4MM103 Matematika 2 Flashcards
V o transponování součtu a součinu matic
Jak zní?
Jsou-li matice A a B shodného typu, pak transpozice součtu těchto mladic je rovna součtu těchto matic transportovaných a transpozice součinu těchto matic je rovna součinu těchto matic transponovaných
V o součinu blokových matic
Jak zní?
Je-li matice A typu m×n a matice B typu n×p, matice jsou rozděleny na bloky a sloupcové dělení matice A je stejné jako řádkové matice B, pak se součin matic A×B řeší, stejně jako kdyby se násobily jednotlivé prvky matic, akorát se násobí bloky těchto matic (které je ale potřeba předtím ještě každý vynásobit)
Zkrátka se s bloky pracuje stejně jako s prvky, ale je potřeba mít na vědomí, že ty bloky jsou ve skutečnosti matice
V o rozkladu matice na součet matic
Jak zní?
Je-li A čtvercová matice a existuje symetrická matice S a kososymetrická matice K tak, že A je součtem polovin S a K, pak součet symetrické a kososymetrické matice rovný matici A lze vyjádřit jako součet poloviny součtu matice A a matice k ní transponované a poloviny rozdílu matice A a matice k ní transponované
V o transponování blokové matice
Jak zní?
Jestliže je matice A rozdělena na pravidelné bloky, pak matice k ní transponovaná je tvořena transponovanými bloky, každý z nich je ovšem transponovat zvlášť
V o součtu blokových matic
Jak zní?
Jsou-li A a B matice stejného typu rozdělené do bloků a bloky matice A jsou stejného typu jako u matice B, pak součet matic A a B je roven matici, terá je výsledkem součtu vzájemně si odpovídajících prvků obou matic
V o skeletním rozkladu matic
Jak zní?
Je-li A nenulová matice typu m×n a hodnost matice A je rovna r, existují matice B (typu m×r) a C (typu r×n) takové, že matice A je součtem matic B a C a hodnost matice A je rovna hodnosti matice B, je rovna hodnosti matice C a je rovna r
Pouze čtvercové matice
Symetrická matice
Jak vypadá?
Prvky matice jsou vzájemně symetrické podle hlavní diagonály
Pouze čtvercové matice
Kososymetrická matice
Jak vypadá?
Často též antisymetrická matice
Prvky matice jsou vzájemně symetrické podle hlavní diagonály s opačným znaménkem
Na hlavní diagonále musí být samé 0
V o hodnosti součinu vzájemně transponovaných matic
Jak zní?
Hodnost matice vynásobené zprava či zleva maticí k ní transponovanou je rovna hodnosti této matice a ta je rovna hodnosti matice k ní transponované
V o hodnosti matice násobené regulární maticí
Jak zní?
Násobíme-li vhodnou matici maticí regulární, její hodnost se nezmění
V o reálném násobku blokové matice
Jak zní?
Vynásobíme-li blokovou matici reálným násobkem, pak je potřeba vynásobit tímto násobkem každý blok matice zvlášť
Důsledek věty o hodnosti blokové matice
Jak zní?
Je-li A matice rozdělená na bloky P, Q, R a S, blok P je regulární maticí řádu r a blok S je roven součinu (v uvedeném pořadí) matice R, inverzní matice k matici P a matice Q, pak hodnost matice A je rovna r
derivace konstanty
(c)’
0
Derivace mocninné funkce
(xⁿ)’
n × xⁿ⁻¹
Derivace exponenciální funkce s přirozeným základem
(eᕁ)’
eᕁ
Derivace exponenciální funkce
(kᕁ)’
kᕁ × ln x
Derivace přirozeného logaritmu
(ln x)’
1/x
Derivace logaritmu o základu a z x
(logₐ x)’
1/ (x × ln a)
Derivace odmocniny
(√x )’
1/ (2 × √x )
Derivace sinu
(sin x)’
cos x
Derivace kosinu
(cos x)’
-sin x
Derivace tangens
(tg x)’
1/ (cos²x)
Derivace cotangens
(cot x)’
-1/ (sin²x)
Derivace arkussinu
(arcsin x)’
1/ √(1-x²)
Derivace arkuskosinu
(arccos x)’
-1/ √(1-x²)
Derivace arkustangens
(arctg x)’
1/ (1 + x²)
Derivace arkuskotangens
(arccot x)’
-1/ (1 + x²)
integrace konstanty
∫ k dx
kx +c
Integrace funkce násobené konstantou
∫ k × fᕁ dx
k × ∫ fᕁ dx
Integrace 0
∫ 0 dx
c
Integrace mocninné funkce
∫ xⁿ dx
(xⁿ⁺¹) / (n+1) +c
integrace exponenciální funkce
∫ aᕁ dx
aᕁ / ln a +c
Integrace x ve jmenovateli
∫ 1/x dx
ln|x| +c
Integrace mocninné funkce ve jmenovateli
∫ 1/xⁿ dx
Je nezbytná podmínka, která nemusí být hned patrná
-1/ [(n -1) × xⁿ⁺¹]
n ≠ 1
Integrace exponenciální funkce s přirozeným základem
∫ eˣ dx
eˣ +c
Integrace kosinu
∫ cos x dx
sin x +c
Integrace sinu
∫ sin x dx
-cos x +c
integrace čtverce kosinu ve jmenovateli
∫ 1/ cos²x dx
tg x +c
Integrace čtverce sinu ve jmenovateli
∫ 1/ sin²x dx
-cotg x +c
integrace převrácené hodnoty odmocniny z rozdílu 1 a mocninné funkce
∫ 1/ √(1-x²) dx
arcsin x +c
Je integrál převrácené hodnoty součtu 1 a čtverce x
∫ 1/ (1+x²) dx
arctg x +c
V o transponování součtu a součinu matic
Jsou-li A a B matice vhodného typu,
* transpozice součtu matic A a B = součet transpozic A a B
V o hodnosti blokové matice
Je-li matice rozdělena na pravidelné bloky P, Q, R a S ⋀ ∃ vhodná matice C pak matice rozdělená na bloky dle stejného schématu, kde místo bloku R je blok R+CP a místo bloku S je blok S+CQ, má tato matice s maticí původní stejnou hodnost
V o determinantu blokové matice
Je-li matice rozdělena na pravidelné bloky P, Q, R a S a blok P je regulární, pak determinant této matice = součinu determinantů bloku P a bloku S-RP⁻¹Q
V o součinu determinantů
Jsou-li A a B čtvercovými maticemi stejného řádu, pak determinant součinu těchto matic = součinu determinantů těchto matic
V o determinantu inverzní matice
A regulární matice ⇒ determinant matice k ní inverzní = převrácená hodnota determinantu této matice
V o stopě součtu matic
A a B jsou čtvercové matice stejného řádu ⇒ stopa součinu těchto matic se nemění s výměnou pořadí činitelů
V o inverzní matici
A regulární matice ⇒ A⁻¹ = podílu *A’ * a determinantu matice A
