4. Analitikusság Flashcards
CAUCHY-FORMULA
- Cauchy-formulák?
- Az integrálási változót t-vel jelölve az egyes együtthatók?
- Komplex diff.ható fv. analitikussága?
Ha az f: C —> C fv. diff.ható, akkor a benne futó zárt γ görbére és egy azon belüli z0 pontra: 1/(2πi) ∮dz f(z)/(z–z0) = f(z0). Azaz, egy görbén felvett értékek már meghatározzák a görbén belüli pontokban felvett értékeket (az analitikus fv.-ek merevsége miatt).
- n!/(2πi) ∮dz f(z)/(z–z0)^(n+1) = f^(n)(z0)
- a0 = f(z0) = ∮dt/(2πi)f(t)/(t–z0) —> a_n = f^(n)(z0)/n! = ∮dt/(2πi)f(t)/(t–z0)^(n+1)
- f(z) fv.-t z0 körül tényleg z–z0 szerinti hatványsorba lehet fejteni, tehát komplex diff.ható fv. tényleg analitikus.
ANALITIKUSSÁG
- ÉT?
- Diff.hatóság?
- Ellenpélda?
Egy fv. analitikus, ha minden z0 eleme Dom(f) pontnak van olyan nemnulla sugarú körlap környezete, amin belül f előállítható egy z0 középpontú megfelelő hatványsorral. Azaz analitikus fv. minden z eleme Dom(f) körül hatványsorba fejthető.
- Analitikus fv. ÉT-je nyílt halmaz, mivel minden pont körül van olyan környezet, ahol legalább értelmes. Továbbá feltesszük, hogy az ÉT összefüggő.
- Analitikus fv. végtelenszer diff.ható is.
- f(z) = 0, ha x =< 0 és e^(–1/x), ha x > 0, ami x = 0 körül nem fejthető hatványosorba.
f analitikus fv. mikor nulla?
Állítás: Amikor f analitikus fv. és U részhalmaza Dom(f)-nek, ha f az U-n mindenhol nulla, akkor az egész Dom(f)-en azonosan nulla. (Analitikus fv.-ek merevek, nem lehet akárhogy “tekergetni” őket.)
Állítás:
Ha f analitikus, H részhalmaza Dom(f)-nek, olyan részhalmaz, aminek van torlódási pontja Dom(f) belsejében és f H-n nulla, akkor f azonosan nulla mindenhol a Dom(f)-en.
Két analitikus fv. kapcsolata?
Amennyiben f és g analitikusak, Dom(f) metszet Dom(g) nemüres nyílt, összefüggő halmaz, és H olyan hogy a metszet belsejében van torlódási pontja, akkor ha f=g teljesül H-n, akkor teljesül az egész metszeten. Azaz, ha két analitikus fv. megegyezik legalább az ÉT-ik közös részének egy részhalmazán, akkor mindenütt megegyeznek, ahol értelmezettek.
ANALITIKUS ELFOLYTATÁS
Ha analitikus f fv.-hez van egy bővebb halmazon értelmezett g analitikus fv., ami megegyezik f-fel, ahol csak f értelmes, akkor adott bővebb halmazon g egyértelmű, azaz g az f-nek bővebb halmazon való analitikus elfolytatása.
Analitikus fv. hatványsorának konvergenciasugara?
Diff.ható f adott z0 körüli hatványsorának az a legnagyobb R érték a konvergenciasugara, amilyen sugarú z0 körüli nyílt körlapra f analitikusan elfolytatható.
f egészfv. mikor polinom?
Ha f egészfv. és léteznek N eleme N+0 és K eleme R+ számok, amikkel |f(z)| =< K*|z|^N egy korlátos halmazon kívül mindenhol teljesül, akkor f egy legfeljebb N-edfokú polinom.
LAURENT-SOR
- Együtthatók?
- Alapötlet?
f(z) = Σ(–∞)(∞) c_n*(z–z0)^n
- c_n = 1/(2πi) ∮(z0+) dt f(t)/(t–z0)^(n+1)
- Az 1/(z–z0), 1/(z–z0)^2, stb. fv.-eknek z0 izolált szingularitása. a0 + a1(z–z0) + a2(z–z0)^2 + … alakú sorban áll elő diff.ható fv., így ha z0-ban izolált szingularitás van, akkor lehetnek negatív kitevőjű tagok.
