30-60 Flashcards
Definiraj paralelogram
je štirikotnik, ki ima dva para vzporednih stranic
Navedite lastnosti kotov in stranic paralelograma.
- nasprotni stranici sta skladni in vzporedni
- po dva nasprotna kota sta vzporedna
- po dva sosedna kota sta suplementarna
Navedite posebne vrste paralelogramov in opišite njihove lastnosti
- pravokotnik je paralelogram, ki ima 4 prave kote
- romb je paralelogram, ki ima vse stranice enako dolge, njegovi diagonali se sekata pravokotno
- kvadrat je paralelogram, ki je hkrati pravokotnik in rob. vsi njegovi notranji koti so pravi, vse stranice so enako dolge, njegovi diagonali se sekata pravokotno
Kaj velja za diagonali paralelograma?
diagonali se razpolavljata, paralelogram je središčno zrcalen glede na presečišče diagonal
definiraj trapez
trapez je širikotnik, ki ima par vzporednih stranic, vzporedni stranici sta osnovnici, drugi dve stranici sta kraka. Notranja kota ob istem kraku sta suplementarna
navedite lastnosti kotov trapeza
- vsota velikosti notranjih kotov je 360
- vsota velikosti kotov ob istem kraku je enaka iztegnjenemu kotu (alfa+beta=180, beta+gama=180, alfa=beta, gama=delta)
. zunanji kot je sokot notranjega kota
Kaj je srednjica trapeza in katere lastnosti ima
srednjica trapeza je zveznica razpolovišča krakov in je vzporedna z osnovnicama, njena dolžina je enaka aritmetični sredini dolžin obeh osnovnic
s=a+b/2
kaj je višina trapeza
višina trapeza je daljica s krajiščema na nosilkah vzporednih stranic trapeza, pravokotna na nosilki
Pri katerih trapezih sta diagonali enako dolgi?
diagonali sta enako dolgi pri enakokrakem trapezu
V kakšni medsebojni legi sta lahko premica in krožnica, ki ležita v isti ravnini?
naj bosta r polmer krožnice, d pa razdalja premice od središča krožnice. premica in krožnica, ki ležita na isti ravnini:
- nimata nobene skupne točke: d>r
- imata eno skupno točko (tangenta): d=r
- imata dve različni skupni točki (sekanta): d<r
Podrobno opišite konstrukcijo tangente na krožnico v dani točki krožnice.
ker je tangenta pravokotna na polmer krožnice, ki povezuje dotikališče T s središčem S krožnice, načrtamo daljico ST in nato v točki T pravokotnico na daljico ST
Definirajte središčni in obodni kot v krogu
središčni kot nad lokom je kot, katerega vrh je središče krožnice, kraka pa gresta skozi točko, ki določata lok.
Obodni kot nad lokom je kot, ki ima vrh na krožnici, kraka pa gresta skozi točki, ki določata lok.
V kakšni zvezi sta (središčni in obodni kot), če ležita nad istim lokom kroga?
vsi obodni koti nad istim lokom so enako veliki. središčni kot je dvakrat toliko velik kot obodni kot nas istim lokom.
Povejte in dokažite Talesov izrek o kotu v polkrogu
Tolesov izrek: kot, ki ima vrh na krožnici, kraka pa potekata skozi krajišči premera te krožnice je pravi kot.
Dokaz: v tem primeru imamo obodni kot nad lokom, ki je enak polovici krožnice. Pripadajoči središčni kot je torej iztegnjen ker je središčni kot dvakrat toliko velik kakor obodni kot nad istim lokom, velja 2gama=180, od tod pa dobimo gama=90. velikost obodnega kota gama je enaka 90, obodni kot je pravi
V enakostraničnem trikotniku ABC je S središče trikotniku očrtane krožnice. Koliko
meri kot ASB ?
glej skico
Povejte kosinusni izrek. Na primeru opišite njegovo uporabo.
