Algebra de matrices Flashcards
Parcial 1
Que es una matriz?
una matriz A de tramaño mxn (m,n E Z+) es un arreglo rectangular de mxn numeros R (complejos) ordenados en m renglones o filas horizontales y n columnas verticales.
Ai= numero de fila
A^(j)= numero de columna
Aij= # o componente que E a la matriz
Que es una matriz cuadrada?
Es una matriz A de tamaño mxn, es cuadrada si m=n y se donota como An matriz cuadrada de orden n
Que es la diagonal principal?
es la diagonal que tienen las matrices cuadradas, son los componente a11, a22, a33, amn…
Que es la traza de una matriz?
es la suma de todos los componenetes de la diagonal principal, el cual da como resultado un #
que es la dimension y el orden?
la dimension: son el numero de filas por el numero de columnas.
el orden: solo para matrices cuadradas donde el orden es el mismo numero de filas y columnas
Que es la matriz triangular superior?
Una matriz cuadrada A de orden n, se dice triangular superior del mismo orden si cumple que aij=0 siempre que i>j es decxir que todas las entradas de la matriz A ubicadas por debajo de la diagonal principal son iguales a cero
Denotada como “matriz triangularsuperior de orden n”
Que es una matriz triangular inferior?
Una matriz cuadrada A de orden n se dice triangular inferior si cumple aij=0 siempre que i<j, es decir todas las componente que se ubican sobre la diagonal principal son iguales a cero.
Denotada como “matriz triangular inferior de orden n”
Que es una matriz diagonal?
Una matriz cuadrada A de orden n, es una matriz diagonal si cumple que aij=0 siempre que i diferente de j, es decir es diagonal solo si es simultaneamente triangular superior y triangular inferior
Que es una matriz escalar (diagonal)?
Una matriz diagonal de orden n se dice escalar si todas las componentes de su diagonal principal son iguales y al tiempo tiene triangular superior e inferior.
que es una matriz identidad o identica ?
es cuando la matriz cuadrada es triangular superior e inferorir , ademas su diagonal principal son 1, además de ser una matriz escalar
Que es un vector fila?
son las matrices de tamaño 1xn ( fila de n componentes)
Que es un vector columna?
son matrices de tamaño mx1 (columna de n componentes
Denotaciones de matrices
M(R)
mn => reales
M (c)
mn => complejos
Rn => conjunto de vectores o columna de n componenetes en reales
para vectores utiliza MINUSCULAS
R mxn : tiene entrada en los reales
Cmxn : tiene entrrada en los complejos
que es una matriz nula?
es una matriz que todos sus componenetes son ceros y se denotada así: 0mxn
Que es igualdad de matrices?
sea A (aij)mxn y B(bij)mxn, 2 matrices del mismo tamaño decimos que A=B si solo si para cada i y cada j se tiene aij= bij, es decir son las misma matrices
Que es la suma de matrices y como se hace?
sea A [aij] y B [bij dos matrices de tramaño mxn, la suma de A+B se define como
A+B =[ aij + bij ] mxn
cuya cij se obtiene sumando la aij+ bij
* Debe tener el mismo tamaño sino no se puede
Proceso: sumar cada elemento de la una por el elemento de la misma posicion de la otra, al sumar se obtiene una matriz del mismo tamaño
Que es la multiplicación de MATRIZ por ESCALAR y como se hace?
Sea A = [aij] mxn y LANDA un escalar (un #) , LANDAxA se define como
LANDAA =[LANDAaij] mxn
proceso: se obtiene multiplicando el escalar por cada elemento de la matriz A, lo cual da como resultado otra matriz del mismo tamaño
Cuales son las propiedades de la suma y prodcuto por escalar?
- A+B = B+A
- A + (B+C) = (A+B) + C
- A + 0mn = A
- (λ β) A = λ (β A) = β (λ A)
- λ (A+B) = λ A + λ B
- (λ + β) A = λ A + β A
- 1 A = A
- λ A = 0mn <=> λ= 0 ó A= 0mn
Que es la transpuesta de una matríz?
Sea A = [aij] la transpuesta de A denotada A°T es la matriz de tamaño mxn cuya ij-ésima es la ji-ésima de la matríz A.
Es decir las filas ahora son columnas y las columnas ahora son filas. las dimensiones tambien se invierten si esta no es una matriz cuadrada
cuales son las dos propiedades de las M. transpuestas?
- (A+B)°T = A°T + B°T
- (λ A)°T = λ A°T
Como se hace el producto de vector fila por vector columna?
Sea a un vector fila de m componentes y b un vector columna de n componentes.
el porducto de a y b denotado ab es igual a un escalar que se obtiene al sumar los productos de los componentes de a y b. Deben tener el mismo numero de componentes.
OJO: siempre debo multiplicar un vector fila x vector columna , si tengo dos vectores fila, debo transponer uno de ellos tal que
a.b= a * b^T
cuales son las propiedades de los productos de vectores?
Si a, b E a los R°n enotnces…
1. a.a = 0 <=> a= 0 nx1 (vector nulo)
2. a.a >= 0
3. a.b = b.a
4. para todo λ E a los R se tiene λ (a.b) = (λ.a) . b = a (λ.b)
como se hace el producto de una MATRIZ x VECTOR COLUMNA?
sea uana matriz de tamaño mxn y X un vecto columna de n componentes el porducto de la matriz A por el vector X denotado Ax es el vector columnda de m componentes.
Es decir: multiplicamos cada fila de la matriz por la columna, en cada fila sumamos los productos para obtener el primer componetente de el vector columna resultantes. Una matriz por un vector columna nos da un vector columna de #m de filas que tenga la matriz.
como se hace un producto de Matrices?
sea A una matriz de tamaño mxn y B una de nxk , el producto AB es una matriz de tamaño mxk. Tal que su ij-ésima componente se obtiene multiplicando la i-ésima fila de A por la j-ésima columna de B.
Multiplicamos cada la primera fila de A por la primera fila de B para obtener el primer componente de la matriz C (suma de los productos), luego multiplicamos la primera fila por todas y cada una de las columnas para obtener los componentes de la primera fila de la matriz C y asi con las demas filas, para multiplicar matrices n=n y la matriz C es de tamaño mxk
mxn nxk
n=m