Algebra de matrices

Question 1

Que es una matriz?

Answer 1

una matriz A de tramaño mxn (m,n E Z+) es un arreglo rectangular de mxn numeros R (complejos) ordenados en m renglones o filas horizontales y n columnas verticales.

Ai= numero de fila
A^(j)= numero de columna
Aij= # o componente que E a la matriz

Question 2

Que es una matriz cuadrada?

Answer 2

Es una matriz A de tamaño mxn, es cuadrada si m=n y se donota como An matriz cuadrada de orden n

Question 3

Que es la diagonal principal?

Answer 3

es la diagonal que tienen las matrices cuadradas, son los componente a11, a22, a33, amn…

Question 4

Que es la traza de una matriz?

Answer 4

es la suma de todos los componenetes de la diagonal principal, el cual da como resultado un #

Question 5

que es la dimension y el orden?

Answer 5

la dimension: son el numero de filas por el numero de columnas.
el orden: solo para matrices cuadradas donde el orden es el mismo numero de filas y columnas

Question 6

Que es la matriz triangular superior?

Answer 6

Una matriz cuadrada A de orden n, se dice triangular superior del mismo orden si cumple que aij=0 siempre que i>j es decxir que todas las entradas de la matriz A ubicadas por debajo de la diagonal principal son iguales a cero

Denotada como “matriz triangularsuperior de orden n”

Question 7

Que es una matriz triangular inferior?

Answer 7

Una matriz cuadrada A de orden n se dice triangular inferior si cumple aij=0 siempre que i<j, es decir todas las componente que se ubican sobre la diagonal principal son iguales a cero.

Denotada como “matriz triangular inferior de orden n”

Question 8

Que es una matriz diagonal?

Answer 8

Una matriz cuadrada A de orden n, es una matriz diagonal si cumple que aij=0 siempre que i diferente de j, es decir es diagonal solo si es simultaneamente triangular superior y triangular inferior

Question 9

Que es una matriz escalar (diagonal)?

Answer 9

Una matriz diagonal de orden n se dice escalar si todas las componentes de su diagonal principal son iguales y al tiempo tiene triangular superior e inferior.

Question 10

que es una matriz identidad o identica ?

Answer 10

es cuando la matriz cuadrada es triangular superior e inferorir , ademas su diagonal principal son 1, además de ser una matriz escalar

Question 11

Que es un vector fila?

Answer 11

son las matrices de tamaño 1xn ( fila de n componentes)

Question 12

Que es un vector columna?

Answer 12

son matrices de tamaño mx1 (columna de n componentes

Question 13

Denotaciones de matrices

Answer 13

M(R)
mn => reales

M (c)
mn => complejos

Rn => conjunto de vectores o columna de n componenetes en reales

para vectores utiliza MINUSCULAS

R mxn : tiene entrada en los reales
Cmxn : tiene entrrada en los complejos

Question 14

que es una matriz nula?

Answer 14

es una matriz que todos sus componenetes son ceros y se denotada así: 0mxn

Question 15

Que es igualdad de matrices?

Answer 15

sea A (aij)mxn y B(bij)mxn, 2 matrices del mismo tamaño decimos que A=B si solo si para cada i y cada j se tiene aij= bij, es decir son las misma matrices

Question 16

Que es la suma de matrices y como se hace?

Answer 16

sea A [aij] y B [bij dos matrices de tramaño mxn, la suma de A+B se define como
A+B =[ aij + bij ] mxn
cuya cij se obtiene sumando la aij+ bij
* Debe tener el mismo tamaño sino no se puede

Proceso: sumar cada elemento de la una por el elemento de la misma posicion de la otra, al sumar se obtiene una matriz del mismo tamaño

Question 17

Que es la multiplicación de MATRIZ por ESCALAR y como se hace?

Answer 17

Sea A = [aij] mxn y LANDA un escalar (un #) , LANDAxA se define como
LANDAA =[LANDAaij] mxn

proceso: se obtiene multiplicando el escalar por cada elemento de la matriz A, lo cual da como resultado otra matriz del mismo tamaño

Question 18

Cuales son las propiedades de la suma y prodcuto por escalar?

Answer 18

1. A+B = B+A
2. A + (B+C) = (A+B) + C
3. A + 0mn = A
4. (λ β) A = λ (β A) = β (λ A)
5. λ (A+B) = λ A + λ B
6. (λ + β) A = λ A + β A
7. 1 A = A
8. λ A = 0mn <=> λ= 0 ó A= 0mn

Question 19

Que es la transpuesta de una matríz?

Answer 19

Sea A = [aij] la transpuesta de A denotada A°T es la matriz de tamaño mxn cuya ij-ésima es la ji-ésima de la matríz A.

Es decir las filas ahora son columnas y las columnas ahora son filas. las dimensiones tambien se invierten si esta no es una matriz cuadrada

Question 20

cuales son las dos propiedades de las M. transpuestas?