glej zapiske
Povejte sinusni izrek. Na primeru opišite njegovo uporabo
glej zapiske
Kateri izrek dobimo, če v pravokotnem trikotniku uporabimo kosinusni izrek za izračun
hipotenuze? Odgovor utemeljite
glej zapiske
Navedite formulo za izračun ploščine trikotnika.
formula
Navedite formulo za izračun ploščine paralelograma
formula
Navedite formulo za izračun ploščine deltoida in jo predstavite na primeru.
formula
Navedite formulo za izračun ploščine trapeza in jo predstavite na primeru
formula
Navedite formuli za izračun ploščine kvadrata in ploščine pravokotnika
formuka
Navedite formulo za izračun ploščine romba in jo predstavite na primeru
fomrula
Navedite formulo za izračun višine enakostraničnega trikotnika
formula
Navedite formuli za izračun ploščine enakostraničnega in ploščine pravokotnega
trikotnika.
formula
Navedite formuli za izračun ploščine in obsega kroga
formula
Navedite formuli za izračun dolžine krožnega loka in ploščine krožnega izseka
formula
Kako z uporabo pravilnih večkotnikov izračunamo približno vrednost razmerja med
obsegom in premerom kroga?
formula
definirajte prizmo
je oglato telo, omejeno s skladnima vzporednima večkotnikoma, ki sta osnovni ploskvi in plaščem iz paralelogramov (stranske ploskve)
kdaj je prizma enakoroba?
ce so vsi njeni robovi enako dolgi
kdaj je prizma n-strana?
ce ima n osnovnih robov
kdaj je prizma pravilna?
če je pokončna in ima za osnovni ploskvi pravilna lika. če so stranski robovi pravokotni na osnovno ploskev. v=stranskemu robu
navedite formulo za izračun prostornine pokončne prizme
V=Sxv
izpeljite formulo za izračun površine pravilne enakorobe štiristrane prizme z robom a
glej zapiske
definiraj pokončni valj
rotacijsko telo, ki nastane z vrtenjem pravokotnika okoli ene od stranic za 360 ali okoli ene od obeh simetrjskih osi za 180. omejujeta ga dva enaka vzporedna skladna kroga in plašč v obliki sklenjene valjaste ploskve
skiciraj mrežo valja
skica
kaj je osni presek valja?
je presek valja z ravnino, ki vsebuje os valja. to je pravokotnik s stranicama 2r in v
navedite formuli za izračun površine in prostornine pokončnega valja
formule
izrazite prostornino enakostraničnega valja s polmerom osnovne ploskve r
formule
Definiraj piramido
je oglato telo, katerega osnovna ploskev je večkotnik, stranske ploskve pa so trikotniki, ki se stikajo v skupni točki in jo imenujemo vrh piramide. vse stranske ploskve skupaj oblikujejo plašč piramide. stranice osnovne ploskve so osnovni robovi. rob v katerem se stikata dve stranski ploskvi je stranski rob. Višina piramide je razdalja vrha od osnovne ploskve. stranska višina je višina stranske ploskve.
kdaj je piramida enakoroba
ce so vsi njeni robovi enako dolgi
kdaj je piramida n-strana?
če ima n osnovnih robov
kdaj je piramida pravilna?
če je pokončna (pravokotna projekcija njenega vrha se ujema s središčem osnovne ploskve očrtane krožnice; stranski robovi so enako dolgi; stranske ploskve so enakokraki trikotniki) in ima za osnovno ploskev pravilni n-trikotnik
navedite formulo za izračun površine pravilne piramide
formula
Izrazite prostornino pravilne enakorobe štiristrane piramide z robom a
formula
definiraj pokončni stožec
stožec je pokončen, če je os stožca pravokotna na ravnino osnovne ploskve. pokončni stožec je rotacijsko telo, ki nastane tudi z vrtenjem pravokotnega trikotnika okoli ene od katet za 360
skiciraj mrežo stožca
skica
Opišite presek stožca z ravnino, vzporedno osnovni ploskvi
presek stožca z ravnino, vzporedno osnovni ploskvi, je krog ki je podoben osnovni ploskvi
Opišite presek stožca z ravnino, ki vsebuje os stožca
presek pokončnega stožca z ravnino, ki vsebuje os stožca je enakokraki trikotnik z osnovnico 2r in krakom s in ga imenujemo osni presek stožca
navedite formulo za izračun površine stožca
formula
izrazite prostornino enakostraničnega stožca z polmerom r
formula
Kaj je vektor?
