4 - Trasformata di Fourier Flashcards
Cos’è la trasformata di Fourier? + FORMULE
La trasformata di Fourier è uno strumento matematico che permette di analizzare un segnale nel dominio delle frequenze anziché nel dominio del tempo. In altre parole, permette di scomporre un segnale complesso in una combinazione di sinusoidi di diverse frequenze.
Immagina di avere un segnale nel dominio del tempo, come ad esempio una forma d’onda audio. Questo segnale può essere rappresentato come una combinazione di diverse frequenze. La trasformata di Fourier ci consente di identificare queste frequenze e determinare l’ampiezza e la fase di ciascuna di esse.
Il processo di trasformata di Fourier può essere diviso in due parti: la trasformata diretta e la trasformata inversa. La trasformata diretta converte un segnale dal dominio del tempo al dominio delle frequenze, mentre la trasformata inversa fa il contrario, cioè converte il segnale dal dominio delle frequenze al dominio del tempo
FORMULA SLIDE
La formula della trasformata di Fourier dipende dalla convenzione che si utilizza, ma la formulazione più comune è la seguente:
Data una funzione nel dominio del tempo f(t), la sua trasformata di Fourier F(ω) nel dominio delle frequenze è data dalla seguente equazione:
F(ω) = ∫[da] f(t) * e^(-iωt)
F(ω) rappresenta la funzione nel dominio delle frequenze, che dipende dalla variabile ω (omega), che rappresenta la frequenza. f(t) è la funzione originale nel dominio del tempo, che dipende dalla variabile t, che rappresenta il tempo. ∫[da] indica l'integrazione rispetto alla variabile di integrazione a, che può essere sostituita con t nel contesto della trasformata di Fourier. e^(-iωt) rappresenta la funzione esponenziale complessa, dove e è il numero di Nepero (2.71828...) ed i è l'unità immaginaria (√(-1)).
Come funziona la trasformata diretta e la trasformata inversa di Fourier?
Trasformata diretta di Fourier:
La trasformata diretta converte un segnale dal dominio del tempo al dominio delle frequenze. Prendiamo una funzione f(t) come input nel dominio del tempo e applichiamo la trasformata diretta per ottenere la sua rappresentazione nel dominio delle frequenze, che chiameremo F(ω).
Il processo di trasformata diretta coinvolge l’applicazione di un’integrale sulla funzione f(t) moltiplicata per una funzione esponenziale complessa, e questo viene fatto per tutti i possibili valori di ω (frequenze). Il risultato di questa operazione sarà una rappresentazione di F(ω), che indica l’ampiezza e la fase delle diverse frequenze presenti nel segnale originale f(t).
Trasformata inversa di Fourier:
La trasformata inversa di Fourier fa esattamente l’opposto della trasformata diretta. Prendendo una funzione F(ω) nel dominio delle frequenze come input, applichiamo la trasformata inversa per ottenere la sua rappresentazione nel dominio del tempo, che chiameremo f(t).
Il processo di trasformata inversa coinvolge l’applicazione di un’integrale sulla funzione F(ω) moltiplicata per una funzione esponenziale complessa, e questo viene fatto per tutti i possibili valori di t (tempi). Il risultato di questa operazione sarà una rappresentazione di f(t), che rappresenta il segnale originale nel dominio del tempo.
Cosa dice il teorema di convoluzione? + Formule
Il teorema di convoluzione stabilisce che quando abbiamo due domini in relazione, ovvero dominio spazio-tempo e frequenze, una moltiplicazione tra due funzioni in un dominio implica una convoluzione nell’altro dominio, e viceversa. Questo permette di stabilire una relazione tra le operazioni nei diversi domini
Nel dominio del tempo:
Se abbiamo due funzioni nel dominio del tempo, chiamate g(t) e h(t), il loro prodotto di convoluzione è definito come:
(g * h)(t) = ∫[da] g(a) * h(t - a)
Dove ∫[da] rappresenta l’integrale rispetto alla variabile a( una variabile di integrazione). Questa formula rappresenta il risultato di convolvere g(t) e h(t) in un certo istante di tempo t.
Nel dominio delle frequenze:
Se applichiamo la trasformata di Fourier sia a g(t) che a h(t), ottenendo rispettivamente G(ω) e H(ω) nel dominio delle frequenze, allora il prodotto di convoluzione nel dominio del tempo corrisponde a una semplice moltiplicazione nel dominio delle frequenze:
Fourier{(g * h)(t)} = G(ω) * H(ω)
Dove * rappresenta l’operazione di moltiplicazione nel dominio delle frequenze.
