Algebra

Question 1

Tiesinių lygčių sistemos elementariuoju pertvarkymu vadinsime kiekvieną iš tokių
tos sistemos pakeitimų:

Answer 1

I) bet kurios dvi lygtys sukeičiamos vietomis;
II) bet kuri lygtis padauginama iš bet kokio nenulinio skaičiaus;
III) prie bet kurios lygties pridedama bet kuri kita, padauginta iš bet kokio skaičiaus;
IV) išbraukiama lygtis 0 = 0;
V) lygtyse pakeičiama nežinomųjų tvarka, kad visose lygtyse ji liktų ta pati.

Question 2

Teiginys. Kiekvienu elementariuoju pertvarkymu iš tiesinių lygčių sistemos gaunama jai ekvi-
valenti tiesinių lygčių sistema.

Answer 2

Įrodymas. Teiginys trivialus elementariesiems pertvarkymams I), II), IV), V). Įrodysime jį bet
kokiai tiesinių lygčių sistemai (∗) = S1 ir pertvarkymui III).
Sistemoje lygčių tvarka nesvarbi, tad galime tarti, kad lygtis L1 : a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
padauginta iš d ir pridėta prie lygties L2 : a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2. Taip gauname naują
sistemą S2, kurioje visos lygtys tos pačios, tik antroji lygtis tampa
L2 + d · L1 : (a21 + da11)x1 + (a22 + da12)x2 + (a23 + da13)x3 + . . . + (a2n + da1n)xn = b2 + db1.
1) Tarkime, kad (x1, . . . , xn) = (c1, . . . , cn) yra sistemos S1 sprendinys. Tada tai yra visų S2
lygčių, išskyrus antrąją, sprendinys. Jis tenkina lygtis L1 ir L2, todėl tenkina lygtį d · L1 bei lygčių
sumą L2 + d · L1 (naują antrąją lygtį). Vadinasi, S1 sprendinys kartu yra S2 sprendinys.
2) Tarkime, kad (x1, . . . , xn) = (c1, . . . , cn) yra sistemos S2 sprendinys. Tada tai yra visų S1 lygčių,
išskyrus antrąją, sprendinys. Jis tenkina lygtis L1 ir L2 + d · L1, todėl tenkina lygtį (−d) · L1 bei
lygčių sumą (L2 + d · L1) + (−d) · L1 :
(a21 + da11 − da11)x1 + (a22 + da12 − da12)x2 + . . . + (a2n + da1n − da1n)xn = b2 + db1 − db1,
taigi pradinę antrąją lygtį a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2. Vadinasi, S2 sprendinys kartu yra S1
sprendinys.
Kadangi kiekvienas S1 sprendinys yra S2 sprendinys, o kiekvienas S2 sprendinys yra S1 sprendinys,
tai S1 ir S2 sprendinių aibės sutampa, t. y. S1 ∼ S2.

Question 3

Kvadratine matrica vadinisime:

Answer 3

Matrica turincia po lygiai eiluciu ir stulpeliu

Question 4

N-tosios eiles matrica vadinsime

Answer 4

Matrica turincia po n eiluciu ir n stulpeliu

Question 5

Matrica vadinsime:

Answer 5

Staciakampine mxn lentele kurios kiekviename langelyje irasyta po skaiciu

Question 6

Trapecines matricos pozymiai:

Answer 6

1)Istrizaine nenuliniai skaiciai
2)Turi daugiau arba tiek pat stulpeliu nei eiluciu
3)Po pagrindine istrizaine visi skaiciai lygus 0
4)Turi bent viena sprendini

Question 7

Trikampe matricos pozymiai:

Answer 7

1)Ji yra trapecine ir jos matrica yra kvadradine
2)Turi viena sprendini

Question 8

Teiginys. Nagrinėkime bet kokią tiesinių lygčių sistemą, kurios matrica nenulinė. Atliekant
elementariuosius pertvarkymus, šią sistemą įmanoma pakeisti kita, kuri yra trapecinė arba turi lygtį
0 = b, kur b != 0.

