Algebra Flashcards
Tiesinių lygčių sistemos elementariuoju pertvarkymu vadinsime kiekvieną iš tokių
tos sistemos pakeitimų:
I) bet kurios dvi lygtys sukeičiamos vietomis;
II) bet kuri lygtis padauginama iš bet kokio nenulinio skaičiaus;
III) prie bet kurios lygties pridedama bet kuri kita, padauginta iš bet kokio skaičiaus;
IV) išbraukiama lygtis 0 = 0;
V) lygtyse pakeičiama nežinomųjų tvarka, kad visose lygtyse ji liktų ta pati.
Teiginys. Kiekvienu elementariuoju pertvarkymu iš tiesinių lygčių sistemos gaunama jai ekvi-
valenti tiesinių lygčių sistema.
Įrodymas. Teiginys trivialus elementariesiems pertvarkymams I), II), IV), V). Įrodysime jį bet
kokiai tiesinių lygčių sistemai (∗) = S1 ir pertvarkymui III).
Sistemoje lygčių tvarka nesvarbi, tad galime tarti, kad lygtis L1 : a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
padauginta iš d ir pridėta prie lygties L2 : a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2. Taip gauname naują
sistemą S2, kurioje visos lygtys tos pačios, tik antroji lygtis tampa
L2 + d · L1 : (a21 + da11)x1 + (a22 + da12)x2 + (a23 + da13)x3 + . . . + (a2n + da1n)xn = b2 + db1.
1) Tarkime, kad (x1, . . . , xn) = (c1, . . . , cn) yra sistemos S1 sprendinys. Tada tai yra visų S2
lygčių, išskyrus antrąją, sprendinys. Jis tenkina lygtis L1 ir L2, todėl tenkina lygtį d · L1 bei lygčių
sumą L2 + d · L1 (naują antrąją lygtį). Vadinasi, S1 sprendinys kartu yra S2 sprendinys.
2) Tarkime, kad (x1, . . . , xn) = (c1, . . . , cn) yra sistemos S2 sprendinys. Tada tai yra visų S1 lygčių,
išskyrus antrąją, sprendinys. Jis tenkina lygtis L1 ir L2 + d · L1, todėl tenkina lygtį (−d) · L1 bei
lygčių sumą (L2 + d · L1) + (−d) · L1 :
(a21 + da11 − da11)x1 + (a22 + da12 − da12)x2 + . . . + (a2n + da1n − da1n)xn = b2 + db1 − db1,
taigi pradinę antrąją lygtį a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2. Vadinasi, S2 sprendinys kartu yra S1
sprendinys.
Kadangi kiekvienas S1 sprendinys yra S2 sprendinys, o kiekvienas S2 sprendinys yra S1 sprendinys,
tai S1 ir S2 sprendinių aibės sutampa, t. y. S1 ∼ S2.
Kvadratine matrica vadinisime:
Matrica turincia po lygiai eiluciu ir stulpeliu
N-tosios eiles matrica vadinsime
Matrica turincia po n eiluciu ir n stulpeliu
Matrica vadinsime:
Staciakampine mxn lentele kurios kiekviename langelyje irasyta po skaiciu
Trapecines matricos pozymiai:
1)Istrizaine nenuliniai skaiciai
2)Turi daugiau arba tiek pat stulpeliu nei eiluciu
3)Po pagrindine istrizaine visi skaiciai lygus 0
4)Turi bent viena sprendini
Trikampe matricos pozymiai:
1)Ji yra trapecine ir jos matrica yra kvadradine
2)Turi viena sprendini
Teiginys. Nagrinėkime bet kokią tiesinių lygčių sistemą, kurios matrica nenulinė. Atliekant
elementariuosius pertvarkymus, šią sistemą įmanoma pakeisti kita, kuri yra trapecinė arba turi lygtį
0 = b, kur b != 0.
