3. Matriisin aste ja vektorien lineaarinen riippumattomuus

Question 1

Milloin vektorit x_1, … x_p ovat lineaarisesti riippuvia tai sidottuja?

Answer 1

Jos c1x1+…+cpxp = 0 joista ainakin yksi skalaari c1…cp on nollasta poikkeava

Question 2

Milloin vektorit x1,…xp ovat lineaarisesti riippumattomia tai vapaita?

Answer 2

Jos ehdosta c1x1 + … + cpxp = 0 seuraa c1 = … = cp = 0

Question 3

Mikä on sarakeavaruus R(X)?

Answer 3

X:n sarakeavaruus muodostuu n*1 vektoreista y, joille pätee y = Xβ

jollain p*1 vektorilla β = [β1,…,βp]’
eli
R(X)={y∈R^n:y = Xβ, β∈R^p}

Question 4

Mikä on matriisin aste (rank)?

Answer 4

Lineaarisesti riippumattomien sarakkeiden lukumäärä tai yhtäpitävästi lineaarisesti riippumattomien rivien lukumäärä

r(A’) = r(A)

Question 5

Jos A on n*n matriisi, niin mitä pätee asteille?

Answer 5

r(A) = n <=> A^-1 on olemassa det(A) =/= 0. Eli matriisilla on olemassa käänteismatriisi ja determinantti jos sen aste on sama kuin n

Question 6

Mitä asteen ominaisuuksia pätee n*m matriiseille?

Answer 6

r(A) = r(A’) = r(AA’) = r(A’A)

Question 7

Mitä tapahtuu matriisin asteelle, jos se kerrotaan epäsingulaarisella neliömatriisilla?

Answer 7

Aste ei muutu.

r(AX) = r(X) = r(XB)