Answer 20

1. (A+B)°T = A°T + B°T
2. (λ A)°T = λ A°T

Question 21

Como se hace el producto de vector fila por vector columna?

Answer 21

Sea a un vector fila de m componentes y b un vector columna de n componentes.
el porducto de a y b denotado ab es igual a un escalar que se obtiene al sumar los productos de los componentes de a y b. Deben tener el mismo numero de componentes.

OJO: siempre debo multiplicar un vector fila x vector columna , si tengo dos vectores fila, debo transponer uno de ellos tal que
a.b= a * b^T

Question 22

cuales son las propiedades de los productos de vectores?

Answer 22

Si a, b E a los R°n enotnces…
1. a.a = 0 <=> a= 0 nx1 (vector nulo)
2. a.a >= 0
3. a.b = b.a
4. para todo λ E a los R se tiene λ (a.b) = (λ.a) . b = a (λ.b)

Question 23

como se hace el producto de una MATRIZ x VECTOR COLUMNA?

Answer 23

sea uana matriz de tamaño mxn y X un vecto columna de n componentes el porducto de la matriz A por el vector X denotado Ax es el vector columnda de m componentes.

Es decir: multiplicamos cada fila de la matriz por la columna, en cada fila sumamos los productos para obtener el primer componetente de el vector columna resultantes. Una matriz por un vector columna nos da un vector columna de #m de filas que tenga la matriz.

Question 24

como se hace un producto de Matrices?

Answer 24

sea A una matriz de tamaño mxn y B una de nxk , el producto AB es una matriz de tamaño mxk. Tal que su ij-ésima componente se obtiene multiplicando la i-ésima fila de A por la j-ésima columna de B.

Multiplicamos cada la primera fila de A por la primera fila de B para obtener el primer componente de la matriz C (suma de los productos), luego multiplicamos la primera fila por todas y cada una de las columnas para obtener los componentes de la primera fila de la matriz C y asi con las demas filas, para multiplicar matrices n=n y la matriz C es de tamaño mxk

mxn nxk
n=m

Question 25

cual es el teorema de propiedades del producto de matrices?

Answer 25

Sí A es una matríz de orden mxn, B y C son matrices de orden nxk, F una matriz de orden Kxp y λ es un escalar entonces:
1. A (λ B) = λ (AB) = (λA)B
2. A (BF) = (AB) F
3. A (B+C) = AB + AC
4. (B+C) F = BF + CF
5. (AB)°T = B°T . A°T

el producto de matrices NO ES CONMUTATIVO!!

Question 26

Como es la potencia de una matriz?

Answer 26

Sea A una matríz cuadrada de orden m y n un entero positivo. la n-ésima potencia de A denotada como A°n
que es la maultiplicacion de A cuantas veces diga el exponente, la resultante es del mismo tamaño de A.

Question 27

Que es una matriz simétrica?

Answer 27

Una matríz cuadrada A es imentrica si es igual a su traspuesta (son exactamente las mismas). A= AT

Question 28

Que es una matriz antisimétrica?

Answer 28

una matriz cuadrada A se dice antisimétrica de orden n si
- A = A°T
es decir primero trasponemos A y luego esa traspuesta la multiplicamos por -1 entonces - A sera igual a A

Question 29

Que es una matriz Idempotente?

Answer 29

una matriz cuadrada A de orden n es idempotente si
A = A°2

si al multiplicar dos veces A es igual a A , si NO da verificar si no se puede simplificar todos los componentes para que de A

Question 30

Que es una matríz Nilpotente?

Answer 30

una matriz cuadrada A que elevada a una cierta potencia k da como resultado una matriz nula
A^k = Ok (nula de tamaño k) nilpotente de orden k
para ver el grado de nilpotencia multiplicamos a por si misma hasta lograr la nula

Question 31

Que es una martríz Involutiva?

Answer 31

matriz cuadrada que al multiplicarse por si misma da como resultado la matriz identidad la cual tiene las mismas dimensiones lo que significa que es la inversa de la matriz.
AxA= I I= A-1 A-1= A

Question 31

Que es una ecuación?

Answer 31

una ecuación con incógnita es un enunciado que se establece entre dos expresiones matemáticas que explícitamente involucran algunas , todas o ninguna de las incógnitas.

Question 32

como se define una solucion de una ecuación?

Answer 32

Una solución de una ecuación con n variables o incógnitas X1, X2…..Xn es un vector de n componentes tal que al sustituir cada una de las incógnitas de la ecuación por las componentes con un orden establecido, se obtiene una identidad.
se llama Terna (vector columna) donde estan la solucion a la ecuación.

leer cuaderno ejemplos

Question 33

que es una ecuación lineal?

Answer 33

Una ecuación es lineal en las variables X1, X2….Xn si se puede expresar como a1X1+a2X2+…….+anXn=b
donde a1, a2, … an y b son coeficientes # y el escalar b se denomina termino independiente
si b=0 la ecuación se denomina ecuación lineal homogenea

Question 34

Que es un sistema de ecuaciones lineales?