Įrodymas. Tiesinių lygčių sistemos matricos pagrindinės įstrižainės elementą vadinkime geru,
jei jis nelygus 0, o visi po juo esantys elementai (jei tokių yra) lygūs 0. Jei matricoje nėra nulinių
eilučių, o visi pagrindinės įstrižainės elementai geri, tai atitinkama sistema jau trapecinė.
A) Duotąją sistemą keiskime, iš eilės kartodami tokius veiksmus, kol negausime trapecinės siste-
mos arba lygties 0 = b(6= 0).
1) Išbraukiame visas lygtis 0 = 0. Sistemos matricos pagrindinėje įstrižainėje randame kairiausią
elementą a, kuris nėra geras.
2) Jei a = 0, tai sukeičiame atitinkamą lygtį axk +. . . su žemesne lygtimi arba nežinomųjų tvarkoje
nežinomąjį xk – su vienu iš tolimesnių nežinomųjų, kad a vietoje atsirastų nenulinis koeficientas.
Toliau galime laikyti, kad turime lygtį axk + . . ., kur a 6 = 0.
3) Visose lygtyse, esančiose po axk + . . ., eliminuojame nežinomąjį xk, daugindami axk + . . . iš
tinkamų skaičių ir pridėdami prie atitinkamų lygčių.
B) Nurodytus veiksmus visada galėsime atlikti:
jei 1) veiksme nėra reikiamo a, tai sistema jau trapecinė;
jei 2) veiksme negalėtume tinkamai sukeisti nežinomųjų, tai lygtis axk +. . . turėtų pavidalą 0 = b;
jei negalime atlikti 3) veiksmo, tai lygtis axk + . . . apatinė, o lygčių sistema jau trapecinė
Gauso metodo esme:
elementariaisiais pertvarkymais taip keisti lygčių sistemą, kad pirmasis
nežinomasis turėtų nenulinį koeficientą pirmojoje lygtyje ir nulinį – visose žemesnėse lygtyse, antrasis
nežinomasis – nenulinį koeficientą antrojoje lygtyje ir nulinį – visose žemesnėse, ir t. t.
Gauso metodo algoritmas :
A) Duotąją sistemą keiskime, iš eilės kartodami tokius veiksmus, kol negausime trapecinės siste-
mos arba lygties 0 = b(6= 0).
1) Išbraukiame visas lygtis 0 = 0. Sistemos matricos pagrindinėje įstrižainėje randame kairiausią
elementą a, kuris nėra geras.
2) Jei a = 0, tai sukeičiame atitinkamą lygtį axk +. . . su žemesne lygtimi arba nežinomųjų tvarkoje
nežinomąjį xk – su vienu iš tolimesnių nežinomųjų, kad a vietoje atsirastų nenulinis koeficientas.
Toliau galime laikyti, kad turime lygtį axk + . . ., kur a 6 = 0.
3) Visose lygtyse, esančiose po axk + . . ., eliminuojame nežinomąjį xk, daugindami axk + . . . iš
tinkamų skaičių ir pridėdami prie atitinkamų lygčių.
Kiekvieną kėlinį galima sudaryti taip:
pasirenkame c1 bet kokią reikšmę; tada c2 bet kokią reikšmę, nelygią c1; tada c3 bet kokią reikšmę, nelygią
c1 ir c2; ir t. t. Pirmojo pasirinkimo metu turime n galimybių, antrojo – n − 1 galimybę, trečiojo –
n − 2 galimybes, . . . Taigi iš viso gauname n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 2 · 1 = n! kėlinių
kėlinyje k ∈ Kn skaičiai a ir b sudaro netvarką (inversiją):
jei a < b,
bet skaičius a kėlinyje k yra dešinėje nuo skaičiaus b.
