2. Komplex differenciálhatóság és egyszerű következményei

Question 1

Mikor komplex diff.ható egy függvény?

• Differenciálási szabályok?
• C mint sík?

Answer 1

f diff.ható z-ben, ha létezik a lim(w—>z) f(w) – f(z)/w–z = lim(Δz—>0) [f(z + Δz) – f(z)]/Δz = f’(z) határérték és z a Dom(f) belső pontja. (Azaz f diff.ható, ha minden pontjában az).

• Ugyanúgy érvényesek.
• f’(z) akkor létezik, ha w-vel akárhogyan is tartunk z-hez, a hányados ugyanahhoz a komplex számhoz tart.

Question 2

Komplex függvények “felbontása”?

Answer 2

Minden f: C —> C fv.-hez két db két valós változós, valós értékeket felvevő U(x,y) és V(x,y) van társítva.
f(z) = f(x+iy) = U(x,y) + i*V(x,y)

Question 3

CAUCHY-RIEMANN-EGYENLETEK

Answer 3

f pontosan akkor diff.ható, z = x+iy-ban, ha U és V is diff.ható és teljesülnek a Cauchy-Riemann egyenletek:
∂U/∂x = ∂V/∂y és ∂U/∂y = –∂V/∂x. Tehát nem minden U és V fv. lehet egy diff.ható f(z) valós és képzetes része.

Question 4

A Cauchy-Riemann-egyenletek következménye a szintvonalakra nézve?

• Mit lehet vizsgálni?

Answer 4

Ahol f diff.ható, ott gradU*gradV = 0, tehát U és V fv.-ek szintvonalai merőlegesek a síkon, ezért ortogonális koordinátrendszert adnak a síkon. Úgy is felfogható, hogy egy f: C —> C fv. a C sík pontjait (számokat) más pontokba (számokba) visz át.

Question 5

C-n futó görbe?

Answer 5

Lehet egy [t1,t2] —> C diff.ható leképezés. Tehát görbe a C síkon: z(t) = x(t) + iy(t), érintője z’(t) = x’(t) + iy’(t).

Question 6

KONFORM LEKÉPEZÉSEK

• Állítás?

Answer 6

Diff.ható fv. mint a C sík transzformációja szögtartó.

• Ha a C síkon a γ1 és γ2 görbék α szögben metszik egymást, akkor a C-t egy z’ = f(z) diff.ható fv.-nyel leképezve (ha f’ ≠ 0 sehol) a z’ síkon kapott képgörbék ugyanolyan α szögben metszik egymást. Tehát minden komplex diff.ható fv. a sík valamilyen konform leképezését valósítja meg.

Question 7

Laplace-egyenlet a valós és képzetes részekkel kapcsolatban?

Answer 7

Minden komplex diff.ható fv. valós és képzetes része is olyan fv., ami automatikusan kielégíti a kétdimenziós Laplace-egyenletet.

Question 8

HARMONIKUS FÜGGVÉNYEK

• Harmonikus pár?
• Harmonikus pár keresése adott U fv.-hez?
• f(z) rekonstruálása U-ból és V-ből?

Answer 8

Olyan függvények, amelyekre Δψ = 0, azaz megoldják a Laplace-egyenletet.

• Olyan fv.-ek, amelyek harmonikusak és kielégítik a Cauchy-Riemann-egyenleteket (azaz a szintvonalaik egymásra ortogonálisak).
• Konzisztenciafeltételek: ∂(x)G = ∂(y)F, ahol F = ∂(x)V és G = ∂(y)V, illetve ΔU = 0. Ezekből lehet primitív függvényeket keresni, majd az additív konstanst meghatározni.
• Mivel x = (z + z)/2 és y = (z – z)/2i:
f(z) = U[(z + z)/2] + iV[(z – z*)/2i]

Question 9

VARÁZSFORMULA

• z0 megadása?

Answer 9

Az az f(z), amire Re[f(z)] = U(x,y).
f(z) = 2*U[x = (z + z0)/2, y = (z – z0)/2i] – U(x0,y0)

• z0-nak bármilyen értéket lehet választani, ahol U sima, csak a képzetes részhez ad egy konstanst.

Question 10

EGÉSZFÜGGVÉNY

• Liouville tétele?

Answer 10

Olyan fv.-ek, amik az egész C komplex síkon mindenhol diff.hatók.

• Korlátos egész függvény konstans, azaz ha egy f(z) egeszfv.-ről tudjuk, hogy van olyan K pozitív valós szám (vagy nulla), amivel |f(z)|=< K mindenhol teljesül, akkor csakis f(z) = c konstans fv. lehet. (Valós fv.-ekre ez persze nem igaz.)

Question 11

IZOLÁLT SZINGULARITÁS
VÁGÁS

• Elágazási pont?

Answer 11

Egy fv.-nek olyan z0 pontja , ahol f(z) nem értelmes, de van körlap z0 körül, ahol (z0-t kivéve) f(z) diff.ható.

Olyan két kijelölt perempont közötti sima vonal, amelyek pontjaiban f nem diff.ható, de a vonalat tartalmazó nyílt halmazon igen (a vonalat kivéve) és a vonal „belső” pontjaihoz z-vel két oldal felől tartva f-nek és deriváltjainak értelmes véges határértékei vannak, melyek legalább valamelyik deriváltra különböznek a két oldal felől.

• A vágások perempontjai, ahol a fv. (és/vagy deriváltjai) tarthat véges vagy végtelen hatáértékhez, vagy lehet, hogy nincs határértékük.