Analyse - Chap 1

Question 1

Une partie I de ℝ est un intervalle si, …….

Answer 1

Une partie I de ℝ est un intervalle si, pour tout réel a et pour tout réel b de I, tout réel t entre a et b est un élément de I.

Question 2

Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤ x ≤b est …………….?
On le note …………..

Answer 2

Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤x ≤b est l’intervalle fermé de bornes a et b.
On le note [a, b].

Question 3

Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a <x <b Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤ x ≤b est …………….?

On le note ……?

Answer 3

Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a <x <b est l’intervalle fermé de bornes a et b.
On le note ]a, b [.

Question 4

Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤ x < b est …?
On le note …?

Answer 4

Soit a et b deux réels tels que a ≤ b. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤ x < b est l’intervalle semi-fermé (ou semi-ouvert de bornes a et b).
On le note [a, b[

Question 5

Soit a un réel. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤ x est l’intervalle …..?

Answer 5

Soit a un réel. L’ensemble des réels x vérifiant a ≤ x est l’intervalle semi- fermé noté [a, +∞[

Question 6

Qu’appelle-t-on voisinage du réel a?

Answer 6

On appelle voisinage du réel a tout intervalle ouvert qui contient a.

Question 7

Qu’appelle-t-on voisinage de +∞ ?

Answer 7

On appelle voisinage de +∞ tout intervalle ouvert ]A, +∞[, où A est un réel.

Question 8

Qu’appelle-t-on voisinage de -∞ ?

Answer 8

On appelle voisinage de -∞ tout intervalle ouvert ]- ∞, A[, où A est un réel.

Question 9

L’ensemble vide est-il un intervalle?

Answer 9

Oui, l’ensemble vide est un intervalle.
En effet Ø = ]5, 5[.

Question 10

Un singleton est-il un intervalle?

Answer 10

Oui, un singleton est un intervalle.
En effet {a} = [a, a].

Question 11

L’ensemble ℝ est-il ouvert ou fermé?

Answer 11

L’ensemble ℝ est à la fois ouvert et fermé.

Question 12

L’intervalle ]- ∞, +∞[ est-il ouvert ou fermé?

Answer 12

L’intervalle ]- ∞, +∞[ est à la fois ouvert et fermé.

Question 13

Quel est l’intervalle de l’ensemble ℝ?

Answer 13

L’ensemble ℝ est l’intervalle ]- ∞, +∞[.
Il est à la fois ouvert et fermé.

Question 14

Soit a et b deux réels tels que a ≤ b.
Citer les intervalles ouverts.

Answer 14

Soit a et b deux réels tels que a ≤ b.
Les intervalles ouverts sont les intervalles :
]a, b[, ] -∞, b[ , ]a, +∞[ et ] - ∞, +∞[.

Question 15

Soit a et b deux réels tels que a ≤ b.
Citer les intervalles fermés.

Answer 15

Soit a et b deux réels tels que a ≤ b.
Les intervalles fermés sont les intervalles :
[a, b] , ] - ∞, b] , [a, +∞[ et ] - ∞, +∞[.

Question 16

L’ensemble ]π, 160[ est-il un intervalle ouvert ou fermé?

Answer 16

Intervalle ouvert

Question 17

L’ensemble ] −∞, −0.25[ est-il un intervalle ouvert ou fermé?

Answer 17

Intervalle ouvert

Question 18

L’ensemble [10 ; 15] est-il un intervalle ouvert ou fermé?

Answer 18

Intervalle fermé

Question 19

L’ensemble [−1, + ∞[ est-il un intervalle ouvert ou fermé?

Answer 19

Intervalle fermé

Question 20

L’ensemble ]4 ; 8] est-il ouvert ou fermé?

Answer 20

L’ensemble ]4 ; 8] est un intervalle. Il est « ouvert en 4 et fermé en 8 ». Il n’est ni ouvert, ni fermé.

Question 21

L’ensemble E = ]−4; −2[ ∪ ]2; 9[ est-il ouvert ou fermé?

Answer 21

L’ensemble E = ]−4; −2[ ∪ ]2; 9[ n’est pas un intervalle; en effet, −2,5 ∈ E et 2,5 ∈ E e t 0 ∉ E .

Question 22

Savoir et savoir-faire attendus

Answer 22

Être capable de penser une inégalité entre réels en termes d’intervalles ou en termes de distance.

Question 23

L’ensemble des couples (x,f(x)) est le ?

Answer 23

L’ensemble des couples (x,f(x)) est le graphe de f.

Question 24

Qu’est-ce-que le graphe de f?

Answer 24

L’ensemble des couples (x,f(x)) est le graphe de f.

