Analyse - Chap 1 Flashcards
Une partie I de ℝ est un intervalle si, …….
Une partie I de ℝ est un intervalle si, pour tout réel a et pour tout réel b de I, tout réel t entre a et b est un élément de I.
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤ x ≤b est …………….?
On le note …………..
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤x ≤b est l’intervalle fermé de bornes a et b.
On le note [a, b].
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a <x <b Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤ x ≤b est …………….?
On le note ……?
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a <x <b est l’intervalle fermé de bornes a et b.
On le note ]a, b [.
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤ x < b est …?
On le note …?
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤ x < b est l’intervalle semi-fermé (ou semi-ouvert de bornes a et b).
On le note [a, b[
Soit a un réel. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤ x est l’intervalle …..?
Soit a un réel. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤ x est l’intervalle semi- fermé noté [a, +∞[
Qu’appelle-t-on voisinage du réel a?
On appelle voisinage du réel a tout intervalle ouvert qui contient a.
Qu’appelle-t-on voisinage de +∞ ?
On appelle voisinage de +∞ tout intervalle ouvert ]A, +∞[, où A est un réel.
Qu’appelle-t-on voisinage de -∞ ?
On appelle voisinage de -∞ tout intervalle ouvert ]- ∞, A[, où A est un réel.
L’ensemble vide est-il un intervalle?
Oui, l’ensemble vide est un intervalle.
En effet Ø = ]5, 5[.
Un singleton est-il un intervalle?
Oui, un singleton est un intervalle.
En effet {a} = [a, a].
L’ensemble ℝ est-il ouvert ou fermé?
L’ensemble ℝ est à la fois ouvert et fermé.
L’intervalle ]- ∞, +∞[ est-il ouvert ou fermé?
L’intervalle ]- ∞, +∞[ est à la fois ouvert et fermé.
Quel est l’intervalle de l’ensemble ℝ?
L’ensemble ℝ est l’intervalle ]- ∞, +∞[.
Il est à la fois ouvert et fermé.
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b.
Citer les intervalles ouverts.
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b.
Les intervalles ouverts sont les intervalles :
]a, b[, ] -∞, b[ , ]a, +∞[ et ] - ∞, +∞[.
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b.
Citer les intervalles fermés.
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b.
Les intervalles fermés sont les intervalles :
[a, b] , ] - ∞, b] , [a, +∞[ et ] - ∞, +∞[.
L’ensemble ]π, 160[ est-il un intervalle ouvert ou fermé?
Intervalle ouvert
L’ensemble ] −∞, −0.25[ est-il un intervalle ouvert ou fermé?
Intervalle ouvert
L’ensemble [10 ; 15] est-il un intervalle ouvert ou fermé?
Intervalle fermé
L’ensemble [−1, + ∞[ est-il un intervalle ouvert ou fermé?
Intervalle fermé
L’ensemble ]4 ; 8] est-il ouvert ou fermé?
L’ensemble ]4 ; 8] est un intervalle. Il est « ouvert en 4 et fermé en 8 ». Il n’est ni ouvert, ni fermé.
L’ensemble E = ]−4; −2[ ∪ ]2; 9[ est-il ouvert ou fermé?
L’ensemble E = ]−4; −2[ ∪ ]2; 9[ n’est pas un intervalle; en effet, −2,5 ∈ E et 2,5 ∈ E e t 0 ∉ E .
Savoir et savoir-faire attendus
Être capable de penser une inégalité entre réels en termes d’intervalles ou en termes de distance.
L’ensemble des couples (x,f(x)) est le ?
L’ensemble des couples (x,f(x)) est le graphe de f.
Qu’est-ce-que le graphe de f?
L’ensemble des couples (x,f(x)) est le graphe de f.
Soit A et B deux sous-ensembles de ℝ. Définir une fonction f de A dans B
Soit A et B deux sous-ensembles de ℝ. Une fonction f de A dans B est un processus (ou correspondance) qui, à tout élément de A associe au plus un élément de B.
Soit A et B deux sous-ensembles de ℝ. Définir une application f de A dans B.
Soit A et B deux sous-ensembles de ℝ. Une application f de A dans B est un processus qui, à tout élément de A associe exactement un élément de B.
Que peut-on dire?
On peut dire « f est une fonction numérique de variable réelle ».
Comment note-on : “f est une fonction numérique de variable réelle.”
A l’oral, lorsque l’ensemble de départ est E et qu’il n’y a pas d’ambiguïté sur l’ensemble d’arrivée, que peut-on dire d’une fonction f?
On peut dire « f est une fonction définie sur l’ensemble E »
A l’oral, lorsque l’ensemble d’arrivée est F et qu’il n’y a pas d’ambiguïté sur l’ensemble de départ, que peut-on dire d’une fonction f?
on peut dire « f est une fonction à valeurs dans F »
Nom de cette application
Application nulle
Application nulle
Application identité
Nom de cette application
Application identité
Application inverse
Attention à R*
Nom de cette application
Application inverse
Une fonction est-il un nombre réel?
NON
Qu’est-ce-qu’un suite numérique?
Une suite numérique est une application de N dans R.
Définition fonction affine
Définition de l’inverse du réel a.
L’inverse du réel a est le réel a’ tel que aa’ = 1
Autre nom de l’application inverse?
Application réciproque
La somme de f et de g, notée f + g est l’application définie par ?
Soit f et g deux applications.
(f + g)(x) = f(x) + g(x).
Le produit de f et de g, noté f.g ou fg est l’application définie par ?
