4MM103 Matematika 2

Question 1

V o transponování součtu a součinu matic

Jak zní?

Answer 1

Jsou-li matice A a B shodného typu, pak transpozice součtu těchto mladic je rovna součtu těchto matic transportovaných a transpozice součinu těchto matic je rovna součinu těchto matic transponovaných

Question 2

V o součinu blokových matic

Jak zní?

Answer 2

Je-li matice A typu m×n a matice B typu n×p, matice jsou rozděleny na bloky a sloupcové dělení matice A je stejné jako řádkové matice B, pak se součin matic A×B řeší, stejně jako kdyby se násobily jednotlivé prvky matic, akorát se násobí bloky těchto matic (které je ale potřeba předtím ještě každý vynásobit)

Zkrátka se s bloky pracuje stejně jako s prvky, ale je potřeba mít na vědomí, že ty bloky jsou ve skutečnosti matice

Question 3

V o rozkladu matice na součet matic

Jak zní?

Answer 3

Je-li A čtvercová matice a existuje symetrická matice S a kososymetrická matice K tak, že A je součtem polovin S a K, pak součet symetrické a kososymetrické matice rovný matici A lze vyjádřit jako součet poloviny součtu matice A a matice k ní transponované a poloviny rozdílu matice A a matice k ní transponované

Question 4

V o transponování blokové matice

Jak zní?

Answer 4

Jestliže je matice A rozdělena na pravidelné bloky, pak matice k ní transponovaná je tvořena transponovanými bloky, každý z nich je ovšem transponovat zvlášť

Question 5

V o součtu blokových matic

Jak zní?

Answer 5

Jsou-li A a B matice stejného typu rozdělené do bloků a bloky matice A jsou stejného typu jako u matice B, pak součet matic A a B je roven matici, terá je výsledkem součtu vzájemně si odpovídajících prvků obou matic

Question 6

V o skeletním rozkladu matic

Jak zní?

Answer 6

Je-li A nenulová matice typu m×n a hodnost matice A je rovna r, existují matice B (typu m×r) a C (typu r×n) takové, že matice A je součtem matic B a C a hodnost matice A je rovna hodnosti matice B, je rovna hodnosti matice C a je rovna r

Question 7

Pouze čtvercové matice

Symetrická matice

Jak vypadá?

Answer 7

Prvky matice jsou vzájemně symetrické podle hlavní diagonály

Question 8

Pouze čtvercové matice

Kososymetrická matice

Jak vypadá?

Často též antisymetrická matice

Answer 8

Prvky matice jsou vzájemně symetrické podle hlavní diagonály s opačným znaménkem

Na hlavní diagonále musí být samé 0

Question 9

V o hodnosti součinu vzájemně transponovaných matic

Jak zní?

Answer 9

Hodnost matice vynásobené zprava či zleva maticí k ní transponovanou je rovna hodnosti této matice a ta je rovna hodnosti matice k ní transponované

Question 10

V o hodnosti matice násobené regulární maticí

Jak zní?

Answer 10

Násobíme-li vhodnou matici maticí regulární, její hodnost se nezmění

Question 11

V o reálném násobku blokové matice

Jak zní?

Answer 11

Vynásobíme-li blokovou matici reálným násobkem, pak je potřeba vynásobit tímto násobkem každý blok matice zvlášť

Question 12

Důsledek věty o hodnosti blokové matice

Jak zní?

Answer 12

Je-li A matice rozdělená na bloky P, Q, R a S, blok P je regulární maticí řádu r a blok S je roven součinu (v uvedeném pořadí) matice R, inverzní matice k matici P a matice Q, pak hodnost matice A je rovna r

Question 13

derivace konstanty

(c)’

Answer 13

0

Question 14

Derivace mocninné funkce

(xⁿ)’

Answer 14

n × xⁿ⁻¹

Question 15

Derivace exponenciální funkce s přirozeným základem

(eᕁ)’

Answer 15

eᕁ

Question 16

Derivace exponenciální funkce

(kᕁ)’

Answer 16

kᕁ × ln x

Question 17

Derivace přirozeného logaritmu

(ln x)’

Answer 17

1/x

Question 18

Derivace logaritmu o základu a z x

(logₐ x)’