Answer 8

Įrodymas. Tiesinių lygčių sistemos matricos pagrindinės įstrižainės elementą vadinkime geru,
jei jis nelygus 0, o visi po juo esantys elementai (jei tokių yra) lygūs 0. Jei matricoje nėra nulinių
eilučių, o visi pagrindinės įstrižainės elementai geri, tai atitinkama sistema jau trapecinė.
A) Duotąją sistemą keiskime, iš eilės kartodami tokius veiksmus, kol negausime trapecinės siste-
mos arba lygties 0 = b(6= 0).
1) Išbraukiame visas lygtis 0 = 0. Sistemos matricos pagrindinėje įstrižainėje randame kairiausią
elementą a, kuris nėra geras.
2) Jei a = 0, tai sukeičiame atitinkamą lygtį axk +. . . su žemesne lygtimi arba nežinomųjų tvarkoje
nežinomąjį xk – su vienu iš tolimesnių nežinomųjų, kad a vietoje atsirastų nenulinis koeficientas.
Toliau galime laikyti, kad turime lygtį axk + . . ., kur a 6 = 0.
3) Visose lygtyse, esančiose po axk + . . ., eliminuojame nežinomąjį xk, daugindami axk + . . . iš
tinkamų skaičių ir pridėdami prie atitinkamų lygčių.
B) Nurodytus veiksmus visada galėsime atlikti:
jei 1) veiksme nėra reikiamo a, tai sistema jau trapecinė;
jei 2) veiksme negalėtume tinkamai sukeisti nežinomųjų, tai lygtis axk +. . . turėtų pavidalą 0 = b;
jei negalime atlikti 3) veiksmo, tai lygtis axk + . . . apatinė, o lygčių sistema jau trapecinė

Question 9

Gauso metodo esme:

Answer 9

elementariaisiais pertvarkymais taip keisti lygčių sistemą, kad pirmasis
nežinomasis turėtų nenulinį koeficientą pirmojoje lygtyje ir nulinį – visose žemesnėse lygtyse, antrasis
nežinomasis – nenulinį koeficientą antrojoje lygtyje ir nulinį – visose žemesnėse, ir t. t.

Question 10

Gauso metodo algoritmas :

Answer 10

A) Duotąją sistemą keiskime, iš eilės kartodami tokius veiksmus, kol negausime trapecinės siste-
mos arba lygties 0 = b(6= 0).
1) Išbraukiame visas lygtis 0 = 0. Sistemos matricos pagrindinėje įstrižainėje randame kairiausią
elementą a, kuris nėra geras.
2) Jei a = 0, tai sukeičiame atitinkamą lygtį axk +. . . su žemesne lygtimi arba nežinomųjų tvarkoje
nežinomąjį xk – su vienu iš tolimesnių nežinomųjų, kad a vietoje atsirastų nenulinis koeficientas.
Toliau galime laikyti, kad turime lygtį axk + . . ., kur a 6 = 0.
3) Visose lygtyse, esančiose po axk + . . ., eliminuojame nežinomąjį xk, daugindami axk + . . . iš
tinkamų skaičių ir pridėdami prie atitinkamų lygčių.

Question 11

Kiekvieną kėlinį galima sudaryti taip:

Answer 11

pasirenkame c1 bet kokią reikšmę; tada c2 bet kokią reikšmę, nelygią c1; tada c3 bet kokią reikšmę, nelygią
c1 ir c2; ir t. t. Pirmojo pasirinkimo metu turime n galimybių, antrojo – n − 1 galimybę, trečiojo –
n − 2 galimybes, . . . Taigi iš viso gauname n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 2 · 1 = n! kėlinių

Question 12

kėlinyje k ∈ Kn skaičiai a ir b sudaro netvarką (inversiją):

Answer 12

jei a < b,
bet skaičius a kėlinyje k yra dešinėje nuo skaičiaus b.

Question 13

Kėlinys k ∈ Kn vadinamas lyginiu:

Answer 13

jei jame yra lyginis skaičius netvarkų. Priešingu atveju kėlinys
k vadinamas nelyginiu

Question 14

Teiginiai. 1) Sukeitus vietomis bet kuriuos du skaičius kėlinyje k ∈ Kn, kėlinio lyginumas
pakinta

Answer 14

jei skaičiai ci ir ci+1 sudaro netvarką kėlinyje k,
tai juos sukeitus skaičius I(k) sumažėja 1, o jei nesudaro – padidėja 1. Abiem atvejais I(k) lyginumas
pakinta.