So matematicne kolicine, ki jih ponazarjamo z usmerjenimi daljicami. Pri tem usmerjeni daljici AB in CD predstavljata isti vektor, ce izpolnjujeta naslednje pogoje: enako dolgi, vzporedni, enako usmerjeni
Definiraj sestevanje vektorjev
Sestevanje je operacija, ki paru vektorjev (a,b) priredi vsoto a+b, ki je vektor. Za sestevanje uporabimo paralelogramsko ali trikotnisko pravilo.
Definiraj nicelni vektor in nasprotni vektor danega vektorja
Nicelni vektor je vektor z dolzino 0.
Nasprotni vektor, je vektor, ki ima glede na nasprotni vektor enako dolzino, vendar nasprotno smer.
Definiraj odstevanje vektorja
Odatevamo po paralelogramskem ali trikotniskem pravilu. Definiramo kot pristevanje nasprotnega vektroja.
Povej vsaj dve lastnosti sestevanja vektorjev
(Formule)
Komitativni zakon, asociativni zakon, zakon o nevtralnem elementu
Definiraj mnozenje vektorjev s skalarji
Mnozenje vektorja s stevilkami je dvoclena operacija: produkt vektorja a z realnim stevilom k je vektor kxa, ki ima isto smer kot a (vzporedna), ima isto usmerjenost, ce je k>0 in nasprotno usmerjenost kot vektor a k<0 in ima dolzino lklxlal
Povejte vsaj tri lastnosti mnozenja vektorjev s skalarji
Formule
Asociativnost, distributivnost,
Kdaj sta vektorja kolinearna?
Ce lezita na isti premici
Definiraj enotski vektor
Enot.vekt. e je vektor z dolzino 1. Enotski vektor v smeri danega vektorja a, je vektor a/IaI
Opisi ptavokotni koordinatni prostor v prostoru R3
Sestavljajo ga 3 med seboj pravokotne osi (os x, y, z) s skupnim izhodiscem v preseciscu. Vsaka tocka v prostoru je dolocena z urejeno trojico stevil; x je abscisa tocke, y oridinata, z aplikata
Def. Standardno ortonormirano bazo v prostoru R3
Sestavljajo jo enotski vektorji, ki so med seboj paroma pravokotni. Vektorji i,j,k tvorijo ortonormirano bazo prostora, ce velja ixi=jxj=kxk=1 in ixj=lxk=jxk=0
Def. krajevne vektorje dane v prostoru R3
Krajevni vektor ra tocke (xa,ya,ra) je vektorod izhodisca koordinatnega sistema do tocke A
Izrazi krajevni vektor ra tocke, kot linearno kombinacijo tock A in B. Odg utemelji
Formule, skica
Kako izracunamo skalarni produkt dveh vektorjev, ce poznani njuni dolzini in kot med njima
Skal prod je enak prod dolzin vektorjev a in b in kosinusa kota med njima
Formula
Nastej vsaj tri last skalarnega produkta
Komutativniat
Homogenos
Distrugutivnsot
Kako s skal.prod.ugotovimo alinsta dana vektorja pravokotna? Prikazi s primerom
Ko je njun skalarni produkt enak 0
Formula (cos90)=0
Kako izracunamo skalarni produkt dveh vektorjev?