Soit f et g deux applications.
(fg)(x) = f(x) x g(x).
Soit f et g deux applications.
Dans les définitions des fonctions, le symbole «+» a deux significations. Lesquels?
- L’addition des fonctions dans l’écriture f + g
- L’addition des réels dans l’écriture f (x) + g(x).
Ainsi pour définir l’addition dans l’ensemble des fonctions, quelle définition de l’addition utilise-t-on?
Ainsi pour définir l’addition dans l’ensemble des fonctions, on utilise la définition de l’addition des images des réels x, c’est-à-dire l’addition dans l’ensemble d’arrivée.
Quelles sont les opérations qui confèrent à ℝ sa structure de corps?
Les opérations qui confèrent à ℝ sa structure de corps ordonné sont l’addition notée + et la multiplication notée . ou x.
Définition de la composition de deux fonctions.
Soit f et g deux applications numériques.
La composée de f et de g, notée f ∘ g est l’application définie par (f ∘ g)(x) = f (g(x)).
Définition application réciproque
Soit f une application définie sur l’ensemble A à valeurs dans l’ensemble B. L’application g, si elle existe, définie de l’ensemble B à valeurs dans l’ensemble A vérifiant f ∘ g = g ∘ f = I (lettre i) s’appelle application réciproque de f.
On note souvent :
Quelle est l’application réciproque de l’application identité ?
Quelle est l’application réciproque de l’application inverse?
L’application réciproque de l’application inverse est elle-même. En effet f:
Quelle est l’application réciproque de la fonction exponentielle?
La fonction ln
L’inverse de l’application qui est en fait l’application réciproque est :
L’inverse de f qui porte sur l’inverse pour la multiplication dans l’ensemble des images est :
Définition Fonction paire
La fonction f est paire si et seulement si : pour tout x dans Df nous avons :
Définition Fonction impaire
La fonction f est impaire si et seulement si : pour tout x dans Df nous avons :
Définition Fonction périodique
La fonction f est dite périodique de période T si et seulement si : pour tout x dans Df nous avons :
Si f est une fonction paire ou si f est une fonction impaire, comment est son ensemble de définition par rapport à l’origine ?
Si f est une fonction paire ou si f est une fonction impaire, nécessairement son ensemble de définition est symétrique par rapport à l’origine.
L’adjectif pair est polysémique. Expliquez.
En effet un entier est pair lorsqu’il est divisible par deux et une fonction est paire lorsqu’elle vérifie la propriété d’une fonction paire.
maximum local
La fonction f présente un maximum local en x0 lorsqu’il existe un voisinage de x0 contenu dans I noté Vx0, tel que, pour tout x dans Vx0,
minimum local
La fonction f présente un minimum local en x0 lorsqu’il existe un voisinage de x0 contenu dans I noté Vx0, tel que, pour tout x dans Vx0,
Les extrema locaux de f sont les ____ et les ____ locaux
Les extrema locaux de f sont les minima et les maxima locaux
Les minima et maxima locaux de f s’appellent les ____
Les extrema locaux de f
Si ces inégalités sont vraies pour tout x ∈ I, que dit-on?
Si ces inégalités sont vraies pour tout x ∈ I on dit que f présente en x0 un maximum (resp. minimum) global de la fonction f.
Si ces inégalités sont strictes, que dit-on de f ?
Si ces inégalités sont strictes on dit que f présente en x0 un maximum (respectivement minimum) local strict.
Remarque de vocabulaire
Soit x0 tel que pour tout x voisin de x0 et dans l’ensemble de définition de f, on a f(x) ≥ f(x0). On dit que …?
On dit que:
* f présente un maximum en x0
OU
* f(x0) est la valeur maximale de f
OU
* la courbe représentative de f présente un maximum au point (x0,f(x0)).
Fonction croissante
La fonction f est croissante sur I lorsque, pour tout x et y dans I tels que x < y, alors f(x) ≤ f(y).
Elle est strictement croissante lorsque f(x) < f(y) dès que x < y.
Fonction décroissante
La fonction f est décroissante sur I lorsque, pour tout x et y dans I tels que x < y, alors f(x) ≥ f(y).
Elle est strictement croissante lorsque f(x) > f(y) dès que x < y.
Fonction monotone
La fonction f est dite monotone sur I quand elle est soit croissante soit décroissante sur I.
La propriété de croissance (ou de décroissance) d’une fonction f dépend-elle ?
La propriété de croissance (ou de décroissance) d’une fonction f dépend de son expression et de l’ensemble sur laquelle on la considère.
Si la fonction est croissante, sa dérivée est ?
positive
si une fonction dérivable a une dérivée positive, alors la fonction f est ?
Croissante
Attention : Cette propriété est vraie uniquement si l’ensemble de définition considéré est un intervalle.
Qu’est-ce-qui est essentiel pour le passage des propriétés locales aux propriétés globales ?
Nous parlons de fonctions
La structure d’intervalle est essentielle pour le passage des propriétés locales aux propriétés globales.
Croissante ou décroissante?
croissante
Croissante ou décroissante?
décroissante
Croissante ou décroissante?
ni croissante, ni décroissante
Croissante ou décroissante?
croissante ET décroissante
Croissante ou décroissante?
décroissante
Croissante ou décroissante?
décroissante et strictement décroissante
Croissante ou décroissante?
ni croissante, ni décroissante
Les fonctions périodiques non constantes admettent-elles une limites en ±∞?
NON