Izolált szingularitások osztályzása?
Adott f fv. adott z0 izolált szingularitása esetén z0 az f-nek:
— megszüntethető szingularitása: f z0 körüli Laurent-sorában a negatív indexű együtthatók nullák.
A Laurent-sor ilyenkor olyan, mint egy rendes pozitív együtthatós hatványsor, így a fv. kiterjeszthető z0-ba is, és a kiterjesztésnek ugyanez a hatványsora biztos, hogy diff.ható.
— m-edrendű pólus: az itteni Laurent-sorban az m-edik negatív c_(–m) ≠ 0, de a negatívabb indexűek nullák
Ha z —> z0, akkor |f(z0)| —> ∞, de (z–z0)^(–m)-nel szorozva z0-ban véges c_(–m) határértéke van, így pólusban a fv. nem folytatható el analitikusan.
— lényeges szingularitás: f z0 körüli Laurent-sorában végtelen sok negatív indexű nemnulla c_n együttható van
f(z)-nek ilyenkor z0-ban se véges, se végtelen határértéke nincs, ilyenkor bármilyen kicsi r>0 esetén z0 körüli r sugarú kipontozott körlapon f legfeljebb egy kivétellel minden komplex szám értéket végtelen sokszor felvesz.
REZIDUUM
Egy f fv. adott z0 izolált szingularitásbeli Laurent-sorának –1-es indexű c_(–1) együtthatója. Ha f(z) = Σ(–∞)(∞) c_n*(z–z0)^n: Resf(z)|(z=z0) = c_(–1)
REZIDUUMTÉTEL
- Bizonyítás lényege?
- Megkerült reziduumok? Irányítás?
Ha γ az önmagát nem metsző zárt görbe olyan nyílt halmazban fut, amiben f diff.ható véges sok z_k izolált szingularitást kivéve és γ pozitív irányítású, akkor:
∮(γ) dz f(z) = 2πi*Σ(z_k eleme Intγ) Res(f)|(z=z_k),
azaz ilyen zárt görbére vett integrál értékét a megkerült szingularitások reziduumainak összegei adják meg.
- A görbe a Cauchy-tétel alapján csakis diff.ható tartományokon át mozgatva „szétdarabolható” olyan görbékké, amelyek egy-egy szingularitást kerülnek meg.
- Fontos, hogy csak azon szingularitások reziduumait kell összeadni, amiket a görbe megkerül, illetve negatív irányítás esetén az egész –1-szeres lesz.
LAURENT-TÉTEL
- Konvergencia? Együtthatók egyértelműsége?
- Vágásoknál?
Ha z0 az f: C —> C fv. izolált szingularitása és R>0 olyan sugár, hogy f diff.ható a G_R(z0){z0} halmazon, akkor ha z ebben a halmazban van, f(z) előállítható a következő sorral:
f(z) = Σ(–∞, ∞) c_n(z–z0)^n, ahol c_n = 1/(2πi)∮(z0+) dt f(t)/(t–z0)^(n+1)
• A sor abszolút konvergens és egyenletesen is konvergens minden r1>0 belső sugarú és r2
Zérushelyek rendje?
• Polinomoknál?
z0 annyiadik z.h., ahányadik z0-beli derivált az első nem eltűnő.
• Ugyanannyi, mint a zérushely multiplicitása.
Két fv. hányadosának pólusai?
f(z) = g(z)/h(z) esetén, ha egy z0 a nevezőnek N-szeres, a g számlálónak pedig S-szeres z.h.-e, akkor ez a z0 f-nem N–S-edrendű pólusa (ha N>=S) vagy S–N-szeres zérushelye (ha S>=N).
MEROMORF függvény
Egy f: C —> C fv. meromorf, ha Dom(f) nyílt halmaz izolált szingularitások kivételével, melyek legfeljebb pólusok (azaz nem lényeges szingularitások). Korlátos zárt halmazon előállnak egy ott mindenhol diff.ható fv. és egy polinom hányadosaként.