Question 25

Soit A et B deux sous-ensembles de ℝ. Définir une fonction *f* de A dans B

Answer 25

Soit A et B deux sous-ensembles de ℝ. Une fonction *f* de A dans B est un processus (ou correspondance) qui, à tout élément de A associe au plus un élément de B.

Question 26

Soit A et B deux sous-ensembles de ℝ. Définir une application *f* de A dans B.

Answer 26

Soit A et B deux sous-ensembles de ℝ. Une application *f* de A dans B est un processus qui, à tout élément de A associe exactement un élément de B.

Question 27

Que peut-on dire?

Answer 27

On peut dire « f est une fonction numérique de variable réelle ».

Question 28

Comment note-on : "*f* est une fonction numérique de variable réelle."

Answer 28

Question 29

A l'oral, lorsque l’ensemble de départ est E et qu’il n’y a pas d’ambiguïté sur l’ensemble d’arrivée, que peut-on dire d'une fonction f?

Answer 29

On peut dire « f est une fonction définie sur l’ensemble E »

Question 30

A l'oral, lorsque l’ensemble d’arrivée est F et qu’il n’y a pas d’ambiguïté sur l’ensemble de départ, que peut-on dire d'une fonction f?

Answer 30

on peut dire « f est une fonction à valeurs dans F »

Question 31

Nom de cette application

Answer 31

Application nulle

Question 32

Application nulle

Answer 32

Question 33

Application identité

Answer 33

Question 34

Nom de cette application

Answer 34

Application identité

Question 35

Application inverse

Answer 35

## Footnote Attention à R*

Question 36

Nom de cette application

Answer 36

Application inverse

Question 37

Une fonction est-il un nombre réel?

Answer 37

NON

Question 38

Qu'est-ce-qu'un suite numérique?

Answer 38

Une suite numérique est une application de N dans R.

Question 39

Définition fonction affine

Answer 39

Question 40

Définition de l’inverse du réel a.

Answer 40

L’inverse du réel a est le réel a' tel que aa' = 1

Question 41

Autre nom de l'application inverse?

Answer 41

Application réciproque

Question 42

La somme de f et de g, notée f + g est l’application définie par ? ## Footnote Soit f et g deux applications.

Answer 42

(f + g)(x) = f(x) + g(x).

Question 43

Le produit de f et de g, noté f.g ou fg est l’application définie par ? ## Footnote Soit f et g deux applications.

Answer 43

*(fg)(x)* = *f(x)* x *g(x)*.

Question 44

## Footnote Soit f et g deux applications.

Answer 44

Question 45

Dans les définitions des fonctions, le symbole «+» a deux significations. Lesquels?

Answer 45

1. L’addition des fonctions dans l’écriture f + g 2. L’addition des réels dans l’écriture f (x) + g(x).

Question 46

Ainsi pour définir l’addition dans l’ensemble des fonctions, quelle définition de l’addition utilise-t-on?

Answer 46

Ainsi pour définir l’addition dans l’ensemble des fonctions, on utilise la définition de l’addition des images des réels *x*, c’est-à-dire l’addition dans l’ensemble d’arrivée.

Question 47

Quelles sont les opérations qui confèrent à ℝ sa structure de corps?

Answer 47

Les opérations qui confèrent à ℝ sa structure de corps ordonné sont l’addition notée + et la multiplication notée . ou x.

Question 48

Définition de la composition de deux fonctions.

Answer 48

Soit f et g deux applications numériques. La composée de f et de g, notée f ∘ g est l’application définie par (f ∘ g)(x) = f (g(x)).

Question 49

Définition application réciproque

Answer 49

Soit f une application définie sur l’ensemble A à valeurs dans l’ensemble B. L’application g, si elle existe, définie de l’ensemble B à valeurs dans l’ensemble A vérifiant f ∘ g = g ∘ f = I (lettre i) s’appelle *application réciproque* de f. On note souvent :

Question 50

Quelle est l’application réciproque de l’application identité ?

Answer 50

Question 51

Quelle est l'application réciproque de l'application inverse?

Answer 51

L’application réciproque de l’application inverse est elle-même. En effet *f*:

Question 52

Quelle est l’application réciproque de la fonction exponentielle?

Answer 52

La fonction ln

Question 53

L’inverse de l’application qui est en fait l'application réciproque est :

Answer 53

Question 54

L’inverse de f qui porte sur l’inverse pour la multiplication dans l’ensemble des images est :

Answer 54

Question 55

Définition Fonction paire

Answer 55

La fonction f est paire si et seulement si : pour tout x dans Df nous avons :

Question 56

Définition Fonction impaire

Answer 56

La fonction f est impaire si et seulement si : pour tout x dans Df nous avons :

Question 57

Définition Fonction périodique

Answer 57

La fonction f est dite périodique de période T si et seulement si : pour tout x dans Df nous avons :

Question 58

Si f est une fonction paire ou si f est une fonction impaire, comment est son ensemble de définition par rapport à l’origine ?

