf I.

f ist konvex falls für alle x0, x1 und t element (0,1) f(1 - tx0 + tx1) <= (1 - t)f(x0) + tf(x1)

F konvex wenn f‘ (streng) monoton wachsend

Question 62

Erweiterter Mittelwertsatz

Answer 62

Seien f, g stetig auf [a,b] und auf (a,b) diffbar so existiert ein ξ ∈ (a, b) mit g′(ξ)(f(b) − f(a)) = f′(ξ)(g(b) − g(a))

Question 63

Beweis erweiterter Mittelwertsatz

Answer 63

Sei F(x) = g(x)*(f(b) − f(a)) − f(x)*(g(b) − g(a)).
Es folgt F(a) = F(b) und nach dem Satz von Rolle folgt die Existenz von ξ ∈ (a, b) mit F‘(ξ) = 0.

Question 64

Regel von de l‘Hopital

Answer 64

Ist der Grenzwert von f(x) / g(x) = 0 / 0 oder unendlich durch unendlich so ist er gleich dem Grenzwert f‘(x) / g‘(x)

Question 65

Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung

Answer 65

Ableitung des Integrals

Berechnung des Integrals

Integral der Ableitung

Question 66

Theorem Ableitung des Integrals & Beweis

Answer 66

Sei f auf [a,b] R-intbar, bei x0 stetig und sei F(x) das Integral von a nach x von f so ist F‘(x0) = f(x0).

Beweis:
 Sei ε > 0. Es existiert ein δ > 0 mit |f(x) − f(x0)| < ε.

(F(x) - F (x0)) / (x - x0) - f(x0) nach Umformung ergibt sich <= 1/(x - x0) * Integral von x0 bis x von ε = ε. Dies führt man einmal für x ∈ (x0, x0 + δ) ∩ [a, b] und einmal für ∈ (x0 - δ, x0) ∩ [a, b]. Da epsilon beliebig war folgt der Satz.

Question 67

Partikuläre Integral + Korollare (Ableitung des Integrals, Form der Stammfunktion, Berechnung und Integral der Ableitung)

Answer 67

Sei f auf [a, b] (kompaktes Intervall in ℝ mit Endpunkten a < b) eine R-Intbar Funktion.

Das partikuläre Integral bzw. Das Integral mit veränderlicher oberer Grenze ist:
x ∈ [a, b]→ ∫ₐˣ f(t) dt (*)

Falls f bei x₀∈ [a, b] stetig so ist (*) bei x₀ diff‘bar und F‘(x₀) = f(x₀)

Falls f ∈ C([a, b]) stetig, dann ist (*) eine Stammfunktion von f und jede Stammfunktion
F: [a, b] → ℝ von f hat die Form

F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt + C
∀x ∈ [a, b] und eine Konstante C ∈ ℝ

Falls F: [a, b] → ℝ Stammfunktion von f:
∫ₐˣ f(t) dt = F(b) - F(a)

Falls F ∈ C¹([a, b]) stetig diff‘bar dann

F(x) = F(a) + ∫ₐˣ F‘(t) dt

Question 68

Korollar Berechnung des Integrals

Answer 68

Sei f auf [a,b] stetig, ist F auf [a,b] eine Stammfunktion von f so ist das Integral von a nach b von f = F(b) - F(a).

Question 69

Korollar Integral der Ableitung

Answer 69

Sei F auf [a,b] stetig diffbar so gilt F(x) = F(a) + Integral von a nach x von F‘

Question 70

Taylor-Approximation / -Reihe

Answer 70

Summe von k=0 bis n (oder unendlich) der k-ten Ableitung von f bei x0 mal (x - x0)^k durch k!.

Question 71

Theorem Taylor

Answer 71

Sei f auf [a,b] eine (n+1)-mal stetig diffbare Funktion und sei x0 ∈ (a, b), so gilt für alle x ∈ (a, b):

f(x) = P (x) + R (x). dabei ist P die n-te Taylor-Approximation und R der Fehlerterm gegeben durch:
Integral von x0 nach x von der (n+1)-ten Ableitung von f bei t * (x-t)^n durch n!.

Question 72

Theorem Taylor Beweis

Answer 72

Induktion

n = 0; Fundamentalsatz der Diff- und Intrechnung:

f(x) = f(x0) + Integral von x0 nach x von f‘ = P1(x) + R1(x).

n = 0; Partielle Integration auf obiges Integral mit u(t) = f′(t) und v(t) = t − x ergibt sich:

f(x) = f(x0) + [f‘(t)(t-x)] von x0 bis x - Integral von x0 nach x von f‘‘(t) * (t-x) dt

= f(x0) + f‘(x0)(x−x0) + Integral von x0 nach x von f‘‘(t) + (x-t)^1 / 1!

= P1(x) + R1(x)
Aus Induktionsvoraussetzung folgt:

f(x) = Summe von k=0 bis n-1 von der k-ten Ableitung von f(x0) + (x-x0)^k / k! + Integral von x0 nach x von der n-ten Ableitung von f(t) + (x-t)^n-1 / (n-1)! dt für x element (a,b)
Mit u(t) = n-te Ableitung von f(t) und v(t) = -(x-t)^n / n!, ist v‘(t) = (x-t)^n-1 / (n-1)! und mit partieller Integral ergibt sich:

f(x) = Summe von k=0 bis n-1 von der k-ten Ableitung von f(x0) + (x-x0)^k / k! - [n-te Ableitung von f(t) + (x-t)^n / n!] x0 nach x + Integral von x0 nach x von der n+1-ten Ableitung von f(t) * (x-t)^n / n! dt

= Summe von k=0 bis n von der k-ten Ableitung von f(x0) + (x-x0)^k / k! + Integral von x0 nach x von der n+1-ten Ableitung von f(t) * (x-t)^n / n! dt

Question 73

Cauchy-Schwarz Ungleichung

Answer 73

Question 74

Cauchy-Schwarz Ungleichung Beweis

Answer 74

Question 75

Skizzieren Sie in 1-2 Sätzen einen Beweis für die Überabzählbarkeit des Intervalles [0, 1].

Answer 75

Wäre {xn : n ∈ N} eine Abzählung von [0, 1], so definiert man sich ein (abgeschlossenes) Intervall I(1) (mit nicht-leerem Inneren), welches x1 nicht enthält, ein Intervall I(2), welches in I(1) liegt und x2 nicht enthält und so weiter. Nach dem Intervallschachtelungsprinzip enthält der Schnitt von j= 1 bis ∞ der I(j) dann Punkte, welche widersprüchlicherweise nicht von der Form
xn sind für ein n ∈ N.