Analyse - Chap 1 Flashcards
Une partie I de ℝ est un intervalle si, …….
Une partie I de ℝ est un intervalle si, pour tout réel a et pour tout réel b de I, tout réel t entre a et b est un élément de I.
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤ x ≤b est …………….?
On le note …………..
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤x ≤b est l’intervalle fermé de bornes a et b.
On le note [a, b].
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a <x <b Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤ x ≤b est …………….?
On le note ……?
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a <x <b est l’intervalle fermé de bornes a et b.
On le note ]a, b [.
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤ x < b est …?
On le note …?
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤ x < b est l’intervalle semi-fermé (ou semi-ouvert de bornes a et b).
On le note [a, b[
Soit a un réel. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤ x est l’intervalle …..?
Soit a un réel. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤ x est l’intervalle semi- fermé noté [a, +∞[
Qu’appelle-t-on voisinage du réel a?
On appelle voisinage du réel a tout intervalle ouvert qui contient a.
Qu’appelle-t-on voisinage de +∞ ?
On appelle voisinage de +∞ tout intervalle ouvert ]A, +∞[, où A est un réel.
Qu’appelle-t-on voisinage de -∞ ?
On appelle voisinage de -∞ tout intervalle ouvert ]- ∞, A[, où A est un réel.
L’ensemble vide est-il un intervalle?
Oui, l’ensemble vide est un intervalle.
En effet Ø = ]5, 5[.
Un singleton est-il un intervalle?
Oui, un singleton est un intervalle.
En effet {a} = [a, a].
L’ensemble ℝ est-il ouvert ou fermé?
L’ensemble ℝ est à la fois ouvert et fermé.
L’intervalle ]- ∞, +∞[ est-il ouvert ou fermé?
L’intervalle ]- ∞, +∞[ est à la fois ouvert et fermé.
Quel est l’intervalle de l’ensemble ℝ?
L’ensemble ℝ est l’intervalle ]- ∞, +∞[.
Il est à la fois ouvert et fermé.
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b.
Citer les intervalles ouverts.
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b.
Les intervalles ouverts sont les intervalles :
]a, b[, ] -∞, b[ , ]a, +∞[ et ] - ∞, +∞[.
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b.
Citer les intervalles fermés.
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b.
Les intervalles fermés sont les intervalles :
[a, b] , ] - ∞, b] , [a, +∞[ et ] - ∞, +∞[.
L’ensemble ]π, 160[ est-il un intervalle ouvert ou fermé?
Intervalle ouvert
L’ensemble ] −∞, −0.25[ est-il un intervalle ouvert ou fermé?
Intervalle ouvert
L’ensemble [10 ; 15] est-il un intervalle ouvert ou fermé?
Intervalle fermé
L’ensemble [−1, + ∞[ est-il un intervalle ouvert ou fermé?
Intervalle fermé
L’ensemble ]4 ; 8] est-il ouvert ou fermé?
L’ensemble ]4 ; 8] est un intervalle. Il est « ouvert en 4 et fermé en 8 ». Il n’est ni ouvert, ni fermé.
L’ensemble E = ]−4; −2[ ∪ ]2; 9[ est-il ouvert ou fermé?
L’ensemble E = ]−4; −2[ ∪ ]2; 9[ n’est pas un intervalle; en effet, −2,5 ∈ E et 2,5 ∈ E e t 0 ∉ E .
Savoir et savoir-faire attendus
Être capable de penser une inégalité entre réels en termes d’intervalles ou en termes de distance.
L’ensemble des couples (x,f(x)) est le ?
L’ensemble des couples (x,f(x)) est le graphe de f.
Qu’est-ce-que le graphe de f?
L’ensemble des couples (x,f(x)) est le graphe de f.
Soit A et B deux sous-ensembles de ℝ. Définir une fonction f de A dans B
Soit A et B deux sous-ensembles de ℝ. Une fonction f de A dans B est un processus (ou correspondance) qui, à tout élément de A associe au plus un élément de B.
Soit A et B deux sous-ensembles de ℝ. Définir une application f de A dans B.
Soit A et B deux sous-ensembles de ℝ. Une application f de A dans B est un processus qui, à tout élément de A associe exactement un élément de B.
Que peut-on dire?
On peut dire « f est une fonction numérique de variable réelle ».
Comment note-on : “f est une fonction numérique de variable réelle.”
A l’oral, lorsque l’ensemble de départ est E et qu’il n’y a pas d’ambiguïté sur l’ensemble d’arrivée, que peut-on dire d’une fonction f?
On peut dire « f est une fonction définie sur l’ensemble E »
A l’oral, lorsque l’ensemble d’arrivée est F et qu’il n’y a pas d’ambiguïté sur l’ensemble de départ, que peut-on dire d’une fonction f?
on peut dire « f est une fonction à valeurs dans F »
Nom de cette application
Application nulle
Application nulle
Application identité
Nom de cette application
Application identité
Application inverse
Attention à R*
Nom de cette application
Application inverse
Définition fonction affine
Soit f et g deux applications.
Définition application réciproque
Soit f une application définie sur l’ensemble A à valeurs dans l’ensemble B. L’application g, si elle existe, définie de l’ensemble B à valeurs dans l’ensemble A vérifiant f ∘ g = g ∘ f = I (lettre i) s’appelle application réciproque de f.
On note souvent :
Quelle est l’application réciproque de l’application identité ?
Quelle est l’application réciproque de l’application inverse?
L’application réciproque de l’application inverse est elle-même. En effet f:
L’inverse de l’application qui est en fait l’application réciproque est :
L’inverse de f qui porte sur l’inverse pour la multiplication dans l’ensemble des images est :
Définition Fonction paire
La fonction f est paire si et seulement si : pour tout x dans Df nous avons :
Définition Fonction impaire
La fonction f est impaire si et seulement si : pour tout x dans Df nous avons :
Définition Fonction périodique
La fonction f est dite périodique de période T si et seulement si : pour tout x dans Df nous avons :
maximum local
La fonction f présente un maximum local en x0 lorsqu’il existe un voisinage de x0 contenu dans I noté Vx0, tel que, pour tout x dans Vx0,
minimum local
La fonction f présente un minimum local en x0 lorsqu’il existe un voisinage de x0 contenu dans I noté Vx0, tel que, pour tout x dans Vx0,
Si ces inégalités sont vraies pour tout x ∈ I, que dit-on?
Si ces inégalités sont vraies pour tout x ∈ I on dit que f présente en x0 un maximum (resp. minimum) global de la fonction f.
Si ces inégalités sont strictes, que dit-on de f ?
Si ces inégalités sont strictes on dit que f présente en x0 un maximum (respectivement minimum) local strict.
Fonction croissante
La fonction f est croissante sur I lorsque, pour tout x et y dans I tels que x < y, alors f(x) ≤ f(y).
Elle est strictement croissante lorsque f(x) < f(y) dès que x < y.
Fonction décroissante
La fonction f est décroissante sur I lorsque, pour tout x et y dans I tels que x < y, alors f(x) ≥ f(y).
Elle est strictement croissante lorsque f(x) > f(y) dès que x < y.
Fonction monotone
La fonction f est dite monotone sur I quand elle est soit croissante soit décroissante sur I.
Croissante ou décroissante?
croissante
Croissante ou décroissante?
décroissante
Croissante ou décroissante?
ni croissante, ni décroissante
Croissante ou décroissante?
croissante ET décroissante
Croissante ou décroissante?
décroissante
Croissante ou décroissante?
décroissante et strictement décroissante
Croissante ou décroissante?
ni croissante, ni décroissante
