Algèbre - Logique Flashcards
Définition 1 (Ensemble, élément).
Une collection d’objets distincts se nomme ensemble lorsqu’on peut savoir sans ambiguïté si tel objet, bien déterminé, est dans la collection ou n’y est pas.
On dit alors que chaque objet de cet ensemble est un élément de l’ensemble.
Il existe deux façons de définir un ensemble abstrait E :
- En extension : en citant entre accolades tous les éléments de l’en-
semble, une fois et une fois seulement. - En compréhension : en écrivant entre accolades l’élément générique x suivi d’une propriété caractérisant les éléments de l’ensemble (c’est-à-dire vérifiée par eux et par eux seuls).
Definition d’un ensemble en extension. Exemple :
E = {−1, 1, 2, 3}
Définition d’un ensemble en en compréhension. Exemples.
a) E = {−1, 1, 2, 3}
b) F, ensemble des entiers naturels impairs s’écrit :
c) G, ensemble des couples de réels inverses l’un de l’autre, s’écrit :
(a) E = {x ∈ Z, (x + 1)(x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0}
(b) F ={n∈N; il existe m∈N,n=2m+1}
(c) G = {(x, y) ∈ R2 ; xy = 1}
Définition 2
Singleton, paire
Un ensemble n’ayant qu’un seul élément x se note {x} et s’appelle un singleton.
Un ensemble ayant exactement deux éléments a et b se note {a, b} et s’appelle une paire.
On écrit : x ∈ {x} en distinguant ________ x et _________ {x}
On écrit : x ∈ {x} en distinguant l’élément x et l’ensemble {x}
Definition ensemble vide.
On admet l’existence d’un ensemble ne contenant aucun élément. Il est
appelé ensemble vide et noté ∅.
Donner 2 exemples d’ensemble vide.
{x∈R;x2 <0}=∅;
{n∈N;0<n<1}=∅.
Définition 3 (Ensemble fini, cardinal d’un ensemble).
On note : n = _______
Un ensemble qui n’est pas fini est dit _______.
∅ n’a pas d’élément. On dit que son cardinal est_______
Un ensemble E ayant un nombre n d’éléments, n ∈ N, est dit fini et n est appelé cardinal de E.
On note : n = card(E).
Un ensemble qui n’est pas fini est dit infini.
∅ n’a pas d’élément. On dit que son cardinal est nul.
?
• card({x}) = ?
• card({x}) = 1;
card({a,b}) = ?
card({a,b}) = 2
N est un ensemble fini ou infini?
Infini
R est un ensemble fini ou infini?
Infini
l’intervalle [0 ; 1] de R est un ensemble fini ou infini?
Infini
Ces symboles sont des ?
Des connecteurs logiques
Ces symboles sont des ?
Des quantificateurs
Définition 4 (Proposition).
Définition 4 (Proposition). Une proposition est une assertion, (énoncé, etc.), portant sur les objets de la théorie étudiée, en général sur les éléments d’un ensemble, pour en exprimer les propriétés.
On doit pouvoir dire sans ambiguïté d’une proposition qu’elle est ou bien vraie, ou bien fausse sans autre possibilité.
Notation
Lorsqu’une proposition dépend d’une variable x qui parcourt un ensemble E, on la note :
p(x), x ∈ E.
Définition 5 (Table de vérité).
On appelle table de vérité de la proposition p, le tableau suivant :
Propositions :
À partir de __________ ______, on forme de ______________ en utilisant des « ___________ ». Elles sont induites par les _______________ :
___, ___ , ___ , ___
À partir de propositions données, on forme de nouvelles propositions en utilisant des « opérations logiques ». Elles sont induites par les connecteurs logiques :
non, et, ou, =⇒, ⇐⇒
Table de vérité de « (non pour p) »
Table de vérité «ou»
Table de vérité «et»
Table de vérité de l’implication
Table de vérité de l’équivalence logique
Table de vérité de la réciproque d’une implication