Skalnprod v ord.bazi je enak vsoti zmnizkov enakoleznih komponent vektorjev a in b
Formule
Kako izracunamo dolz vekotrja v stand ord bazi? Utemelji
Formula
Kako izrac kot med vektorjema v stand ord bazi?
Formula
Ponazori izracun kota med vekotorjema s primerom
Glej 47.4
Opisi pravokotni koordinatni sistem R2
48
Izpeljite formulo za racunanje razdalje med dvema tockama
Imamo tocke A in B njuna razdalja je enaka dolzini hipotenuze v pravokotltrikotniku s stranicama dolgima Ix2-x1l in ly2-y1l
Formula
Povejte koordinatni razpolovisca daljice z danima krajiscama
Formula
Tocko T prezrcali cez koordinatno izhodisce. Povej koordinati nove tocke
Primer
Tocko t prezrcali cez ordinatno os. Povejte koordinati dobljene tocke
Primer
Definirajte pojem funkcije (preslikave) iz mnozice A v mnozico B
Funkcija (preslikava, transformqcija) f mnozice A v mnozico B je predpis, ki vsakemu elementu x mnozice A priredi natanko dolocen element y v mnozici B
f:A—>B in na element f: x—>y ali y=f(x)
Definiraj pojme definicijsko obmocje, zaloga vrednosti in graf funkcije
Mnozica A je def.obm. ali domena funkcije f.
Mnozica B je kodomena funkcije, njena podmnozica f(A)={4€B; E]…. Formula
Graf funkcije f je mnozica vseh njenih parov, kjer je x€A. Graf funkcije je podmnozica kartezicnega produkta AxB
Formula
Skiciraj graf, ki ima zalogo vrednosti Zf=(2, nesk)
Skica
Skic graf predpis funkc a, ki imadef.obm. Df=(2,nesk)
Skica
Kdaj je funkcija liha in kdaj soda
Soda; ce za vsak x€Df velja: f(-x)=f(x). Simetricen graf glede na ordinatno os
Liha; ce za vsak x€Df velja f(-x)=f(x). Graf simetricen glede na koordinatno izhodisce
Kako iz grafa funkcije f ugotovimo, ali je funkcija f soda ozirima liha?
Glede na simetralo, soda=ordinatna, liha=izhodisce
Skiciraj graf ali povej predpis lihe funkcije
Skica
Y=x^2n-1
Skiciraj graf ali povejte predpis sode funkcije
Skica
Y=x^2n
Definiraj linearno funkcijo in povej kaj je njen graf
Lin.funk. je preslikava f:R—>R, dana s predpisom y=kx+n, kjer sta koef k in n poljubni realni stevili.
Graf lin funkc f(x)=kx+n je premica z enqcbo y=kx+n, kjer je stevilo k smerni koef premice, stevilo n pa ordinata tocke N(0,n) v kateri seka premica ordinatno os
V odvisnosti od diferencnega kolicnika k predvidote nqrasc in padaj linear funk.
K>0, lin,funk narasca
K<0 je padajoca
K=0 konstanta
Za koliko se spremeni vrednost funkcije f, ce vrednost neodvusne spremenljivke povecamo za 2?
Formula k=y2-y1/x2-x1
Ce spremenimo za 2, se potem za 2k
Kaj velja za grafa linearne funkcije z enqkima smernima koeficientama?
Sta vzporedni
Def. naklonski kot premice v ravniniter razlozite zvezo med naklonskim kotom in smernim koef dane premice (ce obstaja)
Kot alfa, ki ga premica y=kx oklepa s poltrakom v pozitivni smeri abcisne osi.
Naklonski kot premice je kot med premicoin pozitivno smerji abscisne osi
Tanalfa=k=y2-y1/x2-x1
Kako izracunamo kot med premicama, ce poznamo njuna smerna koeficienta?
Tanalfa=lk2-k1/1+k1xk2l
Kaj vekja za smerna koef vaporednih pemic?
Sta enaka
Kaj velja za smerna koef pravkotnih premic?