Kėlinys k ∈ Kn vadinamas lyginiu:
jei jame yra lyginis skaičius netvarkų. Priešingu atveju kėlinys
k vadinamas nelyginiu
Teiginiai. 1) Sukeitus vietomis bet kuriuos du skaičius kėlinyje k ∈ Kn, kėlinio lyginumas
pakinta
jei skaičiai ci ir ci+1 sudaro netvarką kėlinyje k,
tai juos sukeitus skaičius I(k) sumažėja 1, o jei nesudaro – padidėja 1. Abiem atvejais I(k) lyginumas
pakinta.
Determinantu vadinama:
visu imanomu sandaugos suma
Determinanto apibrezimo formule:
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n = ∑(c1,…,cn)∈Kn*a1c1 a2c2 . . . ancn · (−1)I(c1,…,cn)
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
Teiginys. Kvadratinės matricos su dviem lygiomis eilutėmis determinantas lygus 0:
Irodymas. Tarkime, kad kvadratinėje matricoje A yra dvi lygios eilutės. Sukeiskime šias eilutes
vietomis. Gauname matricą A′ = A, kuriai
det(A′) = − det(A), det(A) = − det(A), 2 det(A) = 0, det(A) = 0.
Pirmos eilės determinantas det(a11) lygus pačiam skaičiui a11. Remdamiesi determinanto api-
brėžimu, užrašykime antros ir trečios eilės determinantų skaičiavimo formules. Kiekvienu atveju
apibrėžime galime imti konkretų n, išvardyti visus kėlinius k ∈ Kn, nustatyti jų lyginumą ir išrašyti
visus determinanto sumos dėmenis:
I(1, 2) = 0, I(2, 1) = 1,
a11 a12
= a11a22 − a12a21;
a21 a22
I(1, 2, 3) = 0, I(1, 3, 2) = 1, I(2, 1, 3) = 1, I(2, 3, 1) = 2, I(3, 1,
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.
a31 a32 a33
Kvadratinė matrica vadinama išsigimusia:
jei jos determinantas lygus 0. Priešingu
atveju kvadratinė matrica vadinama neišsigimusia.
n-tos eilės matricos A atvirkštinė matrica yra:
Tokia n-tos eilės matrica A−1, kad A · A−1 =
= A−1 · A = En.
Matrica A turi daugiausiai vieną atvirkštinę matricą:
1) Tarkime, kad B ir C yra matricos A atvirkštinės matricos. Tada
B = B · En = B · (A · C) = (B · A) · C = En · C = C.
Tarkime, kad det(A) = 0. Jei egzistuoja A−1, tai
1 = det(En) = det(A · A−1) = det(A) · det(A−1) = 0 · det(A−1) = 0.
Vektoriaus ilgiu vadinamas:
kiekvi-nos jį nusakančios kryptinės atkarpos ilgis.Vektoriaus ~a ilgis žymimas |~a|.
Du vektoriai vadinami
vienakrypčiais:
jei nusakomi tos pačios krypties (bet nebūtinai to paties ilgio) kryptinėmis atkarpo-
mis.
Du vektoriai vadinami priešingų krypčių vektoriais:
Jei nusakomi priešingų krypčių kryptinėmis
atkarpomis
Du vektoriai vadinami kolineariais:
Jei juos nusakančios kryptinės atkarpos yra lygia-
grečiose arba sutampančiose tiesėse
Teiginys. Tarkime, kad koordinačių plokštumoje arba koordinačių erdvėje duoti vektoriai ~u ir ~v.
Tada u · v = |u| · |v| · cos φ, kur φ yra kampas tarp u ir v.
Irodymas.Tarkime kad vektoriai u ir v yra kordinaciu plokstumoje.