Question 15

Determinantu vadinama:

Answer 15

visu imanomu sandaugos suma

Question 16

Determinanto apibrezimo formule:

Answer 16

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n = ∑(c1,…,cn)∈Kn*a1c1 a2c2 . . . ancn · (−1)I(c1,…,cn)
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann

Question 17

Teiginys. Kvadratinės matricos su dviem lygiomis eilutėmis determinantas lygus 0:

Answer 17

Irodymas. Tarkime, kad kvadratinėje matricoje A yra dvi lygios eilutės. Sukeiskime šias eilutes
vietomis. Gauname matricą A′ = A, kuriai
det(A′) = − det(A), det(A) = − det(A), 2 det(A) = 0, det(A) = 0.
Pirmos eilės determinantas det(a11) lygus pačiam skaičiui a11. Remdamiesi determinanto api-
brėžimu, užrašykime antros ir trečios eilės determinantų skaičiavimo formules. Kiekvienu atveju
apibrėžime galime imti konkretų n, išvardyti visus kėlinius k ∈ Kn, nustatyti jų lyginumą ir išrašyti
visus determinanto sumos dėmenis:
I(1, 2) = 0, I(2, 1) = 1,
a11 a12
= a11a22 − a12a21;
a21 a22

I(1, 2, 3) = 0, I(1, 3, 2) = 1, I(2, 1, 3) = 1, I(2, 3, 1) = 2, I(3, 1,
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.
a31 a32 a33

Question 18

Kvadratinė matrica vadinama išsigimusia:

Answer 18

jei jos determinantas lygus 0. Priešingu
atveju kvadratinė matrica vadinama neišsigimusia.

Question 19

n-tos eilės matricos A atvirkštinė matrica yra:

Answer 19

Tokia n-tos eilės matrica A−1, kad A · A−1 =
= A−1 · A = En.

Question 20

Matrica A turi daugiausiai vieną atvirkštinę matricą:

Answer 20

1) Tarkime, kad B ir C yra matricos A atvirkštinės matricos. Tada
B = B · En = B · (A · C) = (B · A) · C = En · C = C.

Question 21

Tarkime, kad det(A) = 0. Jei egzistuoja A−1, tai

Answer 21

1 = det(En) = det(A · A−1) = det(A) · det(A−1) = 0 · det(A−1) = 0.

Question 22

Vektoriaus ilgiu vadinamas:

Answer 22

kiekvi-nos jį nusakančios kryptinės atkarpos ilgis.Vektoriaus ~a ilgis žymimas |~a|.

Question 23

Du vektoriai vadinami
vienakrypčiais:

Answer 23

jei nusakomi tos pačios krypties (bet nebūtinai to paties ilgio) kryptinėmis atkarpo-
mis.

Question 24

Du vektoriai vadinami priešingų krypčių vektoriais:

Answer 24

Jei nusakomi priešingų krypčių kryptinėmis
atkarpomis

Question 25

Du vektoriai vadinami kolineariais:

Answer 25

Jei juos nusakančios kryptinės atkarpos yra lygia-
grečiose arba sutampančiose tiesėse

Question 26

Teiginys. Tarkime, kad koordinačių plokštumoje arba koordinačių erdvėje duoti vektoriai ~u ir ~v.
Tada u · v = |u| · |v| · cos φ, kur φ yra kampas tarp u ir v.

Answer 26

Irodymas.Tarkime kad vektoriai u ir v yra kordinaciu plokstumoje.
Pazymekime:
u=(x1y1)=OA ir v=(x2y2)=OB
Taskai A ir B yra kompelksiniai skaiciai.Ju trigonometrine israiska pazymime:
z1=r1(cosφ1 + isinφ1) z2=r2(cosφ2+isinφ2) |φ1-φ2|=φ
Tada (SU bruksniu ant virsaus)z1 · z2 =(x1-iy1)(x2+iy2)=r1r2(cosφ -+isinφ)
r1r2cosφ=x1x2+y1y2=u*v
Liko pastebeti
r1=|z1|=|u|
r2=|z2|=|v|

Question 27

Kompleksinių skaičių z1 = x1 + iy1 ir z2 = x2 + iy2 suma vadinamas:

Answer 27

kompleksinis
skaičius z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2).