Answer 34

un sistema de ecuaciones con m escuaciones lineales y n variables
b= terminos independientes y escalar
aij= escalares y coheficientes
si todas las b o terminos independientes del sistema son cero es un sistema homogeneo o sistema de ecuaciones lineales homogeneo

mirar estructura en el cuaderno y ejemplo de sistema homogeneo asociado

Question 35

tamaño de un sistema de ecuaciones se define por?

Answer 35

un sistema de ecuaciones de m ecuaciones y n variables se denomina como un sistema de tamaño mxn
m= # de ecuaciones
n= # de incognitas

Question 36

como es la solucion de un sistema de ecuaciones lineales?

Answer 36

un S.E.L de tamaño mxn es una n-úpla (vector columna de n componentes) que es solucion de todas las ecuaciones lineales de un sistema.
el conjunto formado por todas las soluciones del sistema se llama conjunto solución y se denota S
s1
s2
S= .
.
sn

Question 37

debo tener en cuenta en la solucion de S.EL homogeneo?

Answer 37

dado un sistema homogeneo , este siempre tiene al menos una solución, solución trival si las viables son iguales a cero y NO trivial cuando pueden tomar infinitos valores y seguir cumpliendo con que la identidad es cero
(si el # de ecuaciones es igual al # de incógnitas el sistema tiene solucion trivial . Si el # de ecuaciones es menor que el # de incognitas , tiene solucion NO trivial.)

Question 38

Que es un sistema de ecuaciones consistente e inconsistente?

Answer 38

es consistente cuando es soluble, si por lo menos tiene 1 solución
es inconsistente cuando NO es soluble , no solucion y es conjunto vacio S = 0

Question 39

Que es un sistema de ecuaciones EQUIVALENTES?

Answer 39

DOS sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. además son consistentes porque tienen 1 solucion.

Question 40

Cuales son las 3 operaciones elementales entre ecuaciones de un sistema?

Answer 40

• Eliminación: reemplazar la i-ésima ecuación por la suma de esta con un multiplo escalar de otra notación
  ( F1+ 3F2)
• Escalonamiento: Dado un escalar C dieferente de cero, consiste en reemplazar la i-ésima ecuación por c veces esta ecuación. Ei -> cEi (Multiplicar una ecuación por un escalar)
  (3F1)
• Intercambio: Consiste en intercambiar dos ecuaciones (solo filas No columnas)
  Ei -> Ej
  (F1 <-> F2)

NOTA: dos S.E.L son equivalentes si y solo si uno de ellos se puede transformar en el otro aplicando un numero finito de operaciones elementales entre ecuaciones.

Question 41

Que es una matriz escalonada?

Answer 41

características:
* La fila o las filas nulas se encuentran en la parte inferior de la matriz
* se denomina PIVOTE al primer numero de izq a derecha diferente de cero

Question 42

De que trata el método de eliminación de Gauss

Answer 42

• Permite encontrar una matriz escalonada equivalente a la matriz inicial
  Pasos:
• Identificar la primera columna de izquierda a derecha que NO sea nula
• Si el primer componente es cero intercambie esta fila por otra.
• Aplique operaciones elementales para obtener ceros debajo de los pivotes de cada columna

Question 43

Cuales son las clases de variables

Answer 43

Las variables de un S.E.L se clasifican en
* variables básicas o pivotales: son las columnas que tiene pivote de la matriz escalonada que se obtuvo de la matriz aumentada del sistema.
* Variables libres: son las columnas sin pivote de la matriz escalonada que se obtuvo de la matriz aumentada del sistema.

Question 44

Cuando una matriz es soluble? Teorema

Answer 44

Una matriz es soluble si y solo si la matriz escalonada [c I d] no tiene NO pivote en la columna independiente en d.

Question 45

OBSERVACIONES de matrices escalonadas
siempre una matriz puede tener 3 soluciones:

Answer 45

1. Tiene solución UNICA si el sistema Ax=b es soluble , todas las variables son básicas y pivotales
2. Tiene INFINITAS soluciones si el sistema es soluble y por lo menos una variable es libre
3. NO tiene solución cuando aparece una fila de ceros y el termino independiente es un número, no tiene coherencia.

Question 46

como se llama el sistema de ecuaciones que se obtiene después de escalonar una matriz?

Answer 46

Sistema reducido

Question 47

Como se debe escribir el conjunto solución

Answer 47

Se debe escribir

S= { () }

Question 48

TIPS para las aplicaciones de S.E.L?

Answer 48

1. identificar las variables o incógnitas
   2.Crear las ecuaciones con las condiciones que me pide
   * la pregunta le dice lo que usted debe buscar y encontrar, de ahí salen las variables
   * Dentro del enunciado por cada afirmación o condición sale una ecuación.