Sta obratna in nasprotna
K1=-1/k2
Def potencno funkcijo z naravnim eksponentom
Pot funk f z nar eks je real funk reqlne spremenljivke dane s predpisom f(x)=x^n, n€N
Narisi grafa potenc funk, ki imata eksponent 2 in 3
Skice
Navedi vsaj dve lastnosti potencnih funkcij
Def je na real osi; Df=R
Ima niclo v x=0
Graf funkcije poteka skozi tocke …..
Navedi osnovne razlike v lastnostih med potenc.funk s sodim in lihim naravnim eksponentom
Liha: Zf je mnozica vseh real st
Narascajoca je na vseh definicijskih obmocjih
Graf je simetricen glede na koordinatno izhod
Je neomejena
Konkavna za x<0 in konveksna x>0
Soda: Zf je mnoz nenegativnih real st
Padajoca za x<0 in narascajoca za x>0
Graf je simetricen glede na ordinatno os
Navzgor je neomejena, navdol pa omejen
Konveksna na vsem Df
Za poljubno naravno stevilo N definirajste korenso funkcijo f s predpisom f(x)=nkorenx
Glej 57
Narisi graf korenskih funkcij za n=2 in n=3
Skica
Navedite def obmocje za zaloge vrednosti korenskih funkcij za n=2 in n=3
Glej 57.3
Definiraj kvadrtno funkcijo
Je preslikava R—>R, dana s predoisom ax2+bx+c; a,b,c€R
A≠0
Stevilo a je vod koef kvad funk, st b koef linear clena, c je prosti clen
Navedi vsaj 4 lastnosti kvadratne funkcije in jih razlozi
Glej 58.2
Povej primer navzgor omejene kvad funkcije, katere graf seka ordinatno os v tocki N(0,3)
Skica
Kaj je teme grafa kvad funk? Kako ga izracunamo?
Tocka v kateri doseze graf svojo najvisjo oz najnizjo tocko glede na a.
Koordinati temena odvisni od T(p,q), sta od a b c
Formule
Povej temensko obliko zapisa kvad funkcije. Kako je njen graf odvisen od vodilnega koef ter koor temena
Temenska oblika:
Ce je a>0 navzgor obrnjena in navzdol omejena
Ce je a<0 pa ne navzdol obrnjena in navzgor omejena
Povejte primer navzgor omejene koordinatne funkcije, katere graf ima teme v prvem kvadrantu
f(x)=(x-2)^2+3
Skica
Definiraj niclo funkcije
Je stevilo x, pri katerem je vrednost funkcije f enaka 0.
Nicla funkcije je tocka v kateri funkcija seka os x ali se dotika osi x
Povej nicelno obliko predpisa kvadratne funkcije
Formula
Kaj je diskriminanta kvad funkcije
Je stevilo D=b^2-4ac in nam pove koliko real nicel ima kvad funkcija
Razlozi pomen diskrim kvad funk pri iskanju njenih nicel
Ce je D>0 ima 2 razlicninicli
Ce je D<0 nima real nicel
D=0 ima eno kvadratn realno niclo
Formula za nicle
Kaj je kvadratna enacba?
Je vsaka enacba, ki jo zapisemo v obliki ax^2+bx+c=0, kjer so koeficienti a,b,c poljubna realna stevila in je vodilni koef a razlicen od 0
Kako izracunamo resitev kvadratne enacbe
Z razcepom ali po formuli za nicle
Formula
Kako je z resljivostjo kvad enacbe v mnozici real stevil in kako v mnozici kompleksnih stevil?
Ce je D>0 ima kvad enac 2 raz real st
Ce je D=0 ima enako kvad real resitev
Ce je D<0 nima nobene real resitve, resitvi sta dvekonjug kompl.st
Povejte in resite primer kvad enacbe ki ima dve konjug kompl resitvi
X^2=2x+5
X1
X2
Kaj je kvadratna neenacba
Glej 62