Question 28

Kompleksinių skaičių z1 = x1 + iy1 ir z2 = x2 + iy2 sandauga vadinamas

Answer 28

kompleksinis skaičius
z1 · z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2).

Question 29

Kompleksiniu skaičiumi vadinamas

Answer 29

Reiškinys x + iy, kur x ir y yra duoti realieji
skaičiai, o i yra simbolis.
Skaičius 0 + 1 · i = i vadinamas menamuoju vienetu.
Skaičiai x ir y vadinami kompleksnio skaičiaus z = x+iy atitinkamai realiąja ir menamąja dalimi.
Žymima x = Re(z), y = Im(z)

Question 30

Dvi matricos vadinamos vienarūšėm:

Answer 30

jei turi po tiek pat eilučių ir po tiek
stulpelių

Question 31

Matrica vadinama nuline,

Answer 31

Jei visi jos elementai lygūs 0

Question 32

Matrica vadinama vienetine:

Answer 32

jei ji yra diagonalioji ir jos pagrindinės įstrižainės visi elementai yra
lygūs 1. Vienetinę n-tos eilės matricą žymėsime En.

Question 33

Laplaso teorema.

Answer 33

Jei pasirinksime kvadratinės matricos A bet kurias k eilučių arba bet kuriuos
k stulpelių, kiekvieną juose esantį k-tos eilės minorą padauginsime iš jo adjunkto ir visas sandaugas
sudėsime, tai gausime skaičių det(A).

Question 34

Teiginys. Tegu duota kvadratinė matrica A. Jos bet kurios eilutės kiekvieną elementą padau-
ginus iš jo adjunkto ir visas sandaugas sudėjus, gaunamas skaičius det(A).

Answer 34

rodymas. Nagrinėkime n × n matricą A ir jos i-tąją eilutę. Matricos elementus ir jų adjunktus
žymėkime standartiškai. Reikia įrodyti: ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . . + ainAin = det(A).
1) Tegu i = 1 ir a12 = a13 = . . . = a1n = 0. Tada
det(A) = ∑
(c1,…,cn)
a1c1 a2c2 . . . ancn · (−1)I(c1,…,cn) = a11 · ∑
(c2,…,cn)
a2c2 . . . ancn · (−1)I(1,c2,…,cn) = a11 · A11.

Question 35

Kampas tarp dviejų tiesių plokštumoje yra

Answer 35

Kampas tarp šių tiesių krypties vektorių arba, ekvi-
valenčiai, kampas tarp šių tiesių normalės vektorių (abiem atvejais gausime tą pačią reikšmę);

Question 36

Kampas tarp dviejų plokštumų

Answer 36

ra kampas tarp šių plokštumų normalės vektorių;

Question 37

Kampas tarp dviejų tiesių erdvėje

Answer 37

yra kampas tarp šių tiesių krypties vektorių.

Question 38

Dvi nekomplanarios tiesės erdvėje vadinamos:

Answer 38

prasilenkiančiomis.
Atstumas tarp prasilenkiančių tiesių l1 ir l2 yra mažiausia
M1M2
reikšmė, kur M1 ∈ l1, M2 ∈ l2.
Pastebėsime, kad bet kurioms dviem prasilenkiančioms tiesėms l1 ir l2 reiškinys ∣
M1M2
, kur
M1 ∈ l1, M2 ∈ l2, įgyja mažiausią reikšmę ir todėl atstumas tarp l1 ir l2 visada apibrėžtas

Question 39

Tiesės (plokštumoje arba erdvėje) krypties vektorius yra

Answer 39

bet koks nenulinis vek-
torius, lygiagretus su tiese arba esantis joje

Question 40

Tapatybė (z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3) išplaukia iš lygybių:

Answer 40

z1 · z2) · z3 = ((x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2)) · (x3 + iy3),