analyse partiel

Question 1

énoncer l’inégalité des accroissements finis

Answer 1

. f est continue sur [a;b]
. f est dérivable sur ]a;b[
. f est bornée sur ]a;b[
Alors f’(x)<= M ou f(b)-f(a)<=M(b-a)

Question 2

croissances comparées

Answer 2

Pour ln: Lim en +infini de ln/x=0 Lim en 0+ de xln(x)= 0
Pour exp: Lim en +infini de exp/x= +infini Lim en -infini de xexp(x)=0

Question 3

Enoncé théorème bijection

Answer 3

. f est continue et strict monotone sur I
. Sa fonction réciproque est alors elle aussi monotone et de même sens de variation

Question 4

Dérivée en un point

Answer 4

Lim vers ce point de (f(x)-f(0))/x-0 = l

Question 5

dérivées de 1/x , xn , 1/v , un

Answer 5

-1/x2 , n.nn-1 , -v’/v2 , nu’un-1

Question 6

définition d’un extrémum local

Answer 6

. a est un pt critique de f si f’(x)=0
. si f’(a) s’annule en a en changeant de signe, alors f(a) est un extremum local

Question 7

Enonce théorème de Rolle

Answer 7

soit f:[a,b] donnant sur R telle que:
. f est continue sur I
. f est dérivable sur ]a,b[ = I
. f(a)=f(b)
Alors il existe un c appartenant à I telle que f’(c)=0

Question 8

Théorème des accroissements finis

Answer 8

. f est ctn sur [a,b]
. f est dérivable sur ]a,b[
Alors il existe un c appartenant à ]a,b[ tel que f(b)-f(a)=f’(c)(b-a)

Question 9

fonction cosinus

Answer 9

Df: de R dans [-1;1] =I
Var: ctn et strict monotone dans I (donc bijective)
Dérivabilité: sur R

Question 10

arccos

Answer 10

Df: de [-1;1] dans R =I
Var: ctn et strict décroissante sur I
Dd: sur ]-1;1[
Dérivée: -1/racine carré de 1-x**2

Question 11

sinus

Answer 11

Df: R (ou [-pi/2; pi/2]) dans [-1;1]=I
Var: ctn et strict croissante sur I
Dd: sur R

Question 12

arcsin

Answer 12

Df: [-1;1] dans R (ou [-pi/2; pi/2])
Var: ctn et strict croissante sur I
Dd: sur ]-1;1[
Dérivée: 1/racine carrée de 1-x**2

Question 13

tan

Answer 13

Df: ]-pi/2;pi/2[ dans R =I
var: ctn et strict croiss sur I
Dd: sur ]-pi/2;pi/2[
Dérivée: 1/cos2(x) = 1+tan2(x)

Question 14

arctan

Answer 14

Df: de R dans ]-pi/2;pi/2[ =I
var: stn et strict croiss sur I
Dd: sur R
dérivée: 1/1+x**2

Question 15

tan(arctan(x))=… sur …
sin(arccos(x))= … sur …
tan(arccos(x))= … sur …
arcsin(sin(x))=… sur …
arccos(cos(x))=… sur …

Answer 15

x sur R
racine de 1-x2 sur ]-pi/2;pi/2[
(racine de 1-x2) /x sur [-1;1]{0}
x sur [-pi/2;pi/2]
x sur R

Question 16

ch+sh= …
ch-sh=…
ch2-sh2=…
ch(0)=… et sh(0)=…
th(0)=…
th(a+b)=…
var de th ?
th’(x)=
th(2x)=
sh(2x)=
ch(x)=

Answer 16

exp(x)
exp(-x)
1
1 et 0
0
(th(a)+th(b)) / 1+th(a).th(b)
impaire
1/ch2 ou 1-th2(x)
2th(x) / 1+th2(x)
2sh(x)ch(x)
2ch2-1 ou 2sh**2+1

Question 17

résoudre une équation du type arccos(cos(x))= pi/9

Answer 17

. Vérifier que pi/9 appartienne au Df
. alors x= pi/9+2kpi
. vérifier parité: cos (-pi/9) = cos (pi/9)
CCL: s={ -pi/9 +2kpi ; pi/9 +2kpi }

Question 18

dérivée de la fonction réciproque

Answer 18

1/f’(f-1(x))