Questo significa che, per calcolare il prodotto di convoluzione di due funzioni nel dominio del tempo, possiamo semplicemente prendere le loro trasformate di Fourier, moltiplicare i loro spettri di frequenza e quindi applicare la trasformata inversa di Fourier per ottenere il risultato nel dominio del tempo.
Perchè usare un dominio invece di un altro?
L’utilizzo di un dominio specifico, come il dominio del tempo o il dominio delle frequenze, dipende dal tipo di analisi o elaborazione che si desidera effettuare sui dati o sui segnali. Ogni dominio offre vantaggi e strumenti specifici per affrontare determinati problemi.
Ecco alcune ragioni per cui si preferisce utilizzare un dominio rispetto a un altro:
Dominio del tempo:
Il dominio del tempo è spesso utilizzato per l’analisi e la rappresentazione di segnali nel loro aspetto temporale. È utile per valutare l’evoluzione di un segnale nel corso del tempo, rilevare eventi transitori e valutare la forma d’onda in relazione al tempo.
Nel dominio del tempo, è più facile comprendere l’andamento temporale di un segnale e valutare la relazione causa-effetto tra diverse componenti del segnale.
Ad esempio, l’analisi del dominio del tempo è comune nell’elaborazione audio per valutare l’ampiezza, la durata e la forma d’onda di un suono.
Dominio delle frequenze:
Il dominio delle frequenze è utile per analizzare le componenti di un segnale in termini di frequenze e ampiezze. Questo dominio offre informazioni sulle diverse componenti di un segnale e sulla loro distribuzione spettrale.
Nel dominio delle frequenze, è possibile identificare le frequenze dominanti, le armoniche e le caratteristiche spettrali di un segnale.
L’analisi nel dominio delle frequenze è spesso utilizzata nell’elaborazione dei segnali per applicare filtri, rilevare modulazioni, comprimere i dati e valutare la presenza di rumore o interferenze.
La scelta del dominio dipende dalle specifiche esigenze dell’applicazione. Ad esempio, se si desidera eliminare il rumore da un segnale audio, potrebbe essere più efficace utilizzare tecniche di filtraggio nel dominio delle frequenze. D’altra parte, se si desidera analizzare l’andamento temporale di un segnale, il dominio del tempo potrebbe essere più appropriato.
In molti casi, l’analisi viene effettuata in entrambi i domini, poiché combinare le informazioni provenienti dai due domini può fornire una visione più completa e dettagliata del segnale o dei dati in esame
Cos’è il campionamento?(FOURIER)
il campionamento si riferisce alla conversione di un segnale continuo nel dominio del tempo in una sequenza discreta di valori, ciascuno rappresentante il valore del segnale in un preciso istante di tempo.
Durante il campionamento, il segnale analogico viene campionato ad una frequenza costante, chiamata frequenza di campionamento. Questa frequenza determina quanti campioni vengono presi al secondo e influenza la fedeltà con cui il segnale originale può essere rappresentato. La frequenza di campionamento viene espressa in unità di Hertz (Hz) e comunemente indicata come “samples per second” o “sampling rate”.
Il processo di campionamento può essere compreso meglio con un esempio pratico. Immaginiamo di avere un segnale audio analogico, come una voce umana. Per digitalizzare questo segnale, è necessario campionarlo. Ad esempio, se utilizziamo una frequenza di campionamento di 44.1 kHz (44.100 campioni al secondo), prenderemo un campione del segnale ogni 1/44.100 secondi, corrispondente a circa 22.7 microsecondi. Ogni campione rappresenterà il valore del segnale audio in quel preciso istante di tempo.
È importante notare che il teorema del campionamento di Nyquist-Shannon stabilisce che la frequenza di campionamento deve essere almeno il doppio della frequenza massima del segnale per evitare la perdita di informazioni o l’effetto dell’aliasing. Questo è noto come il criterio di Nyquist e assicura che il segnale originale possa essere correttamente ricostruito dal suo campionamento discreto.
Cos’è il teorema del campionamento?
Il teorema del campionamento, noto anche come teorema di Nyquist-Shannon, è un principio fondamentale nell’elaborazione dei segnali che stabilisce una condizione necessaria per evitare l’aliasing e consentire la corretta ricostruzione di un segnale analogico a partire dai suoi campioni discreti.
Il teorema afferma che per evitare l’aliasing, la frequenza di campionamento deve essere almeno il doppio della frequenza massima presente nel segnale analogico. In altre parole, la frequenza di campionamento deve essere superiore al doppio della massima frequenza del segnale che si desidera catturare
aliasing(è il fenomeno per il quale due segnali analogici diversi possono diventare indistinguibili una volta campionati)