Answer 18

1/ (x × ln a)

Question 19

Derivace odmocniny

(√x )’

Answer 19

1/ (2 × √x )

Question 20

Derivace sinu

(sin x)’

Answer 20

cos x

Question 21

Derivace kosinu

(cos x)’

Answer 21

-sin x

Question 22

Derivace tangens

(tg x)’

Answer 22

1/ (cos²x)

Question 23

Derivace cotangens

(cot x)’

Answer 23

-1/ (sin²x)

Question 24

Derivace arkussinu

(arcsin x)’

Answer 24

1/ √(1-x²)

Question 25

Derivace arkuskosinu

(arccos x)’

Answer 25

-1/ √(1-x²)

Question 26

Derivace arkustangens

(arctg x)’

Answer 26

1/ (1 + x²)

Question 27

Derivace arkuskotangens

(arccot x)’

Answer 27

-1/ (1 + x²)

Question 28

integrace konstanty

∫ k dx

Answer 28

kx +c

Question 29

Integrace funkce násobené konstantou

∫ k × fᕁ dx

Answer 29

k × ∫ fᕁ dx

Question 30

Integrace 0

∫ 0 dx

Answer 30

c

Question 31

Integrace mocninné funkce

∫ xⁿ dx

Answer 31

(xⁿ⁺¹) / (n+1) +c

Question 32

integrace exponenciální funkce

∫ aᕁ dx

Answer 32

aᕁ / ln a +c

Question 33

Integrace x ve jmenovateli

∫ 1/x dx

Answer 33

ln|x| +c

Question 34

Integrace mocninné funkce ve jmenovateli

∫ 1/xⁿ dx

Je nezbytná podmínka, která nemusí být hned patrná

Answer 34

-1/ [(n -1) × xⁿ⁺¹]

n ≠ 1

Question 35

Integrace exponenciální funkce s přirozeným základem

∫ eˣ dx

Answer 35

eˣ +c

Question 36

Integrace kosinu

∫ cos x dx

Answer 36

sin x +c

Question 37

Integrace sinu

∫ sin x dx

Answer 37

-cos x +c

Question 38

integrace čtverce kosinu ve jmenovateli

∫ 1/ cos²x dx

Answer 38

tg x +c

Question 39

Integrace čtverce sinu ve jmenovateli

∫ 1/ sin²x dx

Answer 39

-cotg x +c

Question 40

integrace převrácené hodnoty odmocniny z rozdílu 1 a mocninné funkce

∫ 1/ √(1-x²) dx

Answer 40

arcsin x +c

Question 41

Je integrál převrácené hodnoty součtu 1 a čtverce x

∫ 1/ (1+x²) dx

Answer 41

arctg x +c

Question 42

V o transponování součtu a součinu matic

Answer 42

Jsou-li A a B matice vhodného typu,
* transpozice součtu matic A a B = součet transpozic A a B

Question 43

V o hodnosti blokové matice

Answer 43

Je-li matice rozdělena na pravidelné bloky P, Q, R a S ⋀ ∃ vhodná matice C pak matice rozdělená na bloky dle stejného schématu, kde místo bloku R je blok R+CP a místo bloku S je blok S+CQ, má tato matice s maticí původní stejnou hodnost

Question 44

V o determinantu blokové matice

Answer 44

Je-li matice rozdělena na pravidelné bloky P, Q, R a S a blok P je regulární, pak determinant této matice = součinu determinantů bloku P a bloku S-RP⁻¹Q

Question 45

V o součinu determinantů

Answer 45

Jsou-li A a B čtvercovými maticemi stejného řádu, pak determinant součinu těchto matic = součinu determinantů těchto matic

Question 46

V o determinantu inverzní matice

Answer 46

A regulární matice ⇒ determinant matice k ní inverzní = převrácená hodnota determinantu této matice

Question 47

V o stopě součtu matic

Answer 47

A a B jsou čtvercové matice stejného řádu ⇒ stopa součinu těchto matic se nemění s výměnou pořadí činitelů

Question 48

V o inverzní matici

Answer 48

A regulární matice ⇒ A⁻¹ = podílu *A’ * a determinantu matice A