Pazymekime:
u=(x1y1)=OA ir v=(x2y2)=OB
Taskai A ir B yra kompelksiniai skaiciai.Ju trigonometrine israiska pazymime:
z1=r1(cosφ1 + isinφ1) z2=r2(cosφ2+isinφ2) |φ1-φ2|=φ
Tada (SU bruksniu ant virsaus)z1 · z2 =(x1-iy1)(x2+iy2)=r1r2(cosφ -+isinφ)
r1r2cosφ=x1x2+y1y2=u*v
Liko pastebeti
r1=|z1|=|u|
r2=|z2|=|v|
Kompleksinių skaičių z1 = x1 + iy1 ir z2 = x2 + iy2 suma vadinamas:
kompleksinis
skaičius z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2).
Kompleksinių skaičių z1 = x1 + iy1 ir z2 = x2 + iy2 sandauga vadinamas
kompleksinis skaičius
z1 · z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2).
Kompleksiniu skaičiumi vadinamas
Reiškinys x + iy, kur x ir y yra duoti realieji
skaičiai, o i yra simbolis.
Skaičius 0 + 1 · i = i vadinamas menamuoju vienetu.
Skaičiai x ir y vadinami kompleksnio skaičiaus z = x+iy atitinkamai realiąja ir menamąja dalimi.
Žymima x = Re(z), y = Im(z)
Dvi matricos vadinamos vienarūšėm:
jei turi po tiek pat eilučių ir po tiek
stulpelių
Matrica vadinama nuline,
Jei visi jos elementai lygūs 0
Matrica vadinama vienetine:
jei ji yra diagonalioji ir jos pagrindinės įstrižainės visi elementai yra
lygūs 1. Vienetinę n-tos eilės matricą žymėsime En.
Laplaso teorema.
Jei pasirinksime kvadratinės matricos A bet kurias k eilučių arba bet kuriuos
k stulpelių, kiekvieną juose esantį k-tos eilės minorą padauginsime iš jo adjunkto ir visas sandaugas
sudėsime, tai gausime skaičių det(A).
Teiginys. Tegu duota kvadratinė matrica A. Jos bet kurios eilutės kiekvieną elementą padau-
ginus iš jo adjunkto ir visas sandaugas sudėjus, gaunamas skaičius det(A).
rodymas. Nagrinėkime n × n matricą A ir jos i-tąją eilutę. Matricos elementus ir jų adjunktus
žymėkime standartiškai. Reikia įrodyti: ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . . + ainAin = det(A).
1) Tegu i = 1 ir a12 = a13 = . . . = a1n = 0. Tada
det(A) = ∑
(c1,…,cn)
a1c1 a2c2 . . . ancn · (−1)I(c1,…,cn) = a11 · ∑
(c2,…,cn)
a2c2 . . . ancn · (−1)I(1,c2,…,cn) = a11 · A11.
Kampas tarp dviejų tiesių plokštumoje yra
Kampas tarp šių tiesių krypties vektorių arba, ekvi-
valenčiai, kampas tarp šių tiesių normalės vektorių (abiem atvejais gausime tą pačią reikšmę);
Kampas tarp dviejų plokštumų
ra kampas tarp šių plokštumų normalės vektorių;
Kampas tarp dviejų tiesių erdvėje
yra kampas tarp šių tiesių krypties vektorių.
Dvi nekomplanarios tiesės erdvėje vadinamos:
prasilenkiančiomis.
Atstumas tarp prasilenkiančių tiesių l1 ir l2 yra mažiausia
M1M2
reikšmė, kur M1 ∈ l1, M2 ∈ l2.
Pastebėsime, kad bet kurioms dviem prasilenkiančioms tiesėms l1 ir l2 reiškinys ∣
M1M2
, kur
M1 ∈ l1, M2 ∈ l2, įgyja mažiausią reikšmę ir todėl atstumas tarp l1 ir l2 visada apibrėžtas
Tiesės (plokštumoje arba erdvėje) krypties vektorius yra
bet koks nenulinis vek-
torius, lygiagretus su tiese arba esantis joje
Tapatybė (z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3) išplaukia iš lygybių:
z1 · z2) · z3 = ((x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2)) · (x3 + iy3),