Answer 58

Si f est une fonction paire ou si f est une fonction impaire, nécessairement son ensemble de définition est **symétrique par rapport à l’origine**.

Question 59

L’adjectif pair est polysémique. Expliquez.

Answer 59

En effet un entier est pair lorsqu’il est divisible par deux et une fonction est paire lorsqu’elle vérifie la propriété d'une fonction paire.

Question 60

maximum local

Answer 60

La fonction f présente un **maximum local** en x₀ lorsqu’il existe un voisinage de x₀ contenu dans I noté V_x0, tel que, pour tout x dans V_x0,

Question 61

minimum local

Answer 61

La fonction f présente un **minimum local** en x₀ lorsqu’il existe un voisinage de x₀ contenu dans I noté V_x0, tel que, pour tout x dans V_x0,

Question 62

Les extrema locaux de *f* sont les _\_\_\_ et les _\_\_\_ locaux

Answer 62

Les extrema locaux de *f* sont les minima et les maxima locaux

Question 63

Les minima et maxima locaux de *f* s'appellent les _\_\_\_

Answer 63

Les extrema locaux de *f*

Question 64

Si ces inégalités sont vraies pour tout x ∈ I, que dit-on?

Answer 64

Si ces inégalités sont vraies pour tout x ∈ I on dit que *f* présente en x₀ un maximum (resp. minimum) global de la fonction *f*.

Question 65

Si ces inégalités sont strictes, que dit-on de *f* ?

Answer 65

Si ces inégalités sont strictes on dit que *f* présente en x₀ un maximum (respectivement minimum) local strict.

Question 66

# Remarque de vocabulaire Soit x₀ tel que pour tout x voisin de x₀ et dans l’ensemble de définition de f, on a f(x) ≥ f(x₀). On dit que ...?

Answer 66

On dit que: * f présente un maximum en x₀ OU * f(x₀) est la valeur maximale de f OU * la courbe représentative de f présente un maximum au point (x₀,f(x₀)).

Question 67

Fonction croissante

Answer 67

La fonction *f* est croissante sur *I* lorsque, pour tout *x* et *y* dans *I* tels que *x* < *y*, alors *f*(*x*) ≤ *f*(*y*). Elle est strictement croissante lorsque *f*(*x*) < *f*(*y*) dès que *x* < *y*.

Question 68

Fonction décroissante

Answer 68

La fonction *f* est décroissante sur *I* lorsque, pour tout *x* et *y* dans *I* tels que *x* < *y*, alors *f*(*x*) ≥ *f*(*y*). Elle est strictement croissante lorsque *f*(*x*) > *f*(*y*) dès que *x* < *y*.

Question 69

Fonction monotone

Answer 69

La fonction *f* est dite monotone sur *I* quand elle est soit croissante soit décroissante sur *I*.

Question 70

La propriété de croissance (ou de décroissance) d’une fonction *f* dépend-elle ?

Answer 70

La propriété de croissance (ou de décroissance) d’une fonction *f* dépend de **son expression** et de **l’ensemble** sur laquelle on la considère.

Question 71

Si la fonction est croissante, sa dérivée est ?

Answer 71

positive

Question 72

si une fonction dérivable a une dérivée positive, alors la fonction *f* est ?

Answer 72

Croissante Attention : Cette propriété est vraie uniquement si l’ensemble de définition considéré est un intervalle.

Question 73

Qu'est-ce-qui est essentiel pour le passage des propriétés locales aux propriétés globales ? | Nous parlons de fonctions

Answer 73

**La structure d’intervalle** est essentielle pour le passage des propriétés locales aux propriétés globales.

Question 74

Croissante ou décroissante?

Answer 74

croissante

Question 75

Croissante ou décroissante?

Answer 75

décroissante

Question 76

Croissante ou décroissante?

Answer 76

ni croissante, ni décroissante

Question 77

Croissante ou décroissante?

Answer 77

croissante ET décroissante

Question 78

Croissante ou décroissante?

Answer 78

décroissante

Question 79

Croissante ou décroissante?

Answer 79

décroissante et strictement décroissante

Question 80

Croissante ou décroissante?

Answer 80

ni croissante, ni décroissante

Question 81

Les fonctions périodiques non constantes admettent-elles une limites en ±∞?

Answer 